EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI

Argomenti della lezione Equazioni lineari con coefficienti costanti. Termini noti di tipo particolare. Oscillazioni forzate Accenno ai sistemi

EQUAZIONI LINEARI CON COEFFICIENTI COSTANTI

Consideriamo un’equazione d’ordine n completa con coefficienti costanti y(n) + a1 y(n-1) + … + an y = b(x) Qui i coefficienti a1 , … , an sono numeri reali, mentre b(x) è una funzione che in generale è supposta continua

L’equazione omogenea associata è y(n) + a1 y(n-1) + … + an y = 0 Si dice polinomio caratteristico il polinomio P(z) = zn + a1 zn-1 + … an-1 z + an

L’equazione zn + a1 zn-1 + … an-1 z + an = 0 si dice equazione caratteristica Siano a1, a2, …, ar, le radici reali dell’equazione caratteristica, di molteplicità m1, m2, … , mr; siano poi b1, b2, …, bs e b1, b2, …, bs le radici complesse e le complesse coniugate, ciascuna di molteplicità

n1, n2, … , ns. Allora P(z) = (z- a1)m1  ... (z- ar) mr  (z - b1)n1  (z - b1)n1 … (z - bs)ns (z - bs)ns Ricordiamo che se b = a + i b, allora b = a - i b.

Analogamente alla fattorizzazione del polinomio P(z), si può pensare a una fattorizzazione dell’operatore differenziale che dà l’equazione omogenea L(y) = y(n) + a1 y(n-1) + … + an y = (D - a1I)m1  ... (D - arI) mr  (D - b1I)n1  (D - b1I)n1 … (D - bsI)ns (D - bsI)ns y = 0

È facile vedere che se  e  sono due numeri reali o complessi e y(x) è una funzione due volte derivabile (D - I) (D - I) y = (D - I) (D - I) y = [D2 –( + ) D +  I] y = = y” –( + )y’ +   y Dunque la fattorizzazione di L(y) ha senso, poiché si può pensare fatta in un ordine arbitrario

Se y soddisfa (D - I) y = 0 oppure (D - I) y = 0, allora è anche y” –( + )y’ +   y = 0. Dunque ogni soluzione di (D - I)p y = 0 dove  è uno degli ai o uno dei bk, è una soluzione dell’ equazione omogenea. Se p=1, è facile riconoscere che una soluzione di (D - I) y = 0 è data da

y = e  x = exp( x) Se  è un numero reale allora la funzione è un esponenziale a valori in R. Se  = c + i d, la soluzione, grazie alle formule d’Eulero, si scrive e(c+id)x = ecx (cos d x + i sen d x) In questo caso anche c – i d è soluzione del polinomio caratteristico e perciò anche

e(c-id)x = ecx (cos d x - i sen d x) è soluzione dell’equazione differenziale. Poiché l’equazione è lineare, anche una loro combinazione lineare è soluzione. Dunque sono soluzioni relative a radici complesse coniugate dell’ equazione caratteristica ecx cos d x = [e(c+id)x + e(c-id)x ]/2 ecx sen d x = [e(c+id)x - e(c-id)x ]/(2i)

Queste soluzioni hanno il vantaggio di essere date da funzioni a valori reali. Che cosa si può dire se p > 1 ? Si osserva che, in generale,

(D - I) (xk ex) = k xk-1 ex se k  1 (D - I)2 (xk ex) = k(k-1) xk-2 ex se k  2 E quindi (D - I)n (xk ex) = 0 se k < n

Dunque sono soluzioni dell’ equazione omogenea le seguenti funzioni e a1x, x e a1x, … , x(m1-1) e a1x …………………………………. e ar x, x e ar x, … , x(mr-1) e ar x relative alle soluzioni reali del polinomio caratteristico;

Se bk = ak + i bk si trovano le seguenti soluzioni e a1x cos(b1x), x e a1x cos(b1x), … , x(n1-1) e a1x cos(b1x) e a1x sen(b1x), x e a1x sen(b1x), … , x(n1-1) e a1x sen(b1x) ……………………………………………..

easx cos(bsx), x easx cos(bsx), … , x(ns-1) easx cos(bsx) easx sen(bsx), x easx sen(bsx), … , x(ns-1) easx sen(bsx) Tutte le funzioni qui ricordate sono lin. indip. su tutto R. Dunque ogni soluzione dell’equazione omogenea è combinazione lineare

delle funzioni presentate in precedenza. Naturalmente deve valere la relazione n = m1 + m2 + … + mr + 2(n1+ n2 +… + ns)

Esempio Si trovi l’integrale generale di y(4) –2y’” + 2y” –2y’ + y = 0 L’equazione caratteristica è z4 –2 z3 + 2 z2 –2 z + 1 = 0

Ossia (z –1)2 (z2 + 1) = 0 Le radici sono z1 =1 di molteplicità 2 e z2 = i, z3 = -i che sono semplici Quindi le seguenti sono le quattro soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea

y1 = ex , y2 = x ex y3 = cos x , y4 = sen x La soluzione generale è y = c1 ex + c2 x ex + c3 cos x + c4 sen x

Con un’opportuna scelta delle costanti si può risolvere ogni problema di Cauchy. Si voglia trovare la soluzione che soddisfa le condizioni iniziali y(0) = 0, y’(0) = -1, y”(0) = 0, y’”(0) = 1

Si trova c1 = c2 = c3 = 0, c4 = -1 E quindi y(x) = - sen x

EQUAZIONE COMPLETA

ò Y ( x ) = U t × B d Ricordiamo la formula generale che fornisce un integrale particolare del sistema completo, specializzandola al caso di un’equazione d’ordine n. Ricordiamo la formula generale Y ( x ) = U - 1 t × B d ò

Ci interessa solo la prima componente di Y(x). Conviene ricordare che B(x) = (0,..,0,b(x))T U(t)-1B(t) = (b(t)/W(t))(Wn1(t), .. ,Wnn(t)) T Qui W(t) = det U(t) , si dice il wronskiano del sistema fondamentale

(y1(x)Wn1(t)+ y2(x)Wn2(t)+ .. + E quindi, la prima componente di U(x) U(t)-1B(t) è (y1(x)Wn1(t)+ y2(x)Wn2(t)+ .. + yn(x) Wnn(t)) b(t)/W(t) In definitiva otteniamo la seguente formula generale

y(x) = ò y1(t)………..yn(t) y’1(t)………..y’n(t) …………………….. y1(n-2)(t)….yn (n-2)(t) y1(x)………..yn(x) W(t) b(t) dt

In particolare, per un’equazione d’ordine 2 y(x) = ò y1(t)y2(t) y1(x)y2(x) W(t) b(t) dt

Cioè y(x) = ò y1(t) y2(x)- y1(x)y2(t) y1(t) y’2(t)- y’1(t)y2(t) b(t) dt