Dalla Geometria alle Geometrie Brunetto Piochi (Università di Firenze) Da Euclide (300 a.C.) a Bolyai-Lobacevskij (XIX secolo) a Hilbert (XX secolo) Incontrando Aristotele, Dante, Kant,…

ARISTOTELE (384-322 a.C.) e la SCIENZA

ARISTOTELE : la SCIENZA e la Dimostrazione * Nozioni Comuni * Regole generali di Dimostrazione * Termini primitivi Definizioni * Assiomi / Postulati Proposizioni “EVIDENTI” (Teoremi)

EUCLIDE (circa 300 a.C.) Euclide nel dipinto di Raffaello "La scuola di Atene", 1509

EUCLIDE (circa 300 a.C.) Nozioni comuni I. Cose uguali a una medesima cosa sono uguali anche tra di loro. II. Se cose uguali vengono aggiunte a cose uguali, gli interi sono uguali. III. Se cose uguali vengono sottratte da cose uguali, i resti sono uguali. IV. Cose che coincidono l’una con l’altra sono uguali l’una con l’altra. V. L’intero è maggiore della parte.

EUCLIDE (circa 300 a.C.) Alcuni Termini Primitivi I. Punto è ciò che non ha parti. II. Linea è lunghezza senza larghezza. IV. Retta è la linea che giace ugualmente rispetto ai suoi punti. XXIII. Rette parallele sono quelle che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall’una e dall’altra parte, non si incontrano tra loro da nessuna delle due parti.

EUCLIDE (circa 300 a.C.) I Postulati I. Si può tracciare una retta da un punto qualsiasi a un punto qualsiasi. II. Si può prolungare indefinitamente una retta finita. III. Si può descrivere un cerchio con un centro qualsiasi e un raggio qualsiasi. IV. Tutti gli angoli retti sono uguali.

EUCLIDE (circa 300 a.C.) Il V Postulato V. Se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli interni inferiori a due angoli retti, le due rette, se prolungate indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due angoli retti.

La Prima Proposizione Esiste un Triangolo Equilatero Tracciato un segmento AB, si traccia la circonferenza di centro A e raggio AB e la circonferenza di centro B e raggio AB; sia C uno dei due punti in cui le due circonferenze si intersecano. Risulta che il triangolo ABC è equilatero dal momento che i tre lati sono raggi di una delle due circonferenze che hanno raggi uguali per costruzione.

DANTE e la Matematica

LOGICA Francesco venne poi, com' io fu' morto, per me; ma un d'i neri cherubini li disse: "Non portar: non mi far torto. Venir se ne dee giù tra ' miei meschini perché diede 'l consiglio frodolente, dal quale in qua stato li sono a' crini; ch'assolver non si può chi non si pente, né pentere e volere insieme puossi per la contradizion che nol consente" (INFERNO 27: Guido da Montefeltro)

LOGICA e GRANDI NUMERI Io li credetti; e ciò che 'n sua fede era, vegg' io or chiaro sì, come tu vedi ogni contradizione e falsa e vera. (PARADISO 6 : i dogmi di fede) L'incendio suo seguiva ogne scintilla; ed eran tante, che 'l numero loro più che 'l doppiar de li scacchi s'inmilla. (PARADISO 28: il numero degli Angeli)

OTTICA GEOMETRICA Come quando da l'acqua o da lo specchio salta lo raggio a l'opposita parte, salendo su per lo modo parecchio a quel che scende, e tanto si diparte dal cader de la pietra in igual tratta, sì come mostra esperïenza e arte; così mi parve da luce rifratta (PURGATORIO 15)

FILOSOFIA, LOGICA, GEOMETRIA Non ho parlato sì, che tu non posse ben veder ch'el fu re, che chiese senno acciò che re sufficïente fosse; non per sapere il numero in che enno li motor di qua sù, o se necesse con contingente mai necesse fenno; non si est dare primum motum esse, o se del mezzo cerchio far si puote trïangol sì ch'un retto non avesse. (PARADISO XIII : Salomone)

GEOMETRIA: MODELLO di SAPERE O cara piota mia che sì t'insusi, che, come veggion le terrene menti non capere in trïangol due ottusi, così vedi le cose contingenti anzi che sieno in sé (PARADISO 17 : Cacciaguida) Qual è 'l geomètra che tutto s'affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond' elli indige, tal era io a quella vista nova (PARADISO 33: La Trinità)

EUCLIDE (circa 300 a.C.) I Postulati I. Si può tracciare una retta da un punto qualsiasi a un punto qualsiasi. II. Si può prolungare indefinitamente una retta finita. III. Si può descrivere un cerchio con un centro qualsiasi e un raggio qualsiasi. IV. Tutti gli angoli retti sono uguali.

