CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 4.

Argomenti della lezione Funzioni definite implicitamente. Invertibilità locale. Cambiamento di variabili.

FUNZIONI DEFINITE IMPLICITAMENTE

Un modo ben noto di rappresentare graficamente una funzione di due variabili z = f(x,y) è quello di tracciarne le linee di livello. Ossia i luoghi dei punti del piano (x,y) che soddisfano la condizione f(x,y) = costante. Si ritiene, in generale, che questi luoghi siano curve piane più o meno “regolari”.

Sono ben noti alcuni esempi: 1) x2 + y2 - 2y = 3 È una circonferenza con centro in (0,1)T e raggio 2. 2) x2 + 4 y2 = -3 È l’insieme vuoto di punti del piano.

3) x2 + y2 = 0 È l’insieme contenente solo l’origine del piano. 4) x2 - y2 = 0 È l’insieme del piano formato dall’unione delle due rette y = x e y = - x.

5) x3 - y2 = 0 È una curva piana non regolare, dotata di una cuspide nell’origine. Possiamo dunque chiederci sotto quali condizioni un’equazione del tipo f(x,y) = costante, possa rappresentare una curva piana. Anzi, almeno localmente, una curva che sia grafico di una funzione.

È chiaro infatti che, in molti casi, una curva piana non sarà grafico di una funzione. La curva data da x2 + y2 - 2y = 3 può essere rappresentata come grafico di due funzioni in cui x è funzione di y: x = g1(y) = (3 - y2 + 2y)1/2 e x = g2(y) = - (3 - y2 + 2y)1/2

Teorema (di U. Dini ) Sia f : A  R2  R, A aperto, C1(A), sia (x0,y0) in A tale che f(x0,y0)= 0 e ∂y f (x0,y0)≠ 0, allora esiste un rettangolo aperto I  J intorno di (x0,y0)T tale che f -1(0)(I  J) sia il grafico di g : I  R  R

funzione di classe C1(I); quindi per ogni x  I, f(x,g(x)) = 0. Vale g’(x) = - fx(x,g(x)) _________ fy(x,g(x)) . Il teorema qui enunciato, può essere generalizzato in molti modi..

Una generalizzazione tra le più semplici: Se f(x1, x2, … , xm, z) è di classe C1(), se (x10, x20, … , xm0, z0) in   Rm+1 è tale che f(x10, x20, … , xm0, z0) = 0 e fz(x10, x20, … , xm0, z0) ≠ 0 allora esistono un intorno U  Rm di (x10, x20, … , xm0) e una funzione g : U  Rm  R che è di classe C1(U), è tale che f(x1, x2, … , xm, g(x)) = 0 per ogni (x1, x2, … , xm)  U. Le sue derivate sono date da

Dk g(x) = - fk(x,g(x)) _________ fz(x,g(x)) . Un esempio... f(x, y, z) = sen(z) + xy2 + y3-8 = 0 nel punto (0,2,0)T.

Una proprietà del gradiente. Si supponga che l’equazione f(x,y)= costante definisca una curva di livello dotata di derivate continue in (x0,y0). Se x(t), y(t) sono le equazioni parametriche della curva, lungo la curva stessa

F(t) = f(x(t),y(t)) = costante. Perciò F’(t) = 0. Ma F’(t) = f (x(t),y(t)), (x’(t),y’(t))T = 0 Conclusione Il gradiente è ortogonale alle linee di livello di una funzione.

Superficie date in forma implicita in R3. f(x,y,z)= costante

INVERTIBILITÀ LOCALE

Sia f : A  Rm  Rm , A aperto, una funzione. Diremo che f è localmente invertibile in x0  A se esistono un intorno U di x0 e V di f(x0) = y0 tra i quali f è biiettiva. Se f stabilisce una corrispondenza biunivoca tra A e f(A), diremo che f è globalmente invertibile su A.

differenziabile in x0  A, la matrice mm che rappresenta il suo Se f : A  Rm  Rm , A aperto, è differenziabile in x0  A, la matrice mm che rappresenta il suo differenziale è detta anche la derivata o la matrice jacobiana o il jacobiano di f in x0. f’(x0) = J( )(x0) = J( )(x0) f x f1,f2,..,fm x1,x2,..,xm

(di invertibilità locale ) Se f : A  Rm  Rm, A aperto, è C1(A), Teorema (di invertibilità locale ) Se f : A  Rm  Rm, A aperto, è C1(A), e det J( )(x0) ≠ 0 allora f è localmente f x invertibile in x0  A. L’inversa locale è funzione di classe C1(f(A)).

Si noti che una funzione può essere localmente invertibile senza esserlo globalmente. La funzione f : R2  R2 data da u = exp(x)cos y v = exp(x)sen y ha il det. jacobiano det J = exp(2x) ≠ 0 ed è in ogni punto localmente invertibile tra il piano (x,y) e il piano (u,v). Ma non è invertibile globalmente poiché u e v sono periodiche di periodo 2 .

Omeomorfismi e Diffeomeorfismi...

CAMBIAMENTO DI VARIABILI

Un’applicazione f : A  Rm  Rm, A aperto, si dice regolare se è di classe C1(A) e se per ogni x  A. Una tale applicazione individua un cambiamento di variabili in Rm . Se le condizioni dette non sono soddisfatte in alcuni punti isolati, tali punti si dicono singolari per la trasformazione. det J( )(x) ≠ 0 f x

Esempi: Trasformazioni lineari in Rm. Coordinate polari in R2. Coordinate cilindriche in R3. Coordinate sferiche in R3.

Un esempio: Cambiamento di variabili nell’ equazione delle onde ∂2z ____ ∂x2 - ∂t2 c2 = 0 u = x + c t v = x - c t