Dalla relatività Galileiana… 1564 - 1642 …agli albori di quella Einsteiniana 1879 - 1955

Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo da Galileo, Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo «Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, equali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; che (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma.

Voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima, né, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con più forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e voi verso la poppa, che se voi fuste situati per l'opposito; le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza ca-derne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella loro acqua non con più fatica note­ranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell'orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, né mai accadere che si riduchino verso la parete che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno state separate e se abbrucciando alcuna lagrima d'incenso si farà un poco di fumo, vedràssi ascender in alto ed a guisa di nugoletta trattenervisi, e indifferentemente muoversi non più verso questa che quella parte. E di tutta questa corrispondenza d'effetti ne è cagione l'esser il moto della nave comune a tutte le cose contenute in essa ed all'aria ancora, che per ciò dissi io che si stesse sotto coverta; che quando si stesse di sopra e nell'aria aperta e non seguace del corso della nave, differenze più e men notabili si

vedrebbero in alcuni de gli effetti nominati: e non è dubbio che il fumo resterebbe in dietro, quanto l'aria stessa; le mosche parimente e le farfalle, impedite dall'aria, non potrebber seguire il moto della nave, quando da essa per spazio assai notabile si separassero; ma trattenendovisi vicine, perché la nave stessa, come di fabbrica anfrattuosa, porta seco parte dell'aria sua prossima, senza intoppo o fatica seguirebbon la nave, e per simil cagione veggiamo tal volta, nel correr la posta, le mosche importune e i tafani seguir i cavalli, volandogli ora in questa ed ora in quella parte del corpo; ma nelle gocciole cadenti pochissima sarebbe la differenza, e ne i salti e ne i proietti gravi, del tutto impercettibile». Oggi la scoperta di Galileo viene espressa, con linguaggio moderno, come principio di relatività galileiana: le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento che si muovono tra loro di moto rettilineo uniforme (detti sistemi inerziali). Quindi, in particolare, le leggi che valgono in un sistema di riferimento inerziale rimangono valide in tutti i sistemi di questo tipo. NB: II principio di relatività galileiana dice che nei due sistemi di riferimento le leggi sono le stesse, non che la descrizione del moto è identica.

Riassumiamo la relatività Galileiana come trattato in… … “L’evoluzione della fisica “ di A.Einstein-L.Infeld 1) Non si conoscono regole per trovare un sistema inerziale. Ma dato che ne esista uno, se ne possono trovare altri in numero infinito, poiché tutti i sistemi di coordinate in moto uniforme l'uno relativamente all'altro, sono dei sistemi inerziali, sempreché uno di essi lo sia. 2) II tempo corrispondente ad un evento è lo stesso in tutti i sistemi di coordinate. Ma le coordinate e le velocità sono diverse e differiscono in conformità alle leggi di trasformazione. 3) Ancorché coordinate e velocità differiscano quando si passa da un sistema di coordinate ad un altro, forza ed accelerazione e pertanto le leggi della meccanica sono invarianti rispetto alle leggi di trasformazione. Le leggi di trasformazione, testé formulate per le coordinate e per la velocità, le chiameremo leggi di trasformazione della meccanica classica o, più brevemente, la trasformazione classica.

Le trasformazioni galileiane y y’ x x’ ut Il sistema di riferimento x’O’y’ si muove di moto rettilineo uniforme lungo l’asse x, con velocità u, rispetto a xOy Le relazioni tra le coordinate del punto, le velocità e le accelerazioni nei due sistemi sono:

Invarianza rispetto alle trasformazioni galileiane La distanza tra due punti calcolata in xOy o in x’O’y’ è la stessa La durata di un intervallo di tempo è la stessa L’accelerazione di un corpo è la stessa Sostituendo la trasformazione di coordinate precedente nelle leggi di Newton otteniamo leggi identiche: le leggi di Newton sono invarianti rispetto alle trasformazioni galileiane. In altre parole, non è possibile stabilire con esperimenti di meccanica se un sistema è in moto rettilineo uniforme rispetto ad un altro (senza guardare “fuori” dal sistema).

