MOTO ROTAZIONALE

Rotazione in 2 dimensioni: particella sull’anello in 3 dimensioni: particella sulla sfera

PARTICELLA SULL’ANELLO Il momento angolare di una particella di massa m in moto su un anello di raggio r nel piano xy è rappresentato da un vettore Jz di grandezza pr perpendicolare al piano.

MOTO RETTILINEO MOTO CIRCOLARE v  m I p J = r x p

Ipotesi di de Broglie: alla particella associamo un’onda di lunghezza d’onda =h/mv primo giro secondo giro NON accettabile

Secondo giro Primo giro accettabile

numero intero di lunghezze d’onda ACCETTABILE numero non intero di lunghezze d’onda NON ACCETTABILE

ORIGINE QUALITATIVA DELLA QUANTIZZAZIONE Condizioni cicliche al contorno Una circonferenza di raggio r deve contenere un numero intero ml di λ ml = 0, ± 1, ± 2, …. ml numero quantico Solo certi valori di λ sono accettabili λ = h/mv  sono accettabili solo certi valori della velocità e quindi dell’energia cinetica, cioè dell’energia totale Quantizzazione dell’energia

Quantizzazione del momento angolare J = r x p Jz = ± p r Per la relazione di de Broglie λ = h/p Solo i valori sono accettabili  solo i valori sono accettabili Quantizzazione del momento angolare

Trattazione quantistica

ml = 0, ± 1, ± 2, …. Energia è quantizzata

ml Energia di punto zero = 0 Stati doppiamente degeneri 3 2 1 Stati doppiamente degeneri Stato non degenere Energia di punto zero = 0

I valori positivi e negativi di ml corrispondono a rotazioni in direzioni opposte E non dipende dal senso della rotazione

AUTOFUNZIONI

Nodo Parte reale della Ψ

Numero di nodi = 2

Numero di nodi = ml Al crescere di ml la lunghezza d’onda  diminuisce ↓ p=h/ cresce E=p2/2m cresce

Momento angolare Il momento angolare è quantizzato

La posizione della particella sull’anello è completamente indeterminata

I livelli energetici si avvicinano al crescere del raggio dell’anello Polieni ciclici Energia di eccitazione e lunghezza dell’anello Benzene λ = 204 nm Azulene λ = 340 nm

Sistemi con 4n elettroni sono in stato di tripletto Regola di Huckel 4 n + 2 n = 1 n = 2 Sistemi con 4n elettroni sono in stato di tripletto

PARTICELLA SULLA SFERA Longitudine Latitudine distanza Coordinate sferiche

I due numeri quantici hanno una relazione Una particella su una sfera deve soddisfare 2 condizioni al contorno cicliche Questa richiesta porta a 2 numeri quantici per definire il momento angolare Le 2 condizioni al contorno cicliche sono collegate I due numeri quantici hanno una relazione

l = 0, 1, 2, … ml = l, l-1, …, -l Il momento angolare è quantizzato. L’energia è quantizzata indipendente da ml

l 2 1 ml -2 -1 0 +1 +2 ml -1 0 +1 ml 0

C60 I = me (0.7 nm)2 Ponendo l’’ = 4 e l’ = 5 calcoliamo ΔE = 398 nm. Una transizione è stata osservata nell’UV-VIS a 404 nm.

C60 Au32 Aromaticità sferica 2 (N+1)2 N 2 (N+1)2 0 2 1 8 2 18 3 32 0 2 1 8 2 18 3 32 4 50 5 72 .. .. C60 Au32

Autofunzioni: armoniche sferiche Gli autovalori di L2 sono l(l+1)ħ2 con l = 0, 1, 2, … L’intero l è il numero quantico principale del momento angolare Determina la grandezza del momento angolare Gli autovalori di Lz sono mlħ con -l ≤ ml ≤ l L’intero ml è il numero quantico magnetico Determina la componente z del momento angolare Per ciascun valore di l ci sono 2l+1 possibili valori di ml

Conclusione La meccanica quantistica afferma che un corpo ruotante NON può avere un’orientazione arbitraria rispetto ad un asse. Questa vincolo sull’orientazione è detto quantizzazione spaziale. Il numero quantico ml è detto numero quantico magnetico perché indica l’orientazione di un campo magnetico causato dalla rotazione di un corpo carico attorno ad un asse.

ARMONICHE SFERICHE ml = 0 Il numero di linee nodali aumenta al crescere di l: tanto più grande il momento angolare, tanto maggiore l’energia cinetica.

l ARMONICHE SFERICHE ml La distanza dall’origine corrisponde alla grandezza (modulo) della quantità disegnata ml

Rappresentazione vettoriale del momento angolare La lunghezza è costante. L’orientazione nei 5 stati è diversa.

Effetto Zeeman (1896) B = 0 B  0 l = 1 l = 0 2l+1 livelli energetici -1 l = 1 l = 0 B = 0 B  0 2l+1 livelli energetici

Conosciamo la proiezione del momento angolare lungo l’asse z Che valori hanno le proiezioni lungo x e y ?

