Circuiti RL serie Un circuito che contiene una bobina, tipo un solenoide, ha una autoinduttanza che impedisce alla corrente di aumentare e diminuire istantaneamente . Chiudendo l’interruttore a t=0 la corrente aumenta e la f.e.m. dell’induttore (DVab < 0) sarà:

Circuiti RL serie L’andamento temporale della corrente è La caduta di tensione sull’induttore sarà

Circuiti RL Analogamente ai circuiti RC esiste una costante di tempo che caratterizza il comportamento temporale del circuito Perchè RLcresce per L più grandi ? L si oppone a variazioni di corrente, e quindi rallenta il tasso di variazione. Perchè RLdiminuisce per R più grandi ? Grandi R riducono la corrente finale. Grandi R dissipano l’energia velocemente, velocizzano la “scarica” dell’induttore (cioè velocizzano la perdita di corrente).

Circuiti RL Dopo che l’interruttore è stato in posizione a per un tempo lungo, a t=0, viene portato in posizione b. R a b L I legge della maglia: l’appropriata condizione iniziale è: La soluzione deve avere la forma:

e on e off L/R 2L/R L/R 2L/R e/R e/R I I t t e VL VL t -e t

Energia di un induttore b L I Quanta energia è immagazzinata in un induttore quandi una corrente fluisce attraverso esso ? legge della maglia: moltiplichiamo per I : potenza erogata batteria potenza dissipata resistenza rapidità immagazzinamento energia (potenza) nell’induttanza In questa equazione della conservazione dell’energia (per unità di tempo), identifichiamo PL, il tasso con cui l’energia è immagazzinata nell’induttore: Integriamo l’equazione per trovare una espressione per U, l’energia immagazzinata nell’induttore quando la corrente = I : Þ

Dove è immagazzinata l’energia ? Come nel caso del condensatore (energia immagazzinata nel campo elettrico) per l’induttore l’energia è immagazzinata nel campo magnetico stesso. Per calcolare questa densità di energia, consideriamo il campo uniforme generato da un lungo solenoide: l r N avvolg. l’induttanza L vale: l’energia U: La densità di energia si ottiene dividendo per il volume in cui è contenuto il campo: Questa relazione, pur essendo stata ricaata nel caso del solenoide, è valida in ogni regione dello spazio in cui è presente un campo magnetico !

Applicazione mutua induzione: caricabatteria wireless per spazzolino elettrico

L’induttanza nei circuiti: Induttori in parallelo Consideriamo due induttori in parallelo Usando la legge di Kirchhoff ai nodi, si ha: L’induttanza equivalente si trova imponendo che tutti i 3 induttori siano alla stessa differenza di potenziale (in parallelo) L1 L2 i i1 i2

Induttori in parallelo Quindi quindi gli induttori in parallelo si combinano come le resistenze:

Induttori in serie Consideriamo due induttori in serie. Entrambi gli induttori saranno attraversati dalla stessa corrente i. Poichè la corrente è la stessa allora di/dt è la stessa e la caduta di tensione sulla coppia vale: Quindi gli induttori in serie si combinano come resistenze in serie: L2 i L1

Onde Elettromagnetiche x z y

Corrente di spostamento Applichiamo il teorema di Ampere nel caso di un condensatore, considerando le sup. S1 ed S2: L’integrale di linea è esteso a qualsiasi percorso chiuso concatenato con la corrente di conduzione. Il teorema di Ampere in questa forma è valido solo se la corrente di conduzione è continua nello spazio. Non è presente una corrente di conduzione tra le due armature ! Le due superfici S1 e S2 , delimitate dallo stesso percorso P, danno due risultati diversi (m0I e 0) Per risolvere l’incongruenza Maxwell introdusse la Corrente di spostamento flusso campo elettrico

Teorema di Ampere generalizzato Teorema di Ampere-Maxwell I campi magnetici sono generati sia dalle correnti di conduzione sia dai campi elettrici variabili !

Le equazioni di Maxwell Teorema di Gauss (flusso elettrico totale attraverso superficie chiusa = carica netta) Flusso magnetico netto attraverso una superficie chiusa è nullo (teorema Gauss per il magnetismo) Legge di Faraday dell’induzione Teorema di Ampere generalizzato Noti i campi elettrico e magnetico, in un punto, la forza agente su una carica elettrica è data da Questa relazione insieme alle 4 equazioni di Maxwell, fornisce una descrizione completa di tutte le interazioni elettromagnetiche classiche.

Onde Elettromagnetiche Maxwell dimostrò che i campi elettrici e magnetici dipendenti dal tempo soddisfano una equazione d’onda. La più importante conseguenza di questa teoria è la previsione dell’esistenza delle onde elettromagnetiche (campi elettrici e magnetici oscillanti). La variazione dei campi crea reciprocamente il mantenimento della propagazione dell’onda: un campo elettrico variabile induce un campo magnetico e viceversa. I vettori E e B sono  tra di loro e  alla direzione di propagazione.

Calcolo equazione d’onda

Calcolo equazione d’onda

Calcolo equazione d’onda La luce è un’onda elettromagnetica !!!

Calcolo equazione d’onda In ogni istante, in un’onda elettromagnetica, il rapporto tra il modulo del campo elettrico ed il modulo del campo magnetico è uguale alla velocità della luce !!!

Oscillazioni V t U B E C C L V L Circuiti LC t

Onde Hertziane Si può mettere in evidenza l’esistenza delle onde elettromagnetiche previste dalla teoria di Maxwell ? Sì, nel 1887 Hertz mise a punto un sistema per la generazione e rivelazione delle onde elettromagnetiche (onde radio). Sì, nel 1887 Hertz mise a punto un sistema oer la generazione e rivelazione delle onde elettromagnetiche (onde radio).

Oscillazioni Elettromagnetiche Analogia con la meccanica: Rammentiamo l’oscillatore meccanico massa-molla k = costante elastica -A +A A = ampiezza delle oscillazioni

Oscillazioni di Energia T = periodo di oscillazione Il condensatore si scarica, la corrente aumenta, l’energia si trasferisce dal campo elettrico a quello magnetico. Poi il ciclo si inverte e proseguirebbe all’infinito in assenza di meccanismi dissipativi. Consideriamo un circuito LC

Circuito LC C L I(t) I(t) Consideriamo un semplice circuito LC. Il condensatore ha una carica iniziale Qmax e l’interruttore viene chiuso al tempo t=0. C I(t) la caduta di tensione è determinata dall’integrale della corrente sulla capacità la caduta di tensione è determinata dalla derivata della corrente per l’induttanza L I(t)

Circuito LC Applichiamo la regola delle maglie al circuito LC. La carica nel circuito oscillerà in modo analogo alla massa con la molla:

Esperimento di Hertz trasferimento di energia elettromagnetica Hertz trovò che l’energia viene spedita dal trasmettitore al ricevitore quando la frequenza di risonanza del ricevitore veniva accordata con quella del trasmettitore. L’energia è trasportata da onde elettromagnetiche. Es.: radio FM, TV, telefonia radiomobile

Energia trasportata dalle onde elettromagnetiche Flusso di energia in un’onda elettromagnetica = vettore di Poynting S L’intensità di un’onda elettromagnetica è uguale al prodotto della densità di energia media per la velocità della luce.

Spettro delle onde elettromagnetiche Le onde elettromagnetiche viaggiano nel vuoto con velocità c, frequenza f e lunghezza d’onda l. I vari tipi di onde elettromagnetiche, prodotte tutte da cariche accelerate, sono mostrate in figura. Es.: onda radio di frequenza f=94.7MHz l = c/f = 3.17 m