Essendo le materie scientifiche e tecniche la linfa vitale per noi “periti elettrotecnici”, non possiamo fare a meno di utilizzare quel linguaggio universale, che normalmente chiamiamo matematica, per esprimere e capire a fondo le varie problematiche che quotidianamente siamo costretti ad affrontare.

DETERMINARE E STUDIARE IL MODELLO MATEMATICO Una di queste problematiche è proprio il comportamento del motore a corrente continua: Al fine di capirne e ricrearne, attraverso un linguaggio rigoroso, il funzionamento sia quando non è applicato ad esso alcun carico e sotto-carico, sia a regime, è necessario: DETERMINARE E STUDIARE IL MODELLO MATEMATICO

Tale modello è quindi la descrizione della nostra macchina elettrica dal punto di vista matematico. Il percorso logico che abbiamo seguito è il seguente: Rappresentazione del motore a c.c. dal punto di vista elettrico 2) Analogia meccanica 3) Formulazione delle equazioni che ne derivano 4) Applicazione della trasformata di Laplace 5) Costruzione dello schema a blocchi 6) Analisi a regime in assenza di una coppia resistente 7) Analisi a regime con carico applicato al motore 8) Grafici con MatLab che ne descrivono il comportamento

Rappresentazione del motore a c.c. dal punto di vista elettrico Va: forza elettro-motrice, variabile d’ingresso Applicando al circuito in figura il secondo principio di Kirkhoff otteniamo l’equazione: Ra: resistenza elettrica degli avvolgimenti del motore La: induttanza (energia conservativa) degli avvolgimenti, è quella che si oppone alle variazioni della corrente. Dalla prima legge di Ohm sappiamo che: rappresenta la caduta di tensione che si ha su una resistenza R. rappresenta la variazione di tensione ai capi di un’induttanza. eg: forza contro-elettromotrice, è legata alla velocità di rotazione ω ia: corrente che assorbe il motore (la stessa che attraversa gli avvolgimenti).

ANALOGIA MECCANICA Sfruttando l’analogia tra grandezze meccaniche ed elettriche, si ottiene: tm: coppia motrice B: coefficiente di attrito J: inerzia tr: coppia resistente ω : velocità angolare del motore

APPLICHIAMO LA TRASFORMATA DI LAPLACE Trovare le soluzioni di un’equazione differenziale non è sempre facile. In alcuni casi si può utilizzare la “trasformata di Laplace”, ossia: un operatore che trasforma una funzione della variabile reale (y = f(x)) in una funzione della variabile complessa (y = F(s)). Praticamente questo operatore trasforma l’equazione differenziale in un’equazione algebrica facilmente risolvibile L: f(x) F(s)

Sostituendo le variabili in funzione di s nelle nostre equazioni abbiamo:

SCHEMA A BLOCCHI Per ricavare lo schema a blocchi iniziamo a ricavare Ia da questa formula: E ricordando che Possiamo disegnare la prima parte dello schema: Come possiamo notare, l’uscita del blocco kt è tm e quindi …

e ricavando da tale formula Ω abbiamo: Ricordando che: e ricavando da tale formula Ω abbiamo: In questa formula compare Tm, che sottratta a Tr e moltiplicata per la f. di trasferimento dà la velocità Ω. Quindi aggiungendo lo schema a blocchi precedentemente illustrato a quello che si ricava da questa formula otteniamo:

Inserendo nello schema a blocchi la formula: Otteniamo lo schema a blocchi finale del Motore C.C.

lim f(t) = lim F(s) = F(s = 0) ANALISI A REGIME Con coppia resistente Facendo trascorrere molto tempo, in modo tale che i sistemi in regimi transitori siano sicuramente esauriti, abbiamo: lim f(t) = lim F(s) = F(s = 0) s t ∞

La velocità Ω in questo caso sarà: Ponendo s = 0, lo schema a blocchi del motore a regime con sarà il seguente: La velocità Ω in questo caso sarà:

LA CARATTERISTICA DEL MOTORE C.C. Grafico coppia – velocità Dalle relazioni a sinistra possiamo ricavare l’equazione della retta Da qui ricaviamo le intersezioni con gli assi Quando Ω = 0 Riportando questi valori sul grafico otteniamo … Quando Tm = 0

Nel grafico che segue,infine, riportiamo la corrente assorbita dal motore e la variazione della velocità nel tempo. Notiamo che all’inizio la corrente è molto elevata (questa è detta corrente di spunto), nello stesso tempo vediamo che la curva della velocità sale molto più lentamente della corrente (essendo la sua costante di tempo una costante meccanica). Dopo la fase transitoria, quando interviene una coppia frenante, vediamo che la velocità diminuisce e la coppia aumenta. Tutto ciò viene svolto autonomamente dal motore.

Ringraziamo i docenti responsabili del “Progetto Lauree Scientifiche”: Prof.ssa Rossella Fatatis Prof.re Antonio Barbato Un ringraziamento particolare va al prof. Antonio Palumbo per la sua supervisione del lavoro da noi svolto