Circuiti e Componenti Ottici Marco Farina

Modalità esame: prova orale Testo di riferimento “Componenti e Circuiti Ottici”, Tullio Rozzi e Andrea di Donato

Tutto sui campi EM ed i loro effetti! Leggi di Maxwell + Tutto sui campi EM ed i loro effetti!

Relazioni costitutive Nel caso particolare di mezzo omogeneo (proprietà indipendenti dalla posizione), isotropo (indipendenti dalla direzione), lineare (mezzo non modificato dal campo che lo attraversa) e senza memoria (proprietà indipendenti dal tempo), il vettore di Polarizzazione che riassume come reagisce il mezzo al campo è Invece per il campo magnetico introduciamo un vettore di magnetizzazione M Per cui

In generale Un campo elettrico è prodotto: o da cariche elettriche o da un campo magnetico che varia nel tempo Un campo magnetico è prodotto: o da correnti elettriche o da un campo elettrico che varia nel tempo Possiamo avere un campo elettrico dove non ci sono cariche ed un campo magnetico dove non ci sono correnti

Qualitativamente... Un campo elettrico che varia nel tempo produce un campo magnetico che varia nel tempo, che produce un campo elettrico che varia nel tempo…. Ma cos’è c che compare nelle equazioni? (nascosto da noi in mo) Nelle equazioni di Maxwell era una costante da determinare sperimentalmente (come eo) che appariva essere Quantitativamente uguale alla velocità della luce nel vuoto Pari alla velocità con cui si propaga l’interazione elettromagnetica (lo vedremo) “….sarebbe difficile evitare la conclusione che la luce consiste di oscillazioni trasversali del medesimo mezzo che è la causa dei fenomeni elettrici e magnetici” J.C. Maxwell

Implicazioni in equazioni Poniamoci in una regione (magari nel vuoto) in cui non ci sono né correnti né cariche, ma c’è un campo elettromagnetico Prendiamo il rotore della prima Applichiamo la solita identità a sinistra e sostituiamo la seconda a destra Non ci sono cariche

Equazione d’onda Quindi, nel vuoto Equazione di Helmholtz o d’onda Vediamo cosa rappresenta in un caso semplice: immaginiamo di avere un campo elettrico tutto in x e che dipende solo dalla coordinata z x z Provando a sostituire verifichiamo che le soluzioni hanno l’aspetto di Non avendo parlato di condizioni al contorno (ed iniziali) non possiamo dire nulla per ora sul dettaglio di f

Equazione d’onda Prendiamo per esempio la soluzione con il segno negativo: All’aumentare del tempo, subisce una traslazione sull’asse z: mettiamoci a guardare f ad un certo istante, e vediamo una forma per f. Se aumenta t, devo aumentare z per continuare a vedere la stessa forma Di quanto devo aumentare z? se passa Dt, devo spostarmi di Dz tale che Cioè: mi devo spostare verso z crescenti alla velocità della luce. La soluzione descrive un campo che si propaga alla velocità c in direzione di z

Equazione d’onda Viceversa, dovremo viaggiare a -c nell’altra soluzione Le soluzioni delle equazioni di Maxwell sono onde 'light itself (including radiant heat, and other radiations if any) is an electromagnetic disturbance in the form of waves propagated through the electromagnetic field’ J.C. Maxwell Immaginiamo che a dare il via a quest’onda, da qualche parte “lontano" nello spazio dal nostro punto attuale di osservazione, sia stata una corrente alternata (in realtà andando ad usare l’eq d’onda che è differenziale -eq. del punto!- basterà considerare punti di osservazione in cui la densità di corrente è nulla) Ci aspettiamo campi anch’essi sinusoidali: in effetti Soddisfa l’equazione d’onda

Equazione d’onda Se E ha tale forma, il campo H riusciamo a ricavarlo dall’equazione di Faraday Tutto diretto lungo y: sia H che E sono ortogonali alla direzione di propagazione (ed ortogonali tra loro) ed uniformi nel piano xy: onda piana

