I numeri figurati Numeri quadrati: Numeri triangolari:
Numeri rettangolari
Indaghiamo sulle proprietà dei numeri naturali Che relazione c’è tra ogni numero quadrato e il suo successivo? Che relazione c’è tra ogni numero triangolare e il suo successivo? Che relazione c’è tra ogni numero rettangolare e il suo successivo? Esiste una relazione tra numeri quadrati e numeri triangolari? Esiste una relazione tra numeri triangolari e numeri rettangolari?
La successione degli gnomoni (parte da aggiungere ad una figura per ottenerne un’altra della stessa forma) dei numeri quadrati corrisponde alla successione dei numeri dispari: Quindi ogni numero dispari si può esprimere come differenza di quadrati di due numeri consecutivi (Pitagora):
La successione degli gnomoni (parte da aggiungere ad una figura per ottenerne un’altra della stessa forma) dei numeri triangolari corrisponde alla successione dei numeri interi:
La successione degli gnomoni (parte da aggiungere ad una figura per ottenerne un’altra della stessa forma**) dei numeri quadrati corrisponde alla successione dei numeri pari: ** In realtà ottengo un altro rettangolo, che non ha però la stessa forma! (tutti i rettangoli hanno però le dimensioni )
Sommando tra loro due numeri triangolari consecutivi, si ottiene sempre un numero quadrato:
Ogni numero triangolare è la metà del numero rettangolare corrispondente: Quindi l’n-simo numero triangolare è dato dalla formula .
Poiché l’n-simo numero triangolare corrisponde alla somma dei primi n naturali, la formula ci permette di calcolare tale somma! Esempio:
Infatti dalla seguente catena di uguaglianze si ottiene: A questo punto, possiamo dimostrare la proprietà osservata al punto d) anche aritmeticamente. Infatti dalla seguente catena di uguaglianze si ottiene: T2+T3 T3
Quali sono le conoscenze e le competenze coinvolte in queste attività? Numeri naturali (pari, dispari, quadrati…) Addizione e sottrazione tra numeri naturali Relazioni e loro rappresentazioni Ordinamenti Confrontare e ordinare numeri Riconoscere, costruire e rappresentare relazioni tra numeri naturali Individuare e descrivere regolarità