Modelli e Algoritmi per la Logistica Lezione – 3 Il Processo Decisionale ANTONIO SASSANO Università di Roma“La Sapienza” Dipartimento di Informatica e Sistemistica Roma, 25-11-01

Introduzione alla Logistica Lezione 1 Introduzione alla Logistica La Catena Logistica (“Supply Chain”) Rilevanza della Logistica Classificazione dei Sistemi Logistici Modello Decisionale Logistico Lezione 2 Aree di Intervento della Logistica Principali aree di intervento Problemi Logistici: Esempi Lezione 3 Il Processo Decisionale Definizione del modello matematico (PL, PL01,…) Generazione delle Soluzioni (Euristiche e Metodi Esatti) Valutazione delle Soluzioni (Simulazione e “Benchmarking”)

Problema di Decisione – Soluzioni S = insieme delle possibili alternative in un problema di decisione ESEMPI: Scelta del modo di trasporto: S ={Nave + Treno, Camion, Aereo+Treno} Scelta del periodo di produzione: S ={Gennaio, Febbraio+Marzo, Marzo+Aprile, Luglio+Agosto} Scelta del cammino di costo minimo da s a t: S ={Cammini da s a t}

Problema di Decisione – Funzione Obiettivo S = insieme delle possibili alternative in un problema di decisione f (x) : S R = funzione obiettivo ESEMPIO Scelta del modo di trasporto: S ={Nave + Treno, Camion, Aereo+Treno} f(Nave+Treno) =150.000 f(Camion) =121.000 f(Aereo+Treno)=180.000

Problema di Decisione – Modello di Ottimizzazione Problema di Decisione: min { f (x) : x S} < TROVA LA SOLUZIONE DI COSTO MINIMO > Soluzione ottima x*: f (x*) < f (x) per ogni xÎS f (x*) = min { f (x) : x S} x* = argmin { f (x) : x S} ESEMPIO: Scelta del modo di trasporto: S ={Nave + Treno, Camion, Aereo+Treno} f(Nave+Treno) =150.000 f(Camion) =121.000 f(Aereo+Treno)=180.000 f(x*)=121.000; x*=Camion

Ottimizzazione Combinatoria Problema di Decisione: min { f (x) : x S} CON |S| < ∞ L’insieme delle soluzioni ammissibili ha cardinalità finita L’ottimo x* esiste sempre e puo’ essere individuato con una enumerazione completa di S Tempi di calcolo inaccettabili Necessita’ di algoritmi sofisticati (esatti e approssimati) Basati su Certificati di qualita’ Metodologie generali di soluzione

Soluzioni e “Certificati” xÎ S soluzione ammissibile valore della soluzione f( x ) = z f(x*)= z* valore ottimo Lower bound LB < z* = “certificato di qualità” per x : Riduzione del “gap” : z “gap” 1. Miglioramento del “lower bound” z* 2. Miglioramento (riduzione) di z LB Tecniche di ricerca nell’insieme delle soluzioni Tecniche euristiche (euriskein = trovare) - Algoritmo Avido (“Greedy”) - Ricerca Locale (“Local Search”) - Algoritmi Genetici

“Lower Bounds” Metodi per il calcolo dei “Lower Bounds”: Formulazione Lineare Teoria della Dualità Rilassamento Lineare Rilassamento Lagrangiano Programmazione Semi-Definita Metodi combinatorici e “ad hoc”

Esempio: Problema di Decisione Due progetti A e B DATI Vantaggi cA e cB associati Vincolo di “budget” : dA + dB < D Risorse necessarie dA e dB DETERMINARE Quali progetti realizzare per massimizzare il vantaggio rispettando il vincolo di “budget” Se dA =5, dB =7 e D=10 Soluzioni ammissibili: S={{A},{B}, Æ} xÎS = max cA xA + cB xB Utilizzando i vettori di incidenza

Problemi di OC con funzione obiettivo lineare Insieme base G ={1,2,…,n} (eventi elementari) (es. progetto i attivato, nodo i scelto, connessione i stabilita) 1 2 3 n Costi (Vantaggi) elementari {ci associati agli elementi di G } c1 c2 cn Soluzione Ammissibile = Opportuno sottoinsieme F1 ÍG (es. sottoinsieme di progetti attivati che soddisfano il “budget”) F1 c(F1 )= å ci Costo di una soluzione F1 = somma dei costi elementari degli elementi di F1 iÎF1 Insieme delle soluzioni ammissibili S ={F1, F2, …,Fm} F2 F3 min {c(F): FÎ S} Problema:

Problemi di PL01 S = {vettori di incidenza degli insiemi FÎ S} Insieme baseG ={1,2,…,n} (eventi elementari) 1 2 3 9 5 6 7 8 4 F Soluzione ammissibile F={1,2,3,9}Î S Se rappresentiamo F con il suo vettore di incidenza xF abbiamo: xF= E quindi: S = {vettori di incidenza degli insiemi FÎ S} S PL01= Problemi di OC con funzione obiettivo lineare f(x)=cTx min {cTx: xÎ S Í {0,1}n } min {c(F): FÎ S} =

Approccio Modellistico Definizione del Modello Matematico: Verifica della Soluzione: Individuazione delle soluzioni ammissibili Codifica (= Creazione di S ) Definizione della funzione obiettivo Soluzione del problema: Definizione dei “lower bounds” Definizione dei meccanismi di enumerazione Realizzazione e test degli algoritmi Integrazione di strumenti standard

Verifica delle Soluzioni Simulazione - Verifica della soluzione in un ambiente ancora artificiale ma più realistico - Rilassamento delle ipotesi modellistiche più restrittive - Calcolo dettagliato di tutte le grandezze coinvolte - Rappresentazione statistica e dinamica della “realtà” “Benchmarking” - Confronto input-output della soluzione con altre soluzioni “simili” dominanza “virtuale” Risultato (“output”) Finanziamento (“input”) Metodologia DEA “Data Envelopment Analysis” Possibile miglioramento Frontiera efficiente dominanza