Programma esame Fondamenti di Elettrotecnica (SECONDA PARTE) Prof : Antonio Luchetta

Metodo dei Fasori Il nostro obbiettivo è estendere i metodi generali a sistemi con elementi reattivi. Per i soli resistori si era visto che qualsiasi uscita in tensione o corrente è proporzionale alleccitazione in entrata. La soluzione non sarà più composta di una sola parte proporzionale allentrata, ma avrà 2 parti: 1° Lezione Condensatori ed induttori hanno relazioni di tipo integro-differenziale. A.Soluzione Particolare y p (t) Ha la stessa forma del termine forzante o una combinazione lineare dei termini forzanti. B.Soluzione Omogenea y o (t) E quella che si ha una volta annullate le forzanti. In Elettrotecnica si chiamano invece : A.Soluzione Permanente y p (t) Se ho la permanenza dei termini forzanti anche dopo che il transitorio è andato a zero. B.Soluzione Transitoria y t (t) Il transitorio dipende dalle condizioni iniziali. Per i nostri studi il termine transitorio non è importante. Ci concentriamo sul permanente integrale particolare Metodo dei Fasori Col Metodo dei Fasori cerchiamo di trovare una soluzione lineare che mi consenta di passare da un sistema integro-diff ad un sistema algebrico.

Lo spazio delle soluzioni sarà diverso dalliniziale, ma poi faremo un artificio che ci permetterà di riportarci nello spazio delle soluzioni iniziali.c Eccitazione Continua & Eccitazione Sinosoidale lenergia i segnali, quando anche A noi interessano solo questi due tipi di eccitazione, perché lenergia viene trasferita in tali forme, mentre per i segnali, quando anche non siano inizialmente di tale forma, tramite la serie di Fourier ci si può ricondurre a una somma di sinusoidi. 1) Comportamento di elementi con memoria sottoposti a segnali continui. Sottoposto a grandezze continue Quindi se in un circuito con elementi con memoria ho una sollecitazione continua trovo banalmente la soluzione sostituendo ad ogni induttore un corto circuito, e ad ogni condensatore un circuito aperto.

V (t) = V M ·cos (ω t+φ v) Funzione periodica di periodo T Necessita di 3 parametri : V M = Ampiezza o Valor Massimo ; ω = Pulsazione ; Φ = Fase o Fase iniz. 2) Comportamento di elementi con memoria sottoposti a Eccitazione Sinosoidale Fasore E un vettore bidimensionale del piano complesso. Mi consente di passare da una funzione nel tempo ad una nel piano complesso. n° reale (t) grandezza complessa Fasore Se prendo il fasore e lo moltiplico per e e poi ne prendo la parte reale, cosi come se uso la formula di Eulero, risalgo alla funzione del tempo: jωtjωt Il vettore così ottenuto un vettore rotante. Quindi al trascorrere del tempo questo ruota in senso antiorario con velocità angolare ω percorrendo un giro continuo per ogni periodo T.

Il fasore mi consente di scavalcare metodi risolutivi integro differenziali usando metodi algebrici. Ciò che cambia è che siamo nel dominio complesso. Un Sistema lineare non può modificare le pulsazioni in uscita.(Isofrequenziali) Per determinare la soluzione di un circuito è utile agire direttamente su di esso applicando le trasformazioni ai singoli componenti 2° Lezione Trasformazioni Circuitali : 1. Generatori Indipendenti 2. Resistori 3.Induttanza 4.Condensatore 5.Trasformatore Ideale lineare Metto in relazione i fasori della tensione e della corrente tramite una relazione lineare

Qualsiasi componente o elemento in questo dominio può avere associato un rapporto tra tensione e corrente Estensione : generico Tali grandezze sono valide per un generico bipolo Ammettenza Elettrica Impedenza Elettrica immaginario puro positivo N° immaginario puro positivo immaginario puro negativo N° immaginario puro negativo immaginario puro positivo N° immaginario puro positivo imm.puro neg. N° imm.puro neg. N.B. Con tale estensione posso applicare tutti i metodi visti in precedenza

Ad un generico Bipolo di impedenza Z ottenuto nel dominio dei fasori (frequenza) associamo: Resistenza Associata Resistenza Associata Parte reale dell impedenza Reattanza Reattanza Parte immaginaria dell impedenza Conduttanza Associata Conduttanza Associata Parte reale dell ammettenza Suscettanza Suscettanza Parte immaginaria dell ammettenza Triangolo delle Impedenze Interpretazione grafica: Sfasamento tra la fase della tensione e la fase della corrente

