Prof. Marco Farina Dipartimento di Elettromagnetismo e Bioingegneria Microonde Prof. Marco Farina Dipartimento di Elettromagnetismo e Bioingegneria

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Testi consigliati Microwave Engineering, David M. Pozar, Wiley & Sons; Ramo-Whinnery-Van Duzer: Campi e Onde nell’elettronica delle Telecomunicazioni Microwave Solid State Circuit Design, Inder Bahl e Prakash Bhartia, Wiley & Sons

Equazioni di Maxwell +

Propagazione guidata Le linee ne sono un caso particolare Superficie arbitraria uniforme in z, in grado di vincolare le onde in tale direzione z Guide “metalliche”: es. guide d’onda, guide planari (microstriscia, complanare ecc) Guide “dielettriche”: es. fibre ottiche Limitando al regime sinusoidale permanente (fasori) cercheremo soluzioni del tipo componente campo trasversale (piano XY) componente campo longitudinale (direzione di propagazione)

La costante di propagazione g sarà generalmente complessa g=a+jb Cosa si può dedurre dalle equazioni di Maxwell? Mettiamoci in condizioni di assenza di sorgenti Ed esplicitiamo la legge di Faraday Chiaramente ora Analogamente dalla legge di Ampère/Maxwell

Notate che Hy dipende solo da Hz ed Ez

In modo analogo si ottengono le relazioni Cioè: le componenti trasversali del campo, nell’ipotesi di onde guidate, sono funzione delle componenti longitudinali

Ora, qualora vi fosse solo propagazione senza attenuazione così che a denominatore delle relazioni compare k2-b2 Notate che se k=b i campi trasversali divergono a meno che Ez ed Hz non siano simultaneamente nulle: solo le onde con Ez=Hz=0, definiti “modi TEM, trasverso-elettromagnetici”, possono avere costante di propagazione - e quindi velocità di fase- coincidenti con quelle della luce

Cosa succede all’equazione di Helmhotlz nell’ipotesi di onda guidata ? Conviene isolare nell’operatore laplaciano la derivata in z, cioè scrivere

Il primo termine, che opera solo sulle coordinate x,y, trasversali rispetto alla direzione di propagazione z, lo chiamiamo brevemente laplaciano trasverso D’altro canto la doppia derivazione in z, con la dipendenza esponenziale che abbiamo assunto, diventa solo una moltiplicazione per g2 (meraviglie degli esponenziali!) L’equazione d’onda diventa in tal caso Che definiremo equazione d’onda per onde guidate; analogamente per il campo magnetico

Ciascuna eq d’onda vettoriale rappresenta 3 equazioni scalari Tuttavia sappiamo che bastano Ez ed Hz per determinare le altre componenti Le equazioni di Maxwell sono lineari: potremo immaginare le soluzioni generali come combinazioni lineari di soluzioni più semplici Definiremo quindi: modi TE (trasverso-elettrici) quelli per cui Ez=0 modi TM (trasverso-magnetici) quelli per cui Hz=0 modi TEM (trasverso-elettromagnetici) quelli per cui simultaneamente Ez=Hz=0

Chiaramente, l’equazione d’onda scalare in Hz (+condizioni al contorno) sarà sufficiente per determinare i campi dei modi TE Viceversa per i TM sarà sufficiente lavorare su Ez Cosa succede con i TEM?

Abbiamo appena detto che nel caso particolare TEM Per cui in tale caso specifico l’equazione diventa A tutti gli effetti, una coppia di equazioni di Laplace. Le onde TEM hanno quindi la particolarità di avere distribuzioni di campo nei piani trasversali (sia la componente elettrica che magnetica: analoga equazione di otterrebbe per H), del tutto simili alle distribuzioni di campo elettrostatico e magnetostatico nella stessa struttura, con la differenza fondamentale che si propagano in z con costante k

Particolarizziamo le equazioni che avevamo ricavato al caso TEM Relazioni simili alle onde piane (che ne sono un caso particolare) Si propagano per ogni frequenza, visto che in assenza di perdite Sempre immaginario Le soluzioni dipendono chiaramente dalle condizioni al contorno, ma possono essere non banali solo se queste costituiscono un dominio non semplicemente connesso Pensate all’elettrostatica: se non potete individuare due punti a potenziale diverso, il gradiente del potenziale (perciò il campo elettrico) è identicamente nullo

In generale, per n conduttori, otterremo n-1 soluzioni indipendenti non banali: n-1 MODI TEM Nell’esempio di sopra abbiamo due strisce metalliche ed un piano (o scatola) di massa: 2 modi Si tratta di un caso particolare, ovvero SIMMETRICO, nel qual caso di definisce PARI il caso in cui le componenti tangenziali del campo magnetico si annullano sul piano di simmetria, e DISPARI quelle in cui sono le componenti tangenziali del campo elettrico ad annullarsi

Trattiamo il caso TM: in tal caso dovremo risolvere l’eq. Definiamo in particolare Dovremo imporre che le componenti tangenziali di E siano nulle sulla guida metallica (se metallica ideale): questo garantisce l’unicità della soluzione Tuttavia, basterà imporre che Ez sia nulla sulla guida per assicurarsi che tutte le componenti tangenti lo siano z Et Del resto possiamo ricavare una relazione semplice per avere le componenti tangenziali da E

Ovvero, vettorialmente Vediamo le proprietà della costante di propagazione: ricaviamola dalla definizione di kc Mentre k dipende dalla frequenza, kc dipende fondamentalmente dalle condizioni al contorno Per frequenze basse, il termine sotto radice è positivo e la costante di propagazione REALE: ATTENUAZIONE

Ridefiniamo kc Così che la pulsazione wc costituisca la pulsazione a cui g =0 Posto su un grafico fc

Invece per w>wc Posto su un grafico fc k Notate che per frequenze alte, la costante di propagazione si avvicina a quella della luce

La velocità di fase è, per definizione, il rapporto tra pulsazione e costante di propagazione Al “taglio” diviene infinita, e decresce per frequenze maggiori Quando la velocità di fase dipende dalla frequenza, il modo si definisce “dispersivo”. In particolare la dipendenza dalla frequenza decrescente si definisce “dispersione normale”

La velocità di gruppo è, per definizione, il rapporto tra le variazioni di pulsazione e costante di propagazione Essa rappresenta la velocità dell’inviluppo di un pacchetto di onde Notiamo che il rapporto tra componenti ortogonali di campo elettrico e magnetico è Quantità che definiamo impedenza modale TM, così da poter scrivere

fc