il formalismo del Modello Standard Dirac Notation for SPIN il formalismo del Modello Standard La materia di base nel Modello Standard sono quark e leptoni: dei fermioni con spin ½. Bisogna generalizzare l’equazione di SCHROEDINGER –KLEIN GORDON per includere lo spin. Inoltre questa equazione deve essere relativistica, cioè trasformarsi correttamente per trasformazioni di Lorentz. Lo spin è molto importatnte nel modello standard, che tratta diversamente fermioni con spin parallelo o anti parallelo alla direzione del moto. Abbiamo bisogno delle notazioni semplici e potenti dell’equazione di DIRAC Basandoci sulle regole di Feynmann, potremo usare queste notazioni per prevedere transition rates senza usare lo spin Bisogna conoscere il formalismo dello spin e le matrici di Pauli La materia di base nel modello standard sono quark e leptoni: dei fermioni con spin ½. Bisogna generalizzare l’equazione di SCHRODINGER per includere lo spin.Inoltre deve essere relativistica, cioè trasformarsi correttamente per trasformazioni di Lorentz.Lo spin è molto importatnte nel modello standard, che tratta diversamente fermioni con spin parallelo o anti parallelo alla direzione del moto. Abbiamo bisogno delle notazioni semplici e potenti dell’equazione di DIRAC Potremo usare queste notazioni per prevedere transition rates senza usare lo spin. L’unica cosa che bisogna sapere è il formalismo dello spin non relativistico e le matrici di Pauli pfd

problems in KG equation In constructing a wave equation in close correspondence with the squared energy momentum relation E2=p2+m2 we immediately allowed negative energy solution The KG equation has a 2/t2 term: this leads to a continuity equation with a ‘probability density’ containing /t, and hence to negative probabilities

Dirac Notation for SPIN La sua equazione doveva essere Cosa voleva Dirac descrivere l’elettrone, spin incluso , relativisticamente lineare nelle derivate del tempo  la conservazione della probabilità operatore lineare nelle derivate dello spazio  l’nvarianza relativistica , i  condizioni fisiche L’equazione più generale KANE 5 Scritta l’equazione più generale, bisogna determinare i coeff i,, dalla fisica. Osservare per prima cosa che l’equazine dell’energia al quadrato equivale, utilizzando il formalismo degli operatori, alla eq di KG. Dirac richiede la relazione relativistica giusta tra E p e m. Si quadra l’equazione generale e si determinano alcune delle condizioni su ,i dall’eq. di KG. Ricordano le relazioni di anticommutazione delle matrici di Pauli L’equazione di Dirac pfd

Dirac Notation for SPIN Si ottiene l’equazione di Dirac, con , matrici 44, che devono osservare alcune condizioni, ma del resto sono arbitrarie Dirac equation pfd

Dirac Notation for SPIN fermioni m=0 spinori Pauli fermioni m ≠ 0 b=1? solo matrici almeno 4.4 no! Kane 5.3 Fermioni con massa nulla ( esempio, neutrini): come si può scrivere l’equazione di Dirac? Ricordare che con il formalismo degli operatori -i equivale a p ( il gradiente moltiplicato per -i equivale al trimomento, l’energia equivale alla derivata temporale moltiplicata per i) Fermioni con massa, è un esempio che il Kane fa. =1 non funziona!! Infatti non varrebbe i +i=0 Si fa vedere un esempio che funziona, introducendo le matrici di matrici. Si creano delle matrici 44 solo un esempio pfd

Dirac Notation for SPIN matrici  e equazione di Dirac scalari Kane 5.4 Matrici gamma è una scelta comoda.Le gamma mu sono matrici 4.4 Uno pseudoscalare si trasforma come uno scalare di Lorentz, ma ha una inversione di segno per inversione di coordinate Un assiale si trasforma come un quadrivettore ma con un cambiamento di segno per inversione di coordinate è uno scalare si definisce: pfd

con l'equazione di Dirac? Una corrente è compatibile con l'equazione di Dirac?

Dirac Notation for SPIN correnti k è sommato da 1 a 3 Hermitiana coniugata non smmare su k Kane5.5 la forma della corrente di Dirac moltiplicare da destra per gamma0 scambiare gamma0 gammak pfd

Dirac Notation for SPIN correnti + = corrente Kane 5.5 Correnti abbiamo qui le eq. Di DIRAC 1 entrata: riscriviamo in modo compatto la equazione di DIRAC moltiplichiamo da sinistra l’equazione appena scritta per barrata (questo è uno scalare nello spazio degli spin) riscriviamo l’equazione di DIRAC in viola (compatta) per psi barrato si ottiene moltiplicando da destra per psi l’eq viola ,6,7,8 le due equazioni si riscrivono in modo compatto e si sommano sommate danno l’equazione rossa (si cancellano i termini di massa),dalla quale si ottiene la 10 l a equazione compatta ( derivata di prodotto) conservazione della corrente pfd

correnti la corrente si conserva

Corrente e Densità di Probabilità l’equazione di KG ammette soluzioni ad energia negativa e densità di probabilità negativa l’equazione di Dirac ammette soluzioni ad energia negativa, ma la densità di probabilità è positiva un esempio è una particella libera  di momento p. vedremo che si arriva all’equazione che lega densità di probabilità e corrente in questo caso, con delle semplici manipolazioni dell’equazione di Dirac vedremo anche che è ragionevole interpretare una particella libera come una corrente