Matematica e statistica Versione didascalica: parte 2 Sito web del corso Docente: Prof. Sergio Invernizzi, Università di Trieste

2.7. Applicazioni numeriche delle derivate Il metodo delle tangenti di Newton

> y1 <- function(x) exp(x)-2. > y2 <- function(x) exp(x) > y3 <- function(x) x - y1(x)/y2(x) > y3(2) [1] > newton <- function(x) y3(y3(y3(y3(y3(x))))) > newton(2) [1] > log(2) [1] > y1 <- function(x) x^2-2 > y2 <- function(x) 2*x > newton(2) [1] > sqrt(2) [1]

> y1 <- function(x) sin(x)-x^2 > y2 <- function(x) cos(x)-2*x > 1 -> a > y3(a) -> a; a [1] > y3(a) -> a; a [1] > y3(a) -> a; a [1] > y3(a) -> a; a [1] > y3(a) -> a; a [1] > y3(a) -> a; a [1] > y1(a) [1] 0

Interpolazione: Lemma di Rolle Se: a < b f(a) = 0 f(b) = 0 Allora esiste c che verifica a < c < b f '(c) = 0

2.7.2.a. Interpolazione costante (di Lagrange) valore vero = valore approssimato + errore

2.7.2.a. Interpolazione costante (di Lagrange)

2.7.2.b. Interpolazione lineare (di Lagrange) valore vero = valore approssimato + errore

2.7.2.b. Interpolazione lineare (di Lagrange)

Funzioni crescenti e decrescenti f (x) è crescente in un intervallo I se comunque presi due valori u < v nellintervallo si ha f (u) f (v). f (x) è decrescente in un intervallo I se comunque presi due valori u < v nellintervallo si ha f (u) f (v). f (x) è costante in un intervallo I se comunque presi due valori u < v nellintervallo si ha f (u) = f (v).

Applicazione dellinterpolazione costante f '(x) 0 in ogni x di un intervallo I f (x) è crescente nellintervallo I f '(x) 0 in ogni x di un intervallo I f (x) è decrescente nellintervallo I f '(x) = 0 in ogni x di un intervallo I f (x) è costante nellintervallo I una quantità positiva

Funzioni convesse e concave f (x) è convessa in un intervallo I se comunque presi due valori u < v nellintervallo I si ha f (x) r (x) per tutti gli x del sottointervallo [u, v] f (x) è concava in un intervallo I se comunque presi due valori u < v nellintervallo I si ha f (x) r (x) per tutti gli x del sottointervallo [u, v] f (x) è lineare in un intervallo I se comunque presi due valori u < v nellintervallo I si ha f (x) = r (x) per tutti gli x del sottointervallo [u, v] Qui la r(x) è la retta che passa per (u, f(u)) e (v, f(v)), cioè la funzione lineare che in x = u ed x = v assume gli stessi valori di f.

Applicazione dellinterpolazione lineare f "(x) 0 in ogni x di un intervallo I f (x) è convessa nellintervallo I f "(x) 0 in ogni x di un intervallo I f (x) è concava nellintervallo I f "(x) = 0 in ogni x di un intervallo I f (x) è lineare nellintervallo I una quantità negativa

Mnemotecnica

Dinamica di popolazioni, I X = X(t) popolazione al tempo t, ovviamente X(t) > 0 Tasso di crescita costante: X '/ X = a, ossia X ' = aX a > 0 popolazione crescente, < 0 decrescente, = 0 costante X " = aX ' = a aX = a ² X > 0 X = X(t) convessa (sia che cresca, sia che decresca) Si ottengono informazioni su X(t) senza risolvere la equazione (senza conoscere la formula per X(t) =...) Si parla di analisi qualitativa del problema. Si dimostra che X(t) = X(0) exp(a t)

Dinamica di popolazioni, II X = X(t) popolazione al tempo t, ovviamente X(t) > 0 Tasso di crescita decrescente linearmente: X '/ X = a – bX, ossia X ' = aX – bX 2 = X (a – bX) Negli intervalli di tempo in cui X < a/b la popolazione è crescente Negli intervalli di tempo in cui X > a/b la popolazione è decrescente X " = aX ' – 2bXX ' = X '(a – 2bX) Negli intervalli di tempo in cui X < (a/b)/2 la popolazione è crescente, e la crescita è convessa. Negli intervalli di tempo in cui (a/b)/2 < X < a/b la popolazione cresce, ma la crescita è concava. Negli intervalli di tempo in cui X > a/b la popolazione decresce, in modo convesso. - fare il grafico! -

Metodo di Eulero in avanti, o forward (standard) (derivata = quoziente di Newton destro): per il futuro (valore iniziale assegnato) essendo Variante: Metodo di Eulero indietro, o backward (derivata = quoziente di Newton sinistro): per il passato

> a < > b < > f <- function(x) a*x-b*x^2 > u <- function(x) ( *exp(1.14*x))/( *exp(1.14*x)) > h <- 0.4 > t0 <- 0. > x0 < > t <- c(1:25)*NA > x <- c(1:25)*NA > t[1] <- t0 > x[1] <- x0 > for (n in c(2:25)) { t[n] <- t[n-1]+h; x[n] <- x[n-1]+ h*f(x[n-1]) } > plot(t,x,type="b",col="red") > plot(u,0,10,add=TRUE,col="blue") > Metodo di Eulero forward

Metodo Leap Frog, o della cavallina (derivata = differenza centrale) (valore iniziale assegnato) (secondo valore calcolato con il metodo di Eulero forward) essendo e dove

> x[1] <- x0 > x[2] <- x[1] + h*f(x[1]) > for (n in c(3:25)) { x[n] <- x[n-2]+ 2*h*f(x[n-1]) } > plot(t,x,col="red",type="b") > plot(u,0,10,add=TRUE,col="blue") > Metodo di Eulero Leap Frog

Attenzione! Per questi tipi di modelli (equazioni differenziali) devono sempre essere usati integratori professionali! No fai-da-te! Problemi di stabilità