Le leggi dell’elettromagnetismo Maxwell descrive tutti i fenomeni elettromagnetici mediante 4 leggi, dette appunto leggi di Maxwell, ed interpreta la luce come un’onda elettromagnetica (la conferma sperimentale sarà data da Hertz) Le leggi di Maxwell non sono invarianti rispetto alle trasformazioni galieliane Possiamo quindi usare esperimenti di elettromagnetismo (o di ottica, dato che la luce è un fenomeno elettromagnetico) per stabilire se un sistema è in moto o no rispetto ad un altro?

L’idea semplificata dell’esperimento Secondo le equazioni di Maxwell la luce si propaga in tutte le direzioni(isotropa) alla stessa velocità c  300.000 km/s, indipendentemente dal moto della sorgente Se un’automobile procede in autostrada a velocità u e viene superata da un raggio luminoso, un osservatore sull’automobile dovrebbe misurare una velocità della luce pari a c – u. Il problema è che la differenza di velocità è molto piccola e quindi l’esperimento deve essere non solo accurato, ma anche ingegnoso per misurare in maniera indiretta tale differenza.

L’idea dell’etere Prima di vedere come tale esperimento è stato realizzato, è necessario analizzare come si immaginava avvenisse la propagazione della luce: Interpretando la luce come un fenomeno oscillatorio, i fisici dell’ottocento ipotizzavano l’esistenza di un mezzo materiale, detto “etere”, le cui vibrazioni permettevano la propagazione delle onde luminose, così come l’aria permette la propagazione delle onde sonore. L’etere doveva avere proprietà ben strane, dato che propagava la luce a velocità elevatissime e, d’altra parte si lasciava attraversare da masse enormi (stelle, pianeti) senza nessuna perturbazione apparente. Nell’etere (e quindi in un sistema di riferimento ad esso solidale) le onde luminose si propagavano con velocità c.

Cosa ne pensava Maxwell? Anche lui riteneva indispensabile un mezzo che propagasse le onde elettromagnetiche, non era ipotizzabile che si trasmettessero nel vuoto: “Qualunque difficoltà possiamo avere nel formare un'idea consistente della costituzione dell'etere, non ci può essere dubbio che gli spazi interplanetari e interstellari non sono vuoti, ma sono occupati da una sostanza materiale o corpo, che è certamente il più grande e probabilmente il corpo più uniforme fra quelli di cui abbiamo qualche conoscenza.”

Misurare la velocità della terra rispetto all’etere Tornando all’esempio dell’automobile, possiamo immaginare la terra al posto dell’automobile e misurare la sua velocità rispetto all’etere. Prima idea: prendere due stazioni A e B sulla terra a distanza L e misurare il tempo che un raggio luminoso impiega per andare da A e B e ritornare in A.

1° caso: terra ferma rispetto all’etere (o movimento perpendicolare alla direzione del raggio) B L Tempo da A a B: t1 = L/c Tempo da B a A: t2 = L/c Andata e ritorno: t1 + t2 = 2L/c

2° caso: terra in movimento rispetto all’etere con velocità u B L Tempo da A a B: Tempo da B a A: Andata e ritorno:

E’ realizzabile un tale esperimento? Potremmo pensare di prendere stazioni in direzioni diverse in modo da evidenziare il movimento della terra rispetto all’etere in ciascuna direzione. La differenza di tempo sarebbe apprezzabile? Immaginiamo che la velocità della terra rispetto all’etere sia uguale a quella rispetto al sole (30 km/s), che distanza dovremmo avere per misurare una differenza di tempo di 10-6s? Circa 15 milioni di km (più di 40 volte la distanza terra-luna)

L’idea di Michelson S A B C O Per evidenziare un differenza di tempo molto piccole si usa l’interferenza delle onde luminose! S A B C O Gli specchi B e C si trovano alla stessa distanza L da A Un fascio luminoso viene emesso dalla sorgente S Un vetro argentato posto a 45° A riflette parzialmente il fascio verso lo specchio B e lascia passare il resto del fascio verso lo specchio C I raggi vengono riflessi da B e C verso A dove si ricompongono e arrivano all’osservatore O

La struttura è ferma S A B C O L Supponiamo che la struttura sia ferma rispetto all’etere S A B C O L Il raggio che va verso B percorre un percorso pari a 2L per tornare ad A Il raggio che va verso C percorre sempre un percorso lungo 2L I due raggi si ritrovano in A in fase e vengono riflessi verso O che nota un’interferenza costruttiva

