MONOTONIA IN ANALISI MATEMATICA Fabio Bagagiolo Percorso d’Eccellenza 2008/2009

Esistenza di limiti Problema dell’esistenza del limite di: successioni; funzioni; rapporti incrementali; integrali impropri; successioni di funzioni. Passaggio al limite: sotto il segno di integrale; sotto altre relazioni non lineari.

Regolarita’ Per una funzione di una variabile: continuita’; derivabilita’; integrabilita’ convessita’.

Applicazioni Spesso, nei fenomeni fisici/ingegneristici/economici/biologici della “vita reale” alcune grandezze del sistema in questione sono legate tra loro da relazioni che, con chiara evidenza sperimentale, presentano effetti di monotonia. fase (liquida/solida) vs temperatura nei processi di transizione di fase; pressione vs saturazione nei processi di flusso attraverso mezzi porosi; sforzo vs deformazione nei processi elastoplastici; investimento vs profitto nei processi economici; attivita’ di batteri vs quantita’ di nutriente a disposizione nei processi biologici. Questa monotonia permette, a volte, di formulare modelli matematici per tali processi, che si dimostrano di piu’ facile studio, sia analitico che numerico.

ESISTENZA DI LIMITI

Un Teorema (ben noto) sul limite delle successioni monotone Sia (an)n una successione monotona (non decrescente) di numeri reali an+1 ≥ an per ogni n naturale. Allora la successione ammette limite l (finito reale o +∞) e tale limite l vale l = supn(an)≤+∞.

Osservazione Questo risultato e’ alla base di tutti i criteri di convergenza per le serie numeriche a termini positivi. Infatti se an≥0 per ogni n naturale, allora la serie numerica n an ha la successione delle somme parziali monotona non decrescente (sk=n≤kan≤ sk+1=n≤k+1an). E sappiamo bene che la convergenza di una serie numerica e’, per definizione, la convergenza della successione delle somme parziali. Pertanto una serie a termini positivi non puo’ oscillare: o converge o diverge a +∞. Basta quindi provare che le somme parziali sono limitate ed e’ fatta!

Dimostrazione Dobbiamo provare che, se la successione e’ non decrescente, allora essa converge all’estremo superiore dei termini an, l. Bisogna distinguere due casi: l reale, l=+∞.

l reale finito Ricordiamo la definizione di limite: per ogni ε>0, esiste un numero naturale N tale che, se n e’ naturale, n≥N|l-an|≤ε Ricordiamo la definizione di estremo superiore: per ogni n naturale, an ≤ l (l e’ un maggiorante); per ogni ε>0 esiste nε naturale tale che anε≥l-ε (l e’ il minimo dei maggioranti).

l reale finito Fissiamo ε>0 e poniamo N=nε. Allora, per la monotonia (non decrescenza) della successione si ha, per ogni naturale n≥N: l-ε ≤ aN ≤ an ≤ l ≤ l+ε E quindi si conclude. cvd

Osservazione Importante Questo risultato lega insieme i due concetti fondamentali di tutta l’analisi matematica: il concetto di limite e il concetto di estremo superiore. Con queste due nozioni si fa tutta l’analisi matematica reale. La dimostrazione, anche se facile, implica l’uso appropriato delle definizioni dei due concetti.

Esercizi per casa (facilissimi, quasi offensivi) Dimostare il risultato nel caso di l=+∞. Enunciare e dimostrare l’analogo risultato nel caso di successione non crescente. Trovare un controesempio al fatto che la monotonia non e’ necessaria per la convergenza di una successione.

Convergenza di successioni di funzioni fn:I→R, f:I→R, I intervallo; La successione di funzioni (fn)n converge puntualmente a f su I se: limn→+∞fn(x)=f(x) per ogni Ix. La successione converge uniformemente a f su I se: Per ogni ε>0 esiste N naturale rale che n≥NsupIx|fn(x)-f(x)|≤ε, equivalentemente: limn→+∞supIx|fn(x)-f(x)|=0. La convergenza uniforme implica quella puntuale, ma non vale il viceversa.