ESPERIMENTO DI STERN-GERLACH (1921) Problema le particelle hanno momento angolare intrinseco? Particelle cariche con momento angolare intrinseco hanno momento magnetico Interagiscono con un campo magnetico B non uniforme N S

Apparato sperimentale Risultato classico atteso Risultato sperimentale con atomi di Ag

N S N S z z Sorgente x Ag collimatore B  0 B unif B non unif vapore di Ag collimatore schermo z x Fascio di Ag N S Magnete B uniforme N S Fascio di Ag non uniforme z Numero atomi Ag B  0 B unif B non unif

Atomi in un campo magnetico Teoria classica : interazione di un elettrone orbitante con il campo magnetico v r μ L’elettrone orbitante si comporta come una spira percorsa da corrente Momento magnetico μ  momento angolare L In un campo magnetico B, l’energia di interazione è E = -μ.B B μ Teoria classica: tutti i valori di μ in modulo e direzione sono accettabili Fascio deflesso in modo continuo

ml numero quantico magnetico Teoria quantistica: quantizzazione spaziale  solo certe orientazioni sono accettabili B = 0 (2l+1) stati degeneri con ml = -l, …, +l B ≠ 0 (2l+1) stati con energie diverse ml = 0 ml = -1 ml = +1 ml numero quantico magnetico

Particella con spin ½ ( 107Ag o 1H) Particella con spin 1 (2H) Particella con spin 3/2 (7Li) Nell’esperimento di Stern-Gerlach con atomi di Ag non compaiono (2 l + 1) fasci

Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach ? Particella con spin ½ (107Ag)

Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach Particella con spin ½ (107Ag) Una volta che abbiamo selezionato una componente pura lungo l’asse z, rimane in quello stato

Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach ? Particella con spin ½ (107Ag)

Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach dietro davanti Particella con spin ½ (107Ag) Quello che è successo lungo l’asse z non ha importanza se ora guardiamo lungo l’asse x. Il fascio si divide ancora in 2.

Esperimenti di Stern-Gerlach in sequenza comp.Sz+ Componente Sz+ Nessuna comp. Sz- SGz Sorgente SGz comp. Sz- SGz SGx Fascio Sx+ Fascio Sx- Fascio Sz+ Fascio Sz- Sorgente Fascio Sx- Fascio Sz+ Fascio Sz- Fascio Sx+ SGz SGx Sorgente Possiamo conoscere una sola delle componenti

Il modello vettoriale Immaginiamo che L precessi attorno all’asse z. Quindi la grandezza di L e della componente lungo z Lz sono costanti, mentre le componenti x e y possono avere qualunque valore e il loro valor medio è zero Un dato numero quantico l determina la grandezza del vettore L z L La componente z può avere 2l+1 valori corrispondenti a Nel modello vettoriale questo vuol dire che solo certi angoli fra il vettore momento angolare e l’asse z sono permessi θ

Il modello vettoriale Esempio: l = 2 Lx Ly Lz La grandezza del momento angolare è La componente del momento angolare lungo z può essere

Rappresentazione del momento angolare Proiezione lungo z definita Proiezioni lungo x ed y non specificate.  Un cono è una rappresentazione più realistica di un vettore.

Principio di corrispondenza

SPIN s Il risultato dell’esperimento di Stern-Gerlach NON è in accordo 1) con la fisica classica che predice una distribuzione continua 2) con quanto visto sinora sul momento angolare in meccanica quantistica: 2 l + 1 numero dispari di gruppi. Momento angolare intrinseco Non esiste un analogo classico, è un effetto puramente quantistico s

Il momento angolare è un vettore. Lo Spin è una proprietà quanto meccanica di molte particelle fondamentali o di combinazioni di particelle. E’ detto “spin” perché è un tipo di momento angolare ed è descritto dalle equazioni che trattano il momento angolare. Il momento angolare è un vettore. Dovremmo essere capaci di determinare l’orientazione 3D e la lunghezza di questo vettore. L’esperimento rivela che è impossibile. Possiamo conoscere una sola orientazione (per convenzione l’asse z) e la sua grandezza simultaneamente, ma le altre orientazioni sono completamente incognite. 52

Lo spin dell’elettrone (s = 1/2) può avere solo 2 orientazioni rispetto ad un asse specificato Un elettrone  (↑) è un elettrone con ms = + 1/2 Un elettrone  (↓) è un elettrone con ms = - 1/2 La lunghezza del momento angolare di spin è

NUMERI QUANTICI MOMENTO ANGOLARE Nome Simbolo Intervallo di valori Momento angolare orbitale l 0, 1, 2, ….. Momento magnetico orbitale ml 0, ±1, …, ±l Momento angolare di spin s 1/2 per un elettrone Momento magnetico di spin ms ±1/2 per un elettrone

Spin Nucleare I Isotopi con numero di massa pari  spin 0 o intero Numero pari di protoni + numero pari di neutroni  nessuno spin (12C and 18O) Numero dispari di protoni + numero dispari di neutroni  spin = intero > 0 (14N) Isotopi con numero di massa dispari  spin semi-intero (13C, 1H, 31P, 19F, 15N)