Equazione d’onda Notate Ex ed Hy sono in un rapporto costante: Impedenza d’onda Il segno dipende dalla direzione di propagazione (quale sia l’effettiva direzione di propagazione dipenderà dalle condizioni al contorno)

Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting Definiamo la quantità ExH, vettore di Poynting: perché? pensando all’onda piana della lezione precedente pare una quantità interessante: è un vettore orientato nella direzione di propagazione. Dimensionalmente è una potenza per unità di area (E in V/m, H in A/m, EH è in VA/m2 cioè Watt/m2) Proviamo a trarre qualcosa dalle equazioni di Maxwell, ipotizzando solo di avere mezzi “senza memoria” (e,m non dipendono dal tempo), isotropi e lineari Distinguiamo le correnti in due classi: quelle impresse (per esempio da un generatore alternato) Ji e quelle indotte dal campo J

Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting Le equazioni del rotore sono in questo caso Calcoliamo la divergenza del vettore di Poynting ...Abbiamo usato un’altra identità Sostituiamo a secondo membro le eq di Maxwell

Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting Immaginiamo che le correnti indotte J fluiscano in un conduttore con conducibilità s: la legge di Ohm Inoltre, per mezzi lineari, isotropi, senza memoria Esprime la conservazione dell’energia densità di energia del campo elettromagnetico densità di potenza dissipata per effetto termico densità di potenza fornita dal generatore

Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting Integriamo su un volume per ricavarne la forma integrale: applichiamo il teorema della divergenza Il primo termine è un flusso di energia nel volume per unità di tempo Allora, rileggendo il teorema di Poynting come conservazione dell’energia, leggiamo l’equazione di sopra dicendo che l’energia che forniamo nell’unità di tempo ad una certa regione deve essere uguale alla somma di Potenza dissipata per effetto Joule nei conduttori Potenza immagazzinata dal campo elettromagnetico in tale regione Potenza netta portata via attraverso la superficie di bordo S della regione V dalle onde elettromagnetiche

teorema di Poynting: come viaggia l’energia? In un conduttore ideale E ed H sono nulli: quindi P è nullo. Dove viaggia l’energia? Immaginiamo un esperimento: i superconduttore Conduttore reale z B Il campo elettrico e la corrente nel filo sono orientati lungo z: legge di Ohm l Il campo magnetico è dato dalla legge di Biot-Savart Il vettore di Poynting Cioè viaggia esternamente (nel dielettrico o nel vuoto) e penetra radialmente

teorema di Poynting: come viaggia l’energia? Tra l’altro facendone il flusso attraverso un cilindro concentrico, di raggio r: solo la superficie laterale contribuisce: Pari alla potenza dissipata per effetto Joule

Condizioni al contorno Abbiamo le equazioni differenziali. Quali sono le condizioni al contorno? Come si devono comportare i campi quando incontrano un materiale diverso? Le equazioni di Maxwell valgono ovunque: usiamo la loro forma integrale e vediamo che vincoli devono rispettare le soluzioni delle equazioni differenziali (valide nel “punto”)

Condizioni al contorno: continuità componente elettrica tangenziale Supponiamo di avere due mezzi, caratterizzati da permettività (e1, m1) e (e1, m1), rispettivamente Decomponiamo il campo nelle sue componenti tangenziali (Et) ed ortogonali (En) alla superficie di separazione Usiamo la legge di Faraday, applicata ad un percorso rettangolare intorno all’interfaccia Riduciamo l’altezza del rettangolo fino a renderla infinitesima: il contributo alla circuitazione di En diventa nullo, come il flusso FB per cui Quindi la componente tangenziale di E deve essere continua all’interfaccia

Condizioni al contorno: continuità componente magnetica tangenziale Densità di corrente J Facciamo lo stesso ragionamento per H Usiamo la legge di Ampère-Maxwell, applicata ad un percorso rettangolare intorno all’interfaccia Riduciamo l’altezza del rettangolo fino a renderla infinitesima: il contributo alla circuitazione di Hn diventa nullo, come il flusso di D, ed il flusso di J (se si ha una densità finita di corrente J...) La componente tangenziale di H deve essere continua all’interfaccia

