I.T.C.G. MOSE' BIANCHI - MONZA

by ITALIANO MANUEL A3 GEOMETRI DIURNO A.S. 2000/2001 FUNZIONI GONIOMETRICHE: SENO, COSENO, TANGENTE & COTANGENTE by ITALIANO MANUEL A3 GEOMETRI DIURNO A.S. 2000/2001

INDICE Circonferenza goniometrica Seno di un angolo Coseno di un angolo Tangente di un angolo Cotangente di un angolo Segno delle funzioni goniometriche Relazioni fondamentali

CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Circonferenza con centro nell’origine e avente per raggio il segmento di misura 1; la sua equazione è: x2 + y2 = 1. Sia dato un angolo orientato (in senso antiorario) , chiameremo il punto B punto associato all’angolo  sulla circonferenza goniometrica.

SENO DI UN ANGOLO Quindi: sen  = yB = BH. Si dice seno di un angolo  l’ordinata del punto associato ad  nella circonferenza goniometrica. Quindi: sen  = yB = BH. Al variare dell’angolo  il seno assume valori appartenenti all’intervallo [-1; 1].

GRAFICO DELLA FUNZIONE y=senx Il grafico della funzione y=senx si chiama sinusoide. Il seno è una funzione periodica con periodo uguale a 360°, cioè: sen( + k360°) = sen  (k Z).

COSENO DI UN ANGOLO Si dice coseno di un angolo  l’ascissa del punto associato ad  nella circonferenza goniometrica. Quindi: cos  = xB = OH. Al variare dell’angolo  il coseno assume valori appartenenti all’intervallo [-1; 1].

GRAFICO DELLA FUNZIONE y=cosx Il grafico della funzione y=cos x si chiama cosinusoide. Il coseno è una funzione periodica con periodo 360°, cioè: cos( + k360°) = cos  (k  Z)

TANGENTE DI UN ANGOLO tg  = yT = AT. Si definisce tangente dell’angolo  l’ordinata del punto T d’intersezione tra il secondo lato dell’angolo e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A : tg  = yT = AT. I triangoli OTA e OBH sono simili, quindi: AT : OA = HB : OH, Ma OA = 1, AT = tg , HB = sen  e OH = cos ; perciò:

GRAFICO DELLA FUNZIONE y=tgx Se cos  = 0, quindi se  = 90° + k180° (k  Z) la tangente non esiste. La tangente è una funzione periodica con periodo 180°, cioè: tg ( + k180°) = tg  (k  Z).

COTANGENTE DI UN ANGOLO Si definisce cotangente dell’angolo  l’ascissa del punto S d’intersezione tra il secondo lato dell’angolo e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto C : cotg  = xS = CS Poiché i triangoli OCS e OBH sono simili, risulterà che

GRAFICO DELLA FUNZIONE y=cotgx Se sen  = 0, quindi per  = k180° (k  Z), la cotangente non esiste. La funzione cotangente è periodica di periodo 180°, cioè: cotg  = cotg( + k180°) con k  Z.

ANGOLI DI 45° sen 45° = yB = HB e cos 45° = xB = OH; OA = OB = 1. Essendo OHB un triangolo rettangolo isoscele, è HB = OH. Per il teorema di Pitagora, applicato al triangolo OHB, si ha:

SEGNO DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE

RELAZIONI FONDAMENTALI Consideriamo una circonferenza ed un angolo orientato  (vedi D4). Sia B il punto ad esso associato. Poiché il punto B appartiene alla circonferenza di equazione x2 + y2 = 1, le sue coordinate devono soddisfare a tale equazione. Si avrà dunque, qualunque sia l’angolo , (sen )2 + (cos )2 = 1, cioè: sen2  + cos2  = 1. La somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo è uguale all’unità. Il rapporto tra seno e coseno di uno stesso angolo è uguale alla tangente dell’angolo stesso.

ANGOLI ASSOCIATI Angoli opposti Angoli supplementari Angoli che differiscono di 180° Angoli esplementari Angoli complementari

ANGOLI OPPOSTI Due angoli sono opposti quando la loro somma è zero. cos(-x) = cos x sen(-x) = -sen x tg(-x) = -tg x cotg(-x) = -cotg x Angoli opposti hanno coseno uguale, seno, tangente e cotangente opposti.

ANGOLI SUPPLEMENTARI Due angoli si dicono supplementari quando la somma delle loro misure è uguale a 180°. Le loro funzioni saranno pertanto: cos (180°- ) = -cos , sen (180°- ) = sen , tg (180°- ) = -tg , cotg (180°- ) = -cotg . Angoli supplementari hanno seno uguale e coseno, tangente e cotangente opposti.

ANGOLI CHE DIFFERISCONO DI 180° sen (180° + ) = -sen  cos (180° + ) = -cos  tg (180° +  ) = tg 

ANGOLI ESPLEMENTARI sen (360° - ) = -sen  cos (360° - ) = cos  tg (360° - ) = -tg 

ANGOLI COMPLEMENTARI Due angoli si dicono complementari quando la somma delle loro misure è uguale a 90°. sen (90° - x) = cos x cos (90° - x) = sen x tg (90° - x) = cotg x cotg (90° - x) = tg x Il coseno, il seno, la tangente e la cotangente di un angolo sono rispettivamente uguali al seno, coseno, cotangente e tangente del suo complementare.

VALORI DI ANGOLI NOTEVOLI

ESERCIZI SVOLTI sen150° = sen (180°- 30°) = sen30° = 0,5 cos120° = cos (180°- 60°) = - cos60° = - 0,5 tg135° = tg (180°- 45°) = - tg45° = -1 cos300° = cos (360°- 60°) = cos60° = 0,5 cos1260° = cos (3 * 360°+ 180°) = cos180° = -1