FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE Lo scopo è quello di trovare una formula che metta in relazione le funzioni goniometriche della somma o della differenza di due angoli dati con le stesse funzioni per gli angoli dati
FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE P Nella costruzione sono dati due angoli, α e β, e P e Q sono i rispettivi estremi dell’arco sulla circonferenza goniometrica Q α β A O
FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE P Riportiamo l’angolo α-β, differenza dei due angoli, in modo che anch’esso abbia origine in A ed estremo R Q α-β R α α-β β A O
FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE P Ricordando che seno e coseno sono ordinata e ascissa dell’estremo dell’arco possiamo porre Yp=senα Xp=cosα ecc… Q α-β R α α-β β A O
FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE P Abbiamo così le coordinate di P, Q, R, A P(cosα, senα) Q(cosβ, senβ) R(cos(α-β), sen(α-β)) A(1, 0) Q α-β R α α-β β A O
FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE P Possiamo poi vedere che i triangoli PQO e RAO sono uguali, in quanto i lati OP, OQ, OR, OA sono tutti uguali perché raggi, mentre l’angolo in O è uguale per costruzione Q α-β R α α-β β A O
FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE P Quindi: PQ=RA ovvero: PQ2=RA2 Q α-β R α α-β β A O
FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE Utilizzando la formula della distanza: Elevando al quadrato e uguagliando:
FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE Sviluppando i quadrati: e usando la prima relazione:
FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE Ed eliminando i termini uguali e trasportando i membri si ottiene la formula finale FORMULA DI SOTTRAZIONE DEL COSENO