Condizioni al contorno: continuità componente elettrica D normale Usiamo la legge di Gauss applicata ad un cilindretto Facciamo tendere a zero l’altezza del cilindretto, così che si annulli qualunque contributo tangenziale. Se DS è la superficie della base Quindi in assenza di cariche libere superficiali s, la componente ortogonale di D è continua, cioè

Condizioni al contorno: continuità componente elettrica B normale Per B possiamo fare lo stesso, con la semplificazione che non esistono cariche magnetiche La componente ortogonale di B è continua, cioè

Condizioni al contorno: cosa succede in prossimità di un conduttore ideale?? Il campo elettrico interno è nullo La dimostrazione relativa alla continuità delle componenti tangenziali non cambia: è vera anche qui Quindi: La componente tangenziale di E è nulla sia dentro che in prossimità del conduttore Cosa possiamo dire della componente normale? Non conviene ragionare in termini di D nel conduttore... Ma vale sicuramente che Quindi Dn fuori, in prossimità del conduttore ideale è pari alla densità di carica superficiale

Condizioni al contorno: cosa succede in prossimità di un conduttore ideale?? Densità di corrente J Il campo magnetico? La discussione su B normale non cambia: la componente di B normale è nulla nel conduttore e deve essere nulla anche nelle immediate vicinanze Per quanto riguarda la componente tangenziale, si era assunta una densità di corrente finita. In realtà ora il campo magnetico tangenziale non è generalmente nullo al di fuori del conduttore (è legato ad E normale dalle eq di Maxwell) mentre è sicuramente nullo nel conduttore. Come è possibile? Occorre pensare che J -legata alla densità di carica- non sia finita (del resto l’importante è che I, la corrente -legata alla carica-, sia finita) nel qual caso il flusso sarebbe rimasto finito anche per un’area che tende a zero; si definisce una corrente per unità di larghezza Js [A/m] che scorre su uno strato infinitesimo di spessore: del resto le cariche su un conduttore sono tutte in superficie….

Condizioni al contorno per un conduttore ideale Quindi B ed H normali sono nulli su un conduttore, mentre H tangenziale è pari alla corrente superficiale Le precedenti relazioni le possiamo riassumere in forma vettoriale (indicando con n la normale alla superficie di separazione) Campo elettrico tangenziale nullo Campo di induzione magnetica normale nullo Campo induzione elettrica normale pari alla densità superficiale di carica Campo magnetico tangenziale pari alla densità di corrente superficiale

Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione Dobbiamo distinguere tra problemi “interni” (in una regione finita) ed “esterni” (tutto lo spazio: tipico delle antenne) Concentriamoci per il momento sui problemi interni: immaginiamo di avere due soluzioni delle equazioni di Maxwell E,H,J ed Eo,Ho,Jo, in condizioni di linearità Scriviamo il teorema di Poynting per il campo n S in un dato volume V contenuto in una superficie S, cioè

Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione Ip. 1: la sorgente del primo campo (J) è identica alla sorgente del secondo In pratica i due campi (E,H) ed (E0,H0) sono generati dalla stessa sorgente, quindi la “sorgente differenza” è nulla sempre Ip. 2: le componenti tangenziali sul bordo del volume (S) o del campo elettrico o del campo magnetico, coincidono In pratica, abbiamo indicato con n la solita normale alla superficie, e chiediamo che le componenti tangenziali dei due campi (E,H) ed (E0,H0) coincidono sul bordo della regione S. Come conseguenza su tutto il bordo, la componente tangenziale di E1 o di H1 diventa zero, ed il flusso del vettore di Poynting sparisce

Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione Quindi rimaniamo con Che afferma che che l’energia elettromagnetica immagazzinata dal campo E1 H1 (integrale a primo termine) può essere o stazionaria o decrescere: infatti il secondo termine, essendo l’integrando positivo o nullo, è negativo o nullo Se però in un qualunque unico istante (es t=0) i campi coincidono, cioè E=Eo ed H=Ho in tutto il volume V, l’energia immagazzinata da E1,H1 in quel momento è ovviamente nulla. Ma abbiamo appena detto che l’energia (quantità positiva) può solo decrescere o rimanere uguale; non potendo decrescere sotto zero, non può che restare E=Eo ed H=Ho per ogni t

