x è la variabile indipendente y è la variabile dipendente FUNZIONE Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza che : y=f(x) è l’immagine di x attraverso la legge f Il sottinsieme di X a cui la legge f associa un’immagine si dice dominio della funzione (domf) L’insieme degli elementi di Y del tipo f(x) si dice insieme immagine (Imf) Noi studiamo funzioni da R  R x è la variabile indipendente y è la variabile dipendente Paola Suria Arnaldi

Aggettivi di una funzione Definizioni Se y è un generico elemento di Y, chiamiamo controimmagine di y attraverso la legge f quella x appartenente ad X, tale che y=f(x) La controimmagine di y si indica f -1(y) Aggettivi di una funzione Funzione iniettiva : è una funzione tale che qualunque y appartenente ad Y abbia al più una controimmagine Funzione suriettiva: è una funzione tale che qualunque y appartenente ad Y abbia al meno una controimmagine Funzione biiettiva: è una funzione tale che qualunque y appartenente ad Y abbia una e una sola controimmagine Paola Suria Arnaldi

Criteri per verificare le proprietà di una funzione Una funzione è iniettiva se una qualsiasi retta parallela all’asse x taglia il grafico della funzione al più in un punto Una funzione è suriettiva se una qualsiasi retta parallela all’asse x taglia il grafico della funzione almeno in un punto Una funzione è biiettiva se una qualsiasi retta parallela all’asse x taglia il grafico della funzione in uno e un solo punto Una funzione è biiettiva se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva Paola Suria Arnaldi

Monotonia delle funzioni Una funzione è monotona crescente in un intervallo I se: Una funzione è monotona decrescente in un intervallo I se: Paola Suria Arnaldi

Funzioni strettamente crescente/decrescente Una funzione è monotona strettamente crescente in un intervallo I se: Una funzione è monotona strettamente decrescente in un intervallo I se: Paola Suria Arnaldi

Ritorniamo sull’iniettività e suriettività Condizione sufficiente ma non necessaria affinchè una funzione sia iniettiva è che sia strettamente monotona La prima funzione è iniettiva ma non monotona, la seconda è iniettiva e monotona Paola Suria Arnaldi

Se una funzione è suriettiva Suriettività Se una funzione è suriettiva Imf coincide con Y Paola Suria Arnaldi

Funzione pari Una funzione si dice pari se Se una funzione è pari il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y -x x c.s. ma non necessariaper dire che una funzione non è iniettiva è dire che è pari!!! Paola Suria Arnaldi

Una funzione si dice dispari se Funzione dispari Una funzione si dice dispari se Se una funzione è pari il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine -x x Il fatto che sia dispari non mi consente di trarre conclusioni sulla suriettività/inetttività Paola Suria Arnaldi

Funzione periodica Una funzione si dice periodica di periodo T se c.s. ma non necessariaper dire che una funzione non è iniettiva è dire che è periodica!!! Paola Suria Arnaldi

Funzione invertibile Chiamiamo funzione inversa della funzione f, e la indichiamo con f -1(y), la funzione che associa ad ogni y appartenente all’Imf la sua controimmagine x C.n.s. affinché una funzione sia invertibile è che sia iniettiva C.s ma non necessaria affinché una funzione sia invertibile è che sia strettamente monotona Paola Suria Arnaldi