La forma normale di un’equazione di secondo grado è la seguente: Equazioni di secondo grado La forma normale di un’equazione di secondo grado è la seguente: Se sono presenti il termine di secondo grado, il termine di primo grado e il termine noto l’equazione si dice “ completa “ coefficiente del termine di secondo grado coefficiente del termine di primo grado termine noto Le “ soluzioni “ di un’equazione di secondo grado si chiamano anche “ radici ”. Le radici sono due e si possono determinare con la “ formula risolutiva delle equazioni di secondo grado ”.

Si perviene alla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado applicando i principi di equivalenza all’equazione scritta in forma normale Quindi le due radici sono:

Le due radici sono reali se Il binomio prende il nome di “ discriminante ” . Il suo simbolo è la lettera greca “delta” Risolvendo un’equazione si può presentare uno dei seguenti casi: le due radici sono reali e distinte le due radici sono reali e coincidenti (radice doppia) le due radici non sono reali

Se il coefficiente è pari la formula risolutiva può essere semplificata. Si pone quindi La “ formula risolutiva ridotta ” è la seguente: Esempi

Se l’equazione di secondo grado non è completa può essere risolta, in modo più rapido, senza applicare la formula risolutiva. Se manca il termine di primo grado l’equazione si dice “ pura ” tale equazione ammette due radici reali opposte solo se Il coefficiente e il termine noto sono discordi. Le due radici sono: Esempi

Se manca il termine noto l’equazione si dice “ spuria ” Tale equazione ammette due radici reali, una delle quali è nulla. Per risolverla si mette in evidenza l’incognita e si applica la legge di annullamento del prodotto, cioè si uguagliano a zero i due fattori Esempi

Se mancano sia il termine di primo grado che il termine noto l’equazione si dice “ monomia ” Le due radici sono nulle

In un’equazione di secondo grado è possibile scrivere delle relazioni tra i suoi coefficienti e le sue radici. Basta sommare e moltiplicare le radici. Somma delle radici Prodotto delle radici Quindi le relazioni sono le seguenti:

Queste relazioni permettono di trovare l’equazione di secondo grado note le sue radici. In seguito alla sostituzione si ha: Esempi

Le relazioni tra i coefficienti e le radici di un’equazione consentono di scomporre facilmente un trinomio di secondo grado Per scomporre un trinomio di secondo grado è sufficiente uguagliare a zero il trinomio, risolvere l’equazione e, se le radici sono reali, sostituire i numeri giusti nella seguente formula: Esempi

Tramite le equazioni di secondo grado è possibile trovare due numeri reali conoscendo la loro somma e il loro prodotto. Indicando con s la somma e con p il prodotto delle radici Quindi le radici dell’equazione sono i numeri cercati. Esempi

Equazioni di secondo grado parametriche Un’equazione di secondo grado si dice parametrica se, oltre all’incognita, vi compare un’altra lettera. Tale lettera prende il nome di “parametro”. Nelle equazioni parametriche occorre determinare, se possibile, il valore o i valori da attribuire al parametro per far sì che le radici verifichino determinate condizioni. Nella maggior parte dei casi questo problema si risolve ricorrendo alle relazioni tra i coefficienti e le radici: Esempi

Problemi di secondo grado La risposta a molti problemi che si presentano nelle applicazioni pratiche si può ricondurre alla risoluzione di un’equazione di secondo grado. Lo schema di ragionamento da seguire si articola in diverse fasi: attraverso la lettura del testo del problema e l’analisi dei dati si individua la grandezza che possa essere considerata come incognita; si traduce l’enunciato del problema nel linguaggio algebrico, cioè si esprime con un’equazione il legame tra l’incognita e i dati, in pratica si costruisce il cosiddetto “ modello matematico ”; si risolve l’equazione; si verifica se le soluzioni calcolate soddisfano le condizioni del problema. Esempi

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