Unicità della soluzione Quindi perché la soluzione delle equazioni di Maxwell sia unica per problemi spazialmente limitati occorre e basta Assegnare le condizioni iniziali in tutto il volume Assegnare o le componenti tangenziali di H o quelle di E su S per ogni istante Risultato notevole! Può spaventare il fatto che, almeno in un istante iniziale, occorre assegnare il campo ovunque; considerate però che con sorgenti sinusoidali, in regime permanente (dove le condizioni iniziali non servono più e osserviamo le soluzioni, anch’esse sinusoidali, da un tempo arbitrariamente lungo) quanto detto dimostra che basta assegnare il campo tangenziale su una superficie in E oppure in H per avere la soluzione univocamente determinata!!

Equazioni di Maxwell in regime armonico permanente Basta rimpiazzare le derivate nel tempo con prodotti per jw L’equazione di Helmholtz Diventa (nota, non usiamo il cappelletto per semplificare le notazioni…) La quantità w/c si definisce numero d’onda, e si indica con k; si definisce anche un vettore d’onda, come un vettore di modulo k e direzione corrispondente al vettore di Poynting

Onde piane in regime armonico permanente Vediamo di nuovo il caso dell’onda piana: immaginiamo di avere un campo elettrico tutto in x e che dipende solo dalla coordinata z x z L’equazione d’onda per il campo elettrico diventa semplicemente La soluzione è una combinazione di esponenziali in k Volendo recuperare l’espressione nel tempo, per esempio della componente progressiva (assumiamo E+ reale (E0) per semplificare) CVD

Polarizzazione onde piane Fin qui abbiamo visto onde piane con una sola componente di campo E, e che quindi oscillano sempre in uno stesso piano: queste si dicono polarizzate linearmente (anche ovviamente se con due componenti di campo E, purché l’oscillazione avvenga in un piano) Un insieme di onde piane propagantesi nella stessa direzione, ma con orientazioni e fasi arbitrarie dei campi, generano un’onda non polarizzata Due onde piane, stessa freq, ma diverse ampiezze fasi ed orientazioni (ma con relazioni prefissate) producono un’ onda polarizzata ellitticamente

Polarizzazione onde piane Infatti, se per esempio abbiamo Notiamo che, mettendoci in un punto (es z=0) Che è l’equazione parametrica di una ellisse. Se Y è p/2 ed E1=E2 è proprio una circonferenza: polarizzazione circolare

Polarizzazione onde piane Infatti, nella polarizzazione circolare avremo

Polarizzazione onde piane In termini di fasori avremmo (pol. Ellittica) Nota: fin qui abbiamo parlato di c come velocità di fase dell’onda em nel vuoto o in aria; il discorso resta valido in generale con l’accorgimento di usare la giusta velocità

Polarizzazione onde piane Polarizzazione Lineare Polarizzazione Circolare

Onde piane in direzione arbitraria Abbiamo introdotto le onde piane pensando ad una propagazione lungo un asse (z) Vediamo come generalizzare il discorso al caso un cui compaiono tutte le variabili spaziali: facciamolo direttamente per i fasori Dove E0 è un vettore che non dipende dalla posizione, ma può avere tutte le componenti

Onde piane in direzione arbitraria L’equazione di Helmholtz corrisponde a 3 equazioni scalari Concentriamoci sulla prima e sostituiamo l’espressione generale per l’onda piana Cioè, il vettore d’onda k che ha modulo k può essere diviso in 3 componenti, proprio pari a kx, ky, kz

Onde piane in direzione arbitraria Quindi potremo riscrivere brevemente, per una onda piana che si propaga lungo una direzione generica:

Onde piane in direzione arbitraria In generale quindi E ed H per un’onda piana saranno Si possono ricavare proprietà generali sostituendo alle equazioni di Maxwell: notate che se calcoliamo il rotore di una quantità come quelle di sopra, il risultato sarà che Cioè il rotore diventa, grazie alla forma esponenziale, una semplice moltiplicazione vettoriale! Allo stesso modo la divergenza diventa un prodotto scalare. Le equazioni di Maxwell (fasori in assenza di sorgenti) si “algebrizzano” Sia E che H ortogonali a k