Teorema (del Dini) Sia {fn}n una successione di funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato [a,b]. Supponiamo che la successione sia monotona crescente (risp. decrescente): fn(x)≤fn+1(x) per ogni x in [a,b] e per ogni n naturale (risp. fn(x)≥fn+1(x) per ogni x in [a,b] e per ogni n naturale). Supponiamo che fn converga puntualmente su [a,b] ad una funzione continua f. Allora fn converge ad f uniformemente su [a,b]. Dimostrazione gia’ vista a lezione (Barozzi). Studiarla per la prossima volta. N.B. Questo risultato non richiede che le funzioni approssimanti fn siano continue! Esercizio per i prossimi 3 minuti: trovare controesempi che provino che se manca la compattezza, oppure se manca la continuita’ delle fn , oppure se manca la continuita’ del limite, allora il risultato non e’ piu’ valido.

Mancanza di compattezza fn(x)=|x| fn(x)=|x| 2-1/n f(x)=x 2 -1 1 La successione fn e’ monotona decrescente su R, converge puntualmente a f su R, f e’ continua, ma la convergenza non e’ uniforme su R (e’ comunque uniforme su ogni compatto di R)

Mancanza di continuita’ del limite fn+1 f 1 f -a a fn La successione fn e’ crescente, fn converge puntualmente a f su [-a,a], f non e’ continua, fn non converge uniformemente a f su [-a,a] (non e’ uniforme in nessun compatto intorno al punto di discontinuita’ della funzione limite) .

Passaggio al limite sotto segno di integrale Problema: I=(a,b) intervallo di R, fn:I→R una successione di funzioni integrabili su I, che “converge” ad una funzione integrabile f:I→R. E’ vero che, per n→+∞,

Risposte Se la convergenza e’ uniforme su I, allora la risposta e’ SI’ (teorema). Se la convergenza e’ solamente puntuale, allora la risposta e’ NO (cioe’: con la sola informazione di convergenza puntuale non e’ possibile dedurre che vale il passaggio al limite sotto il segno di integrale.

Controesempi n 2 fn 2/n b La successione converge puntualmente a f0 sull’intervallo [0,b]. fn=n→+∞, f=0

Controesempi n fn 2/n b La successione converge puntualmente a f0 sull’intervallo [0,b]. fn=1→1, f=0

Osservazione Nel primo controesempio, gli integrali delle fn divergono e quindi, banalmente, non possono convergere all’integrale di f che e’ finito. Nel secondo controesempio, gli integrali delle fn convergono (sono addirittura costanti!) ma non convergono all’integrale di f : non possiamo portare il segno di limite dentro all’integrale:

Teorema (della convergenza monotona di Beppo Levi) I=(a,b) intervallo di R, fn:I→R una successione di funzioni integrabili su I, che converge puntualmente ad una funzione integrabile f:I→R. Supponiamo inoltre che la successione sia monotona crescente (risp. monotona decrescente) e che sia minorata (risp. maggiorata) da una costante C: fn(x)≥C (risp. fn(x)≤C) per ogni n e ogni x in (a,b). Allora vale il passaggio al limite sotto al segno di integrale

Osservazione Se le fn e il limite f sono continue, allora, in virtu’ della convergenza puntuale e della monotonia, la convergenza e’ anche uniforme e quindi questo teorema non dice nulla di nuovo. Ma il teorema non richiede affatto che il limite sia continuo, ma ne richiede solo l’integrabilita’.

Osservazione fn(x)dx=1/(2n)+a-1/n→a=f(x)dx 1 -a 1/(n+1) 1/n a

Esercizio Se la successione e’ monotona crescente e soddisfa alle altre condizioni del teorema, tranne la equilimitatezza inferiore, allora la conclusione non e’ piu’ vera. 2 MINUTI per trovare un controesempio. Via!

Soluzione (da aggiustare…)

Dimostrazione del Teorema Non e’ restrittivo supporre C=0 (basta prendere gn=fn-C, g=f-C e fare i conti con gn e g). La successione di funzioni e’ crescente. Quindi (per la monotonia dell’integrale!) anche la successione numerica degli integrali an=fn(x)dx e’ crescente. Quindi, per il nostro teorema fondamentale sulle successioni numeriche crescenti, esiste -∞<≤+∞ limite della successione degli integrali. Il nostro scopo e’ ora quello di provare che =f(x)dx.

Dimostrazione del Teorema Per la crescenza, per la convergenza puntuale e per l’ipotesi di equilimitatezza inferiore: 0≤fn≤fn+1≤f. Da cui si ha anche (usando ancora anche la monotonia dell’integrale, e il fatto che f e’ integrabile) 0≤≤f(x)dx<+∞. Per cui basta provare che ≥f(x)dx.