1) Formulario Da Esponenziale a Cartesiana 2) Da Cartesiana a Esponenziale 3) Il suo CONIUGATO è Dato il num complesso 4) RAZIONALIZZAZIONE DI UN N° COMPLESSO Moltiplico e divido per il coniugato del denominatore 5) Semplificazione rapporto (o moltiplicazione) di due numeri forma cartesiana forma polare Di solito conviene procedere in forma cartesiana finche ho come calcoli somme e sottrazioni, per poi passare alla forma polare per le semplificazioni,facendo però attenzione perché la funzione arcotangente è definita nel 1° e nel 4° quadrante.Nel 2° nel 3° ho problemi di definizione. 6) Se lo si vuol riportare in forma esponenziale Il modulo trovato va bene

sempreparte reale positiva Quindi per non sbagliare devo sempre avere a che fare con un fasore a parte reale positiva. Fornisce langolo simmetrico rispetto allorigine di quello vero. Se ho parte reale negativa: 1.Metto in evidenza un meno. 2.Ragiono e faccio i miei conti con ciò che ho ottenuto tra parentesi. 3.Poi rigiro ciò che ho ottenuto di 180° (infatti moltiplicare per -1 è come molt per i ²,ed ogni moltiplicazione per i equivale ad una rotazione antioraria di 90°). Esempio di Esercizio: Procedura: 1.Trasformazione circuitale 1.Trasformazione circuitale.(dal circuito al dom.dei fasori) 2.Applico i metodi risolutivi. 3.Ritorno al dominio del tempo antitrasformando.

OSS: Se io non conoscessi la pulsazione, ha senso parlare di impedenza, ma questa sarà funzione della ω. Valore Efficace Se si ha una funzione periodica di periodo T vi posso associare una grandezza detta Valore quadratico medio Valore Efficace Questo valore è importante perché qualsiasi siano i valori di pulsazione e fase vale: Quindi ad esempio 220 V è il valore eff. della tensione,mentre il valore di picco è posso non distinguere Si usa tale valore perché così posso non distinguere tra lenergia spesa in continua e quella spesa in regime sinusoidale. N.B. N.B. Se in un fasore uso il valore efficace e faccio i conti il valore cercato lo otterrò sempre in termini di valore efficace N.B. N.B. Se non c nessun pedice si intende il valore efficace.

E sempre e solo in fase di assorbimento di energia. 3° Lezione Potenza a Regime Sinosoidale CASI LIMITE: 1)Resistore ritardo In un induttore la corrente è in ritardo rispetto alla tensione di 90° 2)Induttore Potenza Assorbita Potenza Erogata anticipo In un condensatore la corrente è in anticipo rispetto alla tensione di 90° 2)Condensatore Potenza Assorbita Potenza Erogata DUALE Come si era già notato un condensatore ha un comportamento DUALE rispetto ad un induttore (Sono sfasati di 180°) scambiatori, Questo ci conferma che induttori e condensatori sono degli scambiatori, perché si ha un quarto di periodo in cui assorbono ed un quarto di periodo in cui erogano potenza.

Prendiamo un bipolo lineare qualsiasi POTENZA ATTIVA (o potenza Media) E sempre >=0 Per bipoli passivi POTENZA ISTANTANEA massimisfasamento il primo termine dipende solo da valori massimi, e dallo sfasamento tra tensione e corrente, e corrisponde al valor medio dellespressione. Oscillatorio a frequenza doppia. Il secondo termine ha un contributo Oscillatorio a frequenza doppia. P p(t) Scriviamolo con i Valori efficaci POTENZA REATTIVA Volt Ampère Reattivi Q P Q Gli scambi di potenza avvengono come somma di sinusoidi. Per bipoli puramente reattivi ho solo il 2° termine Il secondo termine mi da una misura della potenza scambiata con gli elementi reattivi La potenza reattiva Q può essere maggiore o min. di zero. Per i Bipoli Per i Generat.