La struttura si muove rispetto all’etere con velocità u nella direzione AC (verso destra) Consideriamo il raggio orizzontale AC e poniamoci nel sistema di riferimento solidale all’etere. Se t1 è il tempo per andare da A a C il raggio compie un percorso L + ut1 in quanto C si è spostato verso destra di ut1. Per trovare t1, basta considerare che la luce viaggia nel sistema a velocità c e quindi avrà percorso una distanza ct1. ct1 = L + ut1 t1 = L/(c-u) Il percorso di ritorno (CA) è invece più breve in quanto C si è avvicinato di ut2 (t2 è il tempo nel ritorno) ct2 = L – ut2 t2 = L/(c+u) Il tempo totale, andata e ritorno, è t1 + t2 = L/(c-u) + L/(c+u) = 2Lc/(c2 – u2) raccogliendo c2 :

La struttura si muove rispetto all’etere con velocità u nella direzione AC (verso destra) Consideriamo ora il raggio AB sempre nel sistema di riferimento solidale all’etere. S A B B’ A’ A’’ B’’ L ut3 ct3 Il percorso è ora AB’A’’. Indicando con t3 il tempo per andare da A a B’, possiamo applicare il teorema di Pitagora a AA’B’: Il tempo totale AB’A’’ è:

Confrontiamo i due tempi I tempi nei due percorsi non sono uguali: percorso tramite B percorso tramite C Qual è il minore? Il tempo per andare verso B (direzione perpendicolare a quella del moto della terra) e ritorno è minore di quello attraverso C (direzione parallela al moto terrestre)! La differenza tra i due tempi e rispetto al tempo che si otterrebbe se la struttura fosse ferma ( 2L/c) è comunque molto piccola in quanto il termine u2/c2 è molto piccolo se u non è paragonabile a c.

Come rivelare la differenza tra i due tempi? E’ praticamente impossibile rendere perfettamente uguali le distanze tra gli specchi AB e AC. La conseguenza è che in ogni caso l’osservatore vedrà delle frange di interferenza. Michelson e Morley ebbero l’idea di effettuare due misure, ruotando di 90° l’apparecchiatura nella seconda in modo che fosse ora AB lungo la linea del moto. In questo caso, a causa della differenza tra i tempi nei due percorsi prima esposta, si sarebbe dovuta vedere uno spostamento delle frange di interferenza della seconda misura rispetto alla prima, dalla quale si sarebbe potuta misurare la velocità della terra u rispetto all’etere.

La realizzazione dell’esperimento Michelson e Morley orientarono il loro dispositivo in modo che la linea AC fosse parallela al moto della terra lungo la sua orbita. Questa velocità è di circa 30km/s (rispetto al sole) e la velocità rispetto all’etere doveva essere almeno altrettanta in un qualche periodo dell’anno e in un qualche momento del giorno. Il dispositivo realizzato era ampiamente sensibile per rilevare un effetto dovuto ad una tale velocità, ma nonostante i molti tentativi, non fu rilevato uno spostamento nelle frange di interferenza e quindi nessuna velocità della terra rispetto all’etere.

L’apparecchiatura usata L’apparecchiatura era montata su un blocco di pietra che galleggiava in una vasca piena di mercurio, in modo da poter farla ruotare e da renderla meno sensibile alle vibrazioni Si usavano più riflessioni del fascio nelle due direzioni per aumentare la distanza percorsa dalla luce e potere misurare lo slittamento delle frange di interferenza (sensibilità dello strumento).

Conclusioni sull’esperimento MM L’esperimento è fallito! Per quale motivo? La terra è solidale all’etere? La terra trascina con sé l’etere? (spiegazione data inizialmente da Michelson in accordo con le teorie di Stokes, che però spiegano in maniera molto artificiosa il fenomeno dell’aberrazione stellare) Le leggi di Maxwell sono errate? (ma avevano trovato proprio in quegli anni una spettacolare conferma nella scoperta delle onde elettromagnetiche da parte di Hertz) Forse le cose sono meno semplici e bisogna rivedere i concetti che stanno alla base della fisica, cioè spazio e tempo?

