Geometria euclidea, affine e proiettiva Anno accademico 2007-2008 1 ottobre – 1 dicembre 2007

Quante geometrie? Felix Klein, 1872, “Programma di Erlangen” S, insieme di punti G, gruppo di trasformazioni di S Ricerca delle proprietà che non variano

Figure equivalenti rispetto a G F, F’ sottoinsiemi di S, figure φ: S → S bigettiva (trasformazione) φ Є G F equivalente a F’ rispetto a G F G F’ se F = φ(F’) La relazione G è riflessiva, simmetrica, transitiva

Il programma di Erlangen La geometria dello spazio S dotato del gruppo G è la ricerca e lo studio delle proprietà delle figure di S che sono invarianti rispetto alle trasformazioni del gruppo G. Figure equivalenti rispetto a G hanno le stesse proprietà geometriche.

Trasformazioni in natura: ombre Raggi del sole a perpendicolo: figura e ombra hanno lati e angoli uguali (isometria, trasformazione euclidea) Lampada sulla verticale: figura e ombra sono simili Figure da M. Menghini

Altre ombre e trasformazioni Ombra prodotta dai raggi del sole: i quadrati diventano parallelogrammi, trasformazione affine Ombra da una lampada: i quadrati si proiettano in quadrilateri generici, proiettività Figura da M. Menghini

Perché la geometria proiettiva? modello matematico che spiega l’insieme delle tecniche – la prospettiva - trovate dai pittori del Rinascimento Leon Battista Alberti, De pictura, 1435 Piero della Francesca, De prospectiva pingendi, 1482 Albrecht Dürer, L’arte della misura, 1525

Pittura e geometria poiché la geometria è il giusto fondamento di ogni pittura, ho deciso di insegnare i suoi rudimenti e principi a tutti i giovani che vogliono apprendere l’arte... (A. Dürer) Euclide, Ottica, stampata a Venezia nel 1505 Desargues, La prospettiva, 1636 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Art.html

Che cosa è la prospettiva? Per farcene un’idea, cominciamo osservando alcuni quadri Molte fra le immagini che seguono sono tratte dal CD allegato al testo “Le geometrie della visione” di Catastini-Ghione Per i disegni, è stato usato un software di geometria

Confrontate questo dipinto… Duccio da Boninsegna (ca. 1255-1319) Nozze di Canaan

…con questo dipinto Raffaello Sanzio (1483-1520) Sposalizio della vergine

Il modello della piramide visiva (figura da E.Danti, 1536-1586)

I raggi visivi che colpiscono una retta giacciono in un piano

Il piano dei raggi visivi taglia il quadro in una retta

Se P descrive una retta del pavimento, P’ ..... Nel piano definito dall’occhio e dalla retta osservata, i raggi visivi stabiliscono una corrispondenza tra la retta osservata e la sua immagine sul quadro CabriII Come vengono viste nel quadro due rette parallele del pavimento?

Rette parallele sono viste incidenti

Il punto di fuga

Punti all’infinito Le immagini di due rette parallele si intersecano in un punto Il punto di fuga si può pensare come immagine di un punto lontano, dove convergono le due rette parallele, il punto all’infinito La proiezione dall’occhio è una corrispondenza quasi biunivoca tra una retta e la sua immagine Con l’introduzione dei punti all’infinito diviene bijettiva

La proiezione, funzione dispettosa Ogni punto P dello spazio, diverso da O (occhio) ha una ben definita immagine sul piano del quadro se la retta OP è parallela al quadro, l’immagine di P è un punto all’infinito Ogni punto P’ del quadro è immagine degli infiniti punti della retta OP’ Fissato un piano  diverso dal quadro,ogni P’ del quadro è immagine di un solo P  

Pavimento e quadro La proiezione da O è biunivoca tra pavimento e quadro Linea di terra: retta comune ai due piani I punti della linea di terra hanno come immagine se stessi

Il pittore disegna su un semipiano Studiamo la corrispondenza tra il pavimento al di là del quadro e il quadro Se P descrive una semiretta nel pavimento, la sua immagine nel quadro descrive un segmento

L’omologia di Piero della Francesca

Il pavimento e le alzate

Il pavimento a piastrelle di Fra Lippi

Nello spazio ampliato Si estendono agli elementi impropri proprietà valide per quelli propri: Due punti all’infinito individuano una retta all’infinito che li contiene entrambi Due rette all’infinito hanno in comune uno ed un solo punto all’infinito

Senza distinguere propri, impropri Due punti individuano una retta a cui appartengono (retta congiungente) Tre punti che non appartengono ad una stessa retta, individuano un piano a cui essi appartengono (piano congiungente) Due piani individuano una retta, che appartiene ad entrambi (loro intersezione) Tre piani, che non appartengano ad una stessa retta, individuano un punto, in cui si tagliano

Senza distinguere propri, impropri Un punto ed una retta che non si appartengono, individuano un piano (congiungente) a cui appartengono entrambi Se due punti di una retta appartengono a un piano, la retta appartiene al piano Due rette per uno stesso punto appartengono ad uno stesso piano Un piano ed una retta, che non si appartengano, individuano un punto (intersezione) che appartiene a entrambi Se due piani per una retta contengono un punto, la retta passa per il punto Due rette appartenenti ad uno stesso piano passano per uno stesso punto

La geometria proiettiva sintetica Le proposizioni precedenti vengono prese a fondamento della teoria Teoria assiomatica: nozioni primitive: punti, rette, piani, relazione di appartenenza assiomi “grafici” Dualità: ogni assioma grafico si cambia in un altro se si scambiano le parole punto e piano

Geometria proiettiva algebrica analitica: punti, rette, piani sono determinati da coordinate o da equazioni omogenee Coordinate omogenee Quoziente di uno spazio vettoriale

Indice indicativo Il piano proiettivo come ampliamento del piano della geometria elementare Costruzioni grafiche: birapporto, prospettività, proiettività tra rette Spazi proiettivi, dualità Proiettività del piano, omologia Affinità, isometrie Polarità, coniche e quadriche Classificazioni proiettive e affini

La città ideale, ritenuta della scuola di Piero, recentemente attribuita a Leon B. Alberti