LA PARABOLA PREREQUISITI DISTANZA TRA DUE PUNTI Si definisce distanza tra due A e B punti il segmento che unisce tali punti E’ possibile calcolare tale distanza utilizzando la formula: d = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 nel nostro caso essendo A(2,1) e B(6,3) si ottiene: d = (2 – 6)2 + (1 – 3)2 = 20  4,47

Una retta generica nel piano cartesiano ha equazione y = mx + q (forma esplicita) ax + by + c = 0 (forma implicita) Ricordiamo che: m rappresenta il coefficiente angolare della retta ed esprime l’inclinazione della retta rispetto al semiasse positivo delle x q rappresenta l’ordinata all’origine ossia l’ordinata del punto d’intersezione della retta con l’asse y Nella retta in figura si ha m = 2 e q = 1 Vai al file Geogebra

DISTANZA PUNTO RETTA La distanza tra una retta r ed un punto A del piano cartesiano è il tratto d di perpendicolare che va dal punto alla retta. Se il punto è A(xo,yo) e la retta ha equazione y = mx+q è possibile calcolare tale distanza utilizzando la formula: | yo – (mxo + q) | d = 1 + m2 nel nostro caso essendo A(1,7) e r: y = x-2 si ha: |7 - (1-2)| 8 d = =  5,66 1 + 12 2 Vai al file Geogebra

LUOGO GEOMETRICO Si definisce luogo geometrico l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una particolare proprietà. Ad esempio la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. Un altro luogo geometrico è l’asse di un segmento ossia la retta passante per il punto medio di un segmento e perpendicoalre ad esso. Si dimostra che tutti i suoi punti sono equidistanti dagli estremi del segmento.

PARABOLA COME LUOGO GEOMETRICO Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da una retta fissa detta direttrice e da un punto fisso detto fuoco. Nella figura a lato ogni punto P della parabola è tale che la sua distanza dal fuoco F ossia PF è uguale alla sua distanza dalla direttrice della parabola PH. In altre parole PF =PH per ogni punto P della parabola. Parabola Vai al file Geogebra Direttrice Fuoco

EQUAZIONE DELLA PARABOLA Detto P(x,y) un punto generico della parabola, fissati le coordinate del fuoco F e l’equazione della direttrice d, dalla condizione PF = PH che possiamo scrivere utilizzando rispettivamente la formula della distanza tra punti (PF) e quella tra retta e punto (PH), otteniamo dopo pochi passaggi l’equazione in forma normale della parabola: y = ax2 + bx + c con a, b e c coefficienti numerici. Vai al file Excel

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA Data l’equazione di una parabola y = ax2 + bx + c per poterla rappresentare graficamente osserviamo che: Se a > 0 la parabola volge la concavità verso l’alto Se a < 0 la parabola volge la concavità verso il basso V Il punto più in baso della parabola o più in alto prende il nome di V vertice della parabola e le sue coordinate sono V[-b/2a; -(b2-4ac)/4a]

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA L’asse della parabola è la retta verticale passante per il vertice ed è asse di simmetria della parabola stessa ossia ribaltando uno dei due rami della parabola rispetto a tale retta verrà esso a coincidere esattamente con l’altro ramo. La sua equazione sarà: x= -b/2a 4) L’intersezione della parabola con l’asse y si ottiene risolvendo il sistema y = ax2 + bx + c (Parabola) P x = 0 (Asse y) ottenendo il punto P(0;c) 5) L’intersezione della parabola con l’asse x si ottiene invece risolvendo il sistema y = ax2 + bx + c (Parabola) y = 0 (Asse x) Da cui si perviene all’equazione di 2° grado ax2 + bx + c = 0 Vai al file Excel

SIGNIFICATO GEOMETRICO DI UN’EQUAZIONE DI 2° GRADO Come abbiamo visto dunque, risolvere un’equazione di 2° grado ax2 + bx + c = 0 è equivalente a trovare le intersezioni della parabola y = ax2 + bx + c con l’asse x. Ricordando che con  = b2-4ac abbiamo indicato il discriminante dell’equazione generica di 2° grado e con x1 e x2 le soluzioni, possiamo classificare le parabole con lo schema seguente a > 0  < 0 a > 0  = 0 a > 0  > 0 x1  x2 x1 x2 a < 0  < 0 a < 0  = 0 x1  x2 a < 0  > 0 x1 x2