L’idea di Lorentz H. A. Lorentz aveva suggerito che il risultato dell’esperimento (nessuna differenza di tempo nei due percorsi) poteva spiegarsi se si ipotizza che gli oggetti in movimento si contraggano nella direzione del moto. Se L0 è la lunghezza quando il corpo è fermo, quando si muove con velocità u parallela a L0 la sua lunghezza è

Spiegazione di Lorentz Se applichiamo l’idea della contrazione all’interferometro di MM, notiamo che la distanza tra A e B non cambia (direzione perpendicolare al moto), mentre quella tra A e C, parallela al moto, diventa . Nella formula che da il tempo totale percorso va sostituita quindi al posto di L. Ottenendo lo stesso tempo dell’altro percorso.

Le obiezioni e la conclusione di Poincaré L’ipotesi di Lorentz era stata ritenuta troppo artificiale e inventata a bella posta per venire a capo delle difficoltà incontrate Purtroppo (o per fortuna?) altri esperimenti analoghi a quelli di MM si imbattevano nelle stesse difficoltà, quasi che la natura stesse complottando introducendo ogni volta un nuovo fenomeno per impedire di misurare u. Il grande matematico francese Poincaré concluse che “un complotto totale è esso stesso una legge di natura”. In altre parole il fatto che non si possa scoprire il vento d’etere (u) con un esperimento è una legge della natura. Concludendo: Legge di Natura Non vi è alcun modo di determinare una velocità assoluta

Un’altra curiosa scoperta di Lorentz All’inizio avevamo detto che le leggi di Maxwell non sono invarianti rispetto alle trasformazioni galileiane. Lorentz scoprì che invece risultavano invarianti rispetto alle seguenti trasformazioni (trasformazioni di Lorentz): Forse che le leggi di natura sono invarianti rispetto a queste strane traformazioni e non rispetto a quelle galileiane? Quali sono le conseguenze? Che dire di quello strano fattore , molto prossimo a 1 se u<<c, che compare dappertutto?

…verdetto definitivo sull’ETERE …da “L’evoluzione della fisica” di Eisntein-Infeld Il risultato del celebre esperimento di Michelson-Morley fu un « verdetto di morte » per la teoria di un oceano d'etere immobile, attraverso il quale tutta la materia si muoverebbe. Non si è trovato il minimo indizio che la velocità della luce dipenda dalla direzione. Se la teoria dell'oceano d'etere fosse vera, non soltanto la velocità della luce, ma anche altri fenomeni del campo, manifeste- rebbero una dipendenza dalla direzione dello SC in moto. Altri esperimenti hanno dato risultato negativo come quello di Michelson-Morley; nessuno di essi ha rivelato la minima dipendenza dalla direzione del moto terrestre. Ci troviamo pertanto di fronte alla caduta di due ipotesi: la prima, che i corpi in moto trascinano l'etere, ma il fatto che la velocità della luce non dipende dal moto della sorgente contraddice questa supposizione; la seconda ipotesi che esista un SC privilegiato e che i corpi in moto non trascinino l'etere, bensì attraversino un oceano d'etere eternamente immobile. Ma se cosi fosse la velocità della luce non dovrebbe essere la stessa in ogni SC. Dobbiamo porci nuove supposizioni…

Gli albori della relatività speciale di… Le nuove supposizioni sono: 1) La velocità della luce, nel vuoto, è la stessa in tutti gli SC, in moto uniforme gli uni relativamente agli altri. 2) Tutte le leggi della natura sono le stesse in tutti gli SC in moto uniforme, gli uni relativamente agli altri. La teoria della relatività s'inizia con queste due supposizioni. Esse sono in contraddizione con la trasformazione classica, per cui d'ora in poi rinunceremo a servirci di quest'ultima. L'essenziale è qui, come sempre nella scienza, di sbarazzarci da pregiudizi profondamente radicati e spesso invocati senza previa disamina. Poiché le tentate modificazioni di 1 e 2 conducono a contraddizioni con l'esperienza, dobbiamo avere il coraggio di riconoscerne decisamente la validità e di attaccare quindi il solo punto palesemente debole, vale a dire le modalità della trasformazione per il passaggio da un SC all'altro. Dobbiamo perciò proporci di trarre anzitutto delle conclusioni dalle nostre supposizioni 1e2, per poi esaminare dove e come esse contrastino con la trasformazione classica e quindi scoprire il significato fisico dei risultati raggiunti.