EUCLIDE (circa 300 a.C.) Il V Postulato V. Se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli interni inferiori a due angoli retti, le due rette, se prolungate indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due angoli retti.

Proposizioni Equivalenti al V Postulato Gli angoli interni, da una stessa parte, formati da due rette parallele con una trasversale sono supplementari (Tolomeo II secolo d.C.) Se una retta incontra una di due rette parallele, incontra anche l'altra (Proclo 412-485) Due rette parallele ad una terza sono parallele tra di loro (Proclo, 412-485 d.C.) Dato un triangolo qualsiasi, si può sempre costruirne un altro simile (cioè con gli stessi angoli) ad esso, di grandezza arbitraria (Wallis 1616-1703). La somma degli angoli di un triangolo è uguale a due angoli retti (Saccheri 1667-1733).

Proposizioni Equivalenti al V Postulato Esiste un rettangolo (Saccheri 1667-1733) Data una retta ed un punto non appartenente ad essa, esiste ed è unica una retta passante per il punto e parallela alla retta data (Playfair, 1748-1819) Per un punto interno ad un triangolo passa sempre una retta secante ambo i lati dell'angolo (Legendre 1752-1833) Per tre punti non allineati passa sempre una ed una sola circonferenza (Bolyai 1775-1856) Si può costruire un triangolo di area maggiore di qualunque numero assegnato (Gauss 1777-1855)

Negare il V Postulato Postulato 5 (Playfair)  Data una retta ed un punto non appartenente ad essa, esiste ed è unica una retta passante per il punto e parallela alla retta data N1.  Data una retta ed un punto non appartenente ad essa, esistono almeno 2 (infinite) rette passanti per il punto e parallele alla retta data. N2.  Data una retta ed un punto non appartenente ad essa, non esiste alcuna retta passante per il punto e parallela alla retta data.

Negare il V Postulato Sostituendo il  quinto postulato con una delle proposizioni equivalenti: In un triangolo la somma degli angoli interni è di 180° si ha che le negazioni N1 e N2 diventano:   N1.  In un triangolo la somma degli angoli interni è minore di 180° N2.  In un triangolo la somma degli angoli interni è maggiore di 180°

Negare il V Postulato

KANT: “Critica della ragion pura” (1781) I giudizi a priori sono indipendenti dall'esperienza e derivano dal pensiero in se stesso, si distinguono per la loro necessità e universalità. I giudizi empirici o a posteriori derivano dall'esperienza, pertanto non sono universali ma contingenti, particolari, dipendono da fatti specifici. I giudizi analitici sono quelli contenuti implicitamente nel soggetto di cui si parla, pertanto non ampliano la nostra conoscenza. I giudizi sintetici sono quelli che aggiungono al soggetto di cui si parla qualcosa che non era già pensato in esso, pertanto ampliano effettivamente la nostra conoscenza.

GIUDIZI A priori empirici analitici Analitici a priori Nessun celibe è sposato Non esistono sintetici Sintetici a priori La GEOMETRIA EUCLIDEA Sintetici empirici Tutti voi siete nati dopo il 1990

KANT afferma che : Per mezzo di giudizi analitici la nostra conoscenza non può estendersi punto, ma può invece essermi reso esplicito e intelligibile il concetto che già posseggo; Nei giudizi sintetici io ho bisogno, oltre che del concetto del soggetto, di qualcos'altro ancora (X), su cui si appoggi l'intelletto per riconoscere che gli appartiene un predicato non compreso nel concetto. Le vere e proprie proposizioni matematiche sono sempre giudizi a priori e non empirici, poiché portano con sé una necessità che non può essere presa dall'esperienza: es. Postulato IV di Euclide

Geometrie Non euclidee e Modelli Link al file Link al software

Ma allora… quale è VERA? “Che cosa penso della domanda: la geometria euclidea è vera? Essa non ha significato. È come chiedersi … se la geometria delle coordinate cartesiane è vera e quella delle coordinate polari è falsa. Una geometria non può essere più vera di un’altra; essa può essere solo più conveniente.” H. Poincaré, La scienza e l’ipotesi, la Nuova Italia, Firenze

Nella Matematica attuale… Gli Assiomi non sono “proprietà” degli oggetti (che non si conoscono !) ma “definiscono” le relazioni a cui essi devono soddisfare. Dunque non si richiede più l’evidenza (Aristotele) ma la non-contraddittorietà (Hilbert). I modelli servono a garantire la non-contraddittorietà (relativa) ma: NON ESISTE UNA NON-CONTRADDITTORIETA’ ASSOLUTA (Godel 1931)