Onde piane in direzione arbitraria Possiamo subito ricavare una relazione tra E ed H generale: dalla prima ovvero Dove h è l’impedenza d’onda del mezzo: generalizza l’espressione già trovata! E l’equazione d’onda diventa

Onde piane e linee E® V, H® I, h ® Zo, k ® b Per un’onda piana che si propaga lungo un asse z abbiamo visto che l’equazione d’onda (fasori) produce le soluzioni Mentre le equazioni del telegrafista (linee) producono Quindi, possiamo analizzare il comportamento delle onde piane per mezzo di “linee equivalenti” E® V, H® I, h ® Zo, k ® b

Onde piane e linee Cosa succede quando un’onda piana passa da un materiale ad un altro, incidendo ortogonalmente alla superficie di separazione? Per risolvere il problema dovremmo scrivere E ed H in ciascun mezzo, ed imporre le condizioni al contorno, ovvero continuità di Et ed Ht all’interfaccia (in realtà vista la direzione di propagazione, E=Et ed H=Ht ) Ma nel risolvere il problema con le linee abbiamo imposto proprio che v ed i fossero continue tra le due linee h1 h2 Quindi il metodo ci consente anche di vedere cosa avviene in mezzi stratificati Hy Ex k h1 ® Zo1, h2 ® Zo2…. Zo1 Zo2

Onde piane e linee Se per esempio l’onda viaggia in un mezzo con impedenza d’onda h1 ed incide su un mezzo (semi-infinito) con impedenza d’onda h2, parte dell’onda verrà riflessa e parte passerà, essendo Hy1 Ex1 k h2 h1

Onde piane in mezzi stratificati e linee Nel caso di un’onda che viene da un mezzo ed incontra mezzi stratificati, possiamo usare tutto quanto visto per le linee! Sono vere anche le conclusioni Immaginiamo per esempio che il materiale in mezzo sia un multiplo di l/2 Questo sarebbe per esempio il caso se avessi un segnale a 1 GHz, e con il mezzo 2 aria, la lunghezza fosse d=c/(2f), cioè 15 cm In tal caso tutta la regione 2 sarebbe “trasparente” all’onda; e se i mezzi 1 e 3 fossero uguali, l’onda sarebbe completamente trasmessa

Incidenza Obliqua TM TM rispetto y e z (E nel piano incidenza) z x y H (Vedere nel corso di microonde il perché di questa relazione)

Considerazioni Possono essere entrambi maggiori di c Velocità di fase rispetto a z: Possono essere entrambi maggiori di c Velocità di fase rispetto a y:

Considerazioni La continuità delle componenti tangenti all’interfaccia ci impone che ky incidente e riflesso coincidano: qi qr qt y Legge di riflessione dell’ottica Legge di Snell

Riflessione Totale Esiste solo n1>n2

Riflessione Totale Quali sono le Condizioni di riflessione? Zl=0 Zl=¥ Zo1 Zl Zl=0 Zl=¥ Zl=jX TM: TE:

Conseguenze dell’Analogia con le Linee Modello Rigoroso ma semplice h1 h2 h3 Un esempio: vetro aria Zo1 jXo2 Zo3 Zo1 Zo2 Zo3

Piano di Goos-Hänshen Coeff di riflessione: modulo unitario, ma la fase? f Piano di Goos Hänshen

Angolo Polarizzante o di Brewster Esiste un angolo per cui non avviene riflessione? Onda TM:

Angolo Polarizzante o di Brewster Onda TE: Non ammette soluzione! Se incide un’onda a polarizzazione arbitraria, in corrispondenza all’angolo di Brewster solo il TE viene riflesso

Onda Incidente obliqua su interfaccia dielettrica: calcoliamoci i campi Caso TEz qi qr qt y Def: Coefficiente di Fresnel

Incidenza obliqua: TEz

Onda Incidente obliqua su interfaccia dielettrica Caso TMz qi qr qt y

Incidenza obliqua: TMz