Q < 0 > 0 Induttiva (in ritardo) Capacitiva (in anticipo) In ritardo: Per convenzione si dice ritardo della corrente rispetto alla tensione. Quindi tramite la potenza attiva e la potenza passiva si può caratterizzare completamente un bipolo FATTORE di POTENZA È compreso tra 0 ed 1 Esprime una misura della natura energetica del circuito. 1 dissipatore puro 0 sistema totalmente reattivo (cond.indut) Angolo di Sfasamento P,Q,cosφ Per caratterizzare quindi un bipolo o un circuito mi basta conoscere 2 delle 3 grandezze : P,Q,cosφ POTENZA COMPLESSA S Non è un fasore parte realeparte immaginaria E un n° complesso la cui parte reale è la potenza attiva, e come parte immaginaria la potenza reattiva. Nella forma modulo fase POTENZA APPARENTE E il modulo della potenza Complessa A P P Q Q _ S _

Triangolo delle Potenze Il principio di conservazione qui si traduce in : Teorema di Boucherot In ogni circuito a regime permanente sinusoidale la somma delle potenze Complesse assorbite dai bipoli è nulla. NON Il principio NON è invece applicabile per le potenze apparenti Se ho un sistema di 4 bipoli,la potenza del 4° deve chiudere la somma dei precedenti nulla ! Cioè le la potenze danno luogo ad una somma fasoriale (vettoriale) nulla !

Oss:La Potenza reattiva (Q) in un circuito è interamente scambiata dagli elementi reattivi,quindi per i resistori Q=0 Dal segno della Q Dal segno della Q,se nel circuito sono presenti sia condensatori che induttori, si deduce: induttivi Se è positivo: che gli elementi induttivi tendono a prevalere sui condensatori. capacitivi Se è negativo: che gli elementi capacitivi tendono a prevalere sugli induttori. Oss: Se ho più generatori ISOFREQUENZIALI non ho problemi. Se invece NON sono isofrequenziali mi basta applicare il P.S.E.facendo attenzione Cioè prima di poter sommare devo antitrasformare singolarmente Linee Bifilari Coincide con la rappresentazione circuitale N.B. di solito i motori hanno la corrente in ritardo Oss: E molto diverso dire somma dei moduli della corrente da somma dei FASORI Oss: Quando si sommano gli angoli bisogna fare attenzione a ricordarsi di considerare le FASI.

Rifasamento I carichi che di solito sono attaccati ad una linea hanno un comportamento omico-induttivo. All aumentare della componente induttiva la corrente si sfasa sempre più rispetto alla tensione. Rifasamento Lo scopo del Rifasamento è quindi quello di far tendere a zero langolo di sfasamento, così da ridurre la potenza Ciò lo si ottiene cercando di far tendere a zero la potenza reattiva Q A.Cosa posso fare per ottenere il rifasamento? Non posso agire né sul motore, né sullenergia fornita dallEnel. Dato che non posso azzerare niente per ridurre Q. Lunica soluzione è quindi aggiungere qualcosa dal comportamento uguale e contrario. Condensatore DI RIFASAMENTO in parallelo La soluzione è quindi introdurre un Condensatore DI RIFASAMENTO in parallelo Tanto più il condensatore si avvicina al valore della potenza reattiva,tanto più rifaso il tutto. Impongo che: Rifasamento Totale

B.Perché si fa ? Non è un virtuosismo teorico. Infatti per contratto con lEnel tutti i carichi vanno rifasati.Perchè la potenza reattiva non viene utilizzata dallutente, ma a parità di potenza attiva (sullasse reale )posso avere un modulo della corrente tanto maggiore quanto minore è il coseno dellangolo di sfasamento. Allaumentare di questo modulo le resistenze lineari dissiperanno tanta più energia. Voglio quindi ridurre le perdite di potenza lungo la linea,in alternativa al rifasamento dovrei adoperare cavi di sezione maggiore,ma ciò è impensabile. disincentiva LEnel quindi disincentiva lutente: 1.Per non sprecare energia. 2.Perché le linee si potrebbero surriscaldare per effetto Joule facendo aumentare la probabilità di danneggiamento delle stesse. 4° Lezione Per RIFASARE Condensatore DI RIFASAMENTO Per RIFASARE si usa un Condensatore DI RIFASAMENTO perché questo è di fase duale allinduttore Voglio stimare quale è il risparmio Una volta fissati RL, P,e V la potenza dissipata è inversamente proporzionale al QUADRATO del fattore di potenza RIFASAMENTO TOTALE RIFASAMENTO TOTALE si scambia attraverso il condensatore TUTTA la potenza attiva che la componente induttiva richiede RIFASAMENTO PARZIALE RIFASAMENTO PARZIALE Solitamente non si usa rifasare tutto.

