Propagazione guidata Le linee ne sono un caso particolare z Superficie arbitraria uniforme in z, in grado di vincolare le onde in tale direzione n Guide metalliche: es. guide donda, guide planari (microstriscia, complanare ecc) n Guide dielettriche: es. fibre ottiche Limitando al regime sinusoidale permanente (fasori) cercheremo soluzioni del tipo componente campo trasversale (piano XY) componente campo longitudinale (direzione di propagazione)

La costante di propagazione sarà generalmente complessa j Cosa si può dedurre dalle equazioni di Maxwell? Mettiamoci in condizioni di assenza di sorgenti Ed esplicitiamo la legge di Faraday Chiaramente ora Analogamente dalla legge di Ampère/Maxwell

Notate che Hy dipende solo da Hz ed Ez

In modo analogo si ottengono le relazioni Cioè: le componenti trasversali del campo, nellipotesi di onde guidate, sono funzione delle componenti longitudinali

Ora, qualora vi fosse solo propagazione senza attenuazione Notate che se k= i campi trasversali divergono a meno che Ez ed Hz non siano simultaneamente nulle: solo le onde con Ez=Hz=0, definiti modi TEM, trasverso-elettromagnetici, possono avere costante di propagazione - e quindi velocità di fase- coincidenti con quelle della luce così che a denominatore delle relazioni compare k 2 - 2

Cosa succede allequazione di Helmhotlz lavevamo già visto nellipotesi di onda guidata n Conviene isolare nelloperatore laplaciano la derivata in z, cioè scrivere

n Il primo termine, che opera solo sulle coordinate x,y, trasversali rispetto alla direzione di propagazione z, lo chiamiamo brevemente laplaciano trasverso Daltro canto la doppia derivazione in z, con la dipendenza esponenziale che abbiamo assunto, diventa solo una moltiplicazione per 2 (meraviglie degli esponenziali!) n Lequazione donda diventa in tal caso n Che definiremo equazione donda per onde guidate; analogamente per il campo magnetico

n Ciascuna eq donda vettoriale rappresenta 3 equazioni scalari n Tuttavia sappiamo che bastano Ez ed Hz per determinare le altre componenti n Le equazioni di Maxwell sono lineari: potremo immaginare le soluzioni generali come combinazioni lineari di soluzioni più semplici n Definiremo quindi: u modi TE (trasverso-elettrici) quelli per cui E z =0 u modi TM (trasverso-magnetici) quelli per cui H z =0 u modi TEM (trasverso-elettromagnetici) quelli per cui simultaneamente E z =H z =0

n Chiaramente, lequazione donda scalare in H z (+condizioni al contorno) sarà sufficiente per determinare i campi dei modi TE n Viceversa per i TM sarà sufficiente lavorare su E z

n Trattiamo il caso TM: in tal caso dovremo risolvere leq. n Definiamo in particolare n Dovremo imporre che le componenti tangenziali di E siano nulle sulla guida metallica (se metallica ideale): questo garantisce lunicità della soluzione z EtEt n Tuttavia, basterà imporre che Ez sia nulla sulla guida per assicurarsi che tutte le componenti tangenti lo siano n Del resto possiamo ricavare una relazione semplice per avere le componenti tangenziali da E

n Ovvero, vettorialmente n Vediamo le proprietà della costante di propagazione: ricaviamola dalla definizione di kc n Mentre k dipende dalla frequenza, kc dipende fondamentalmente dalle condizioni al contorno n Per frequenze basse, il termine sotto radice è positivo e la costante di propagazione REALE: ATTENUAZIONE

n Ridefiniamo kc Così che la pulsazione c costituisca la pulsazione a cui =0 n Posto su un grafico fcfc

Invece per > c n Posto su un grafico fcfc k n Notate che per frequenze alte, la costante di propagazione si avvicina a quella della luce

n La velocità di fase è, per definizione, il rapporto tra pulsazione e costante di propagazione n Al taglio diviene infinita, e decresce per frequenze maggiori n Quando la velocità di fase dipende dalla frequenza, il modo si definisce dispersivo. In particolare la dipendenza dalla frequenza decrescente si definisce dispersione normale

n La velocità di gruppo è, per definizione, il rapporto tra le variazioni di pulsazione e costante di propagazione n Essa rappresenta la velocità dellinviluppo di un pacchetto di onde n Notiamo che il rapporto tra componenti ortogonali di campo elettrico e magnetico è n Quantità che definiamo impedenza modale TM, così da poter scrivere

fcfc