Cioè si può avere un residuo. il condensatore così facendo diminuisce di dimensioni (ingombro)(costi) Se io rifaso tutto, e poi stacco qualche carico vado in uno sfasamento capacitivo LEnel Non consente Consente applicando delle penalizzazioni prop. allo scarto Ottimo Sistemi Trifase Sono una particolare classe di sistemi elettrici usati per produrre,trasportare,utilizzare energia elettrica. Del punto di vista dellanalisi non differisce dal bifilare. Ho un sistema di alimentazione costituito da 3 generatori di tensione (non 1 come prima) Caratteristiche di tali sistemi sono le 3 tensioni, isofrequenziali,ma sfasate tra loro di 120°elettrici luna dall altra I relativi fasori sono:

Ragioni dell affermazione dei trifase Principio del campo magnetico rotante Per generare un campo magnetico rotante ho bisogno di almeno 2 generatori sfasati tra di loro 1. a) per la produzione di energia si usano dei generatori elettrici b) Per lutilizzo di energia si usano motori elettrici. Entrambi tali tipi di strumenti si basano sul Principio del campo magnetico rotante (Galileo Ferrari ) Per generare un campo magnetico rotante ho bisogno di almeno 2 generatori sfasati tra di loro 2. Risparmio energetico … a parità di potenza trasferita se ne butta via meno. Modi di connessione dei generatori 1.Stella-Stella Connetto tra loro in un unico pto le tre polarità omologhe dei generatori chiamando tale pto centrostella,e contrasegnandolo con una o 2.A Triangolo Connetto tra loro i generatori alternando le connessioni tra i poli Entrambi i tipi di connessione mi consentono di accedere a 3 terminali, ma in più la connessione di tipo stella mi consente di attaccarmi ad un 4° nodo(il centrostella) Connessione generatori-Impedenze 1.A Stella b.Stella Spuria Se cè il filo di neutro a.Pura Se NON cè il filo di neutro

2.Triangolo -Triangolo Si possono anche avere i tipi di connessione ibridi 5° Lezione Tutti i Sistemi Trifase sono: 1) 2) Tutti i Sistemi Trifase sono: 1) Lineari 2) Isofrequenziali 1) Sistema Trifase Simmetrico 1) Sistema Trifase Simmetrico Se in ogni istante la somma delle tensioni dei tre generatori è uguale a zero. Che fasorialmente vuol dire: Per verificare ciò si deve avere che i valori massimi (o efficaci )sono UGUALI tra loro. 2) Sistema Trifase Equilibrato (BILANCIATO) 2) Sistema Trifase Equilibrato (BILANCIATO) Se anche le ampiezze sono uguali. N.B. N.B.La Simmetria del sistema è intrinseca al modo di produrre energia (alternatori) N.B. N.B.Le correnti sono invece condizionate dai carichi. Quindi lequilibrio delle correnti dipende dalla regolarità del carico Carico Regolare Carico Regolare Se le tre impedenze allacciate al sistema sono uguali tra loro Filo di Neutro Filo di Neutro Cortocircuito che connette i centrostella. Se il NEUTRO è presente si hanno delle correnti di linea Corrente di Fase Corrente di Fase E la corrente che scorre allinterno del generatore

Stella–Stella Nel caso Stella–Stella Che corrente scorre sul neutro? KCL Equilibrato Simmetrico =0 Tensione di Fase (o Stellata) Tensione di Fase (o Stellata) E la tensione dei generatori ( tra ogni linea ed il centrostella) Tensione di Linea (o concatenata) Tensione di Linea (o concatenata) E la tensione tra due linee Convenzione:E V Convenzione:Si usa la E per le tensioni di Fase,mentre si usa V per le tensioni di linea Relazione tra tens di linea e tens di fase in uno stella –stella con neutro Cioè è sfasata di 30° e scalata di 3 Relazione tra corrente di linea e corrente di fase in un triangolo-triangolo Cioè le correnti di linea sono 3 volte le correnti di fase

Sistema Misto : Sistema Misto : mi riporto con le trasformazioni a un sistema noto. Sistema Stella-Stella NON equilibrato: Sistema Stella-Stella NON equilibrato: Sul neutro scorrerà una corrente diversa da zero. Sistema StellaPura (senza neutro Sistema StellaPura (senza neutro)(mi rendeva equipotenziali i centristella) Ridisegnado lo schema ci si accorge che si può applicare Millmann Potenza in un Trifase P(t) p(t) Q(t) STSTSTST Se un sistema è Simmetrico e Equilibrato: I termini oscillatori quindi si cancellano p(t) Carico a Carico a

22 Carico a Carico a Le potenze Attive e Reattive hanno unugual formula indipendentemente dalla connessione del carico A Rifasamento di un Trifase Si mettono 3 condensatori di rifasamento uguali tra loro. Ognuno deve scambiare Posso collegarli a stella o a triangolo Gabriele Amici