Dimostrazione del Teorema Fissato 0<<1, per ogni n definiamo l’insieme En={x(a,b) | fn(x)≥ f(x)}. f fn a b E f n

Dimostrazione del Teorema Per la crescenza della successione di funzioni, la successione degli insiemi En e’ crescente: EnEn+1(a,b) f fn+1 fn a b E f n

Dimostrazione del Teorema Per la convergenza puntuale, si ha inoltre nEn=(a,b). Quindi {En}n e’ una catena ascendente di sottoinsiemi di (a,b) che invade tutto (a,b). Possiamo quindi dire che En (a,b). Nel nostro esempio grafico le funzioni sono continue e quindi En e’ unione di intervallini disgiunti. Possiamo definire la lunghezza di En come la somma delle lunghezze degli (eventualmente in numero infinito) intervallini che lo compongono (e questa somma esiste finita perche’ En(a,b) che ha lunghezza finita). Quindi dire che En (a,b), significa dire che la lunghezza di En tende a quella di (a,b). Ne segue anche che Enf(x)dx → (a,b) f(x)dx. Tutto cio’ vale anche in casi piu’ generali, per sempio quando le funzioni non sono continue e quindi gli insiemi En sono “brutti”: bisogna dare un opportuno significato di misura dell’insieme e di integrale. Ma tutto funziona allo stesso modo.

Dimostrazione del Teorema Dalla seguente catena di disuguaglianze (che discende anche dal fatto che le funzioni sono positive): (a,b) fn(x)dx≥En fn(x)dx≥Enf(x)dx, Passando la limite per n→+∞ e poi per →1 si conclude: ≥(a,b) f(x)dx→(a,b) f(x)dx. cvd

Osservazione Altri risultati di passaggio al limite sotto il segno di integrale esistono, senza ipotesi di monotonia (e senza convergenza uniforme). Per esempio quello della “convergenza dominata” di Lebesgue. Ma tutti, nella dimostrazione, passano attraverso il risultato di Beppo Levi.

(di una funzione monotona) REGOLARITA’ (di una funzione monotona)

Funzioni monotone Una funzione f:(a,b)→R si dice monotona crescente/non decrescente (risp. decrescente/non crescente) se f(x)≤f(y) per ogni x,y(a,b), x≤y (risp. f(x)≥f(y) per ogni x,y(a,b), x≤y). crescente decrescente ne’ crescente ne’ decrescente

Importanza dello studio delle funzioni monotone Se f:(a,b)→R e’ positiva (f(x)≥0 per ogni x) ed e’ integrabile, allora la funzione integrale x(a,x) f(s)ds e’ monotona crescente. Ogni funzione f:(a,b)→R puo’ essere scritta come differenza di due funzioni positive: f=f -f (parte positiva meno parte negativa) dove - +

Importanza dello studio delle funzioni monotone

Importanza dello studio delle funzioni monotone Quindi ogni funzione integrale e’ la differenza di due funzioni (integrali) monotone crescenti La derivata di una funzione convessa derivabile e’ una funzione monotona crescente. E le funzioni convesse sono importanti per lo studio dei minimi (es: energie della fisica)

Regolarita’ delle funzioni monotone Un primo risultato e’ il seguente, la cui dimostrazione e’ la medesima di quella per le successioni monotone. Sia f:(a,b)→R monotona. Allora i limiti destro e sinistro di f esistono finiti per ogni x(a,b):

Regolarita’ delle funzioni monotone Quindi una funzione monotona puo’ avere solo discontinuita’ di prima specie (salti) Questa funzione ha due salti. Ma quanti possono essere i salti di una funzione monotona?

Regolarita’ delle funzioni monotone In generale le funzioni possono avere infiniti punti di discontinuita’, infiniti piu’ che numerabili. Possono essere discontinue in ogni punto del loro dominio. Esempio: la funzione caratteristica dei razionali in (0,1): Q(x)=1 se x e’ razionale, Q(x)=0 se x e’ irrazionale, non e’ continua in alcun punto. Ovviamente questa funzione non e’ monotona.

Regolarita’ delle funzioni monotone Teorema. Sia f:(a,b)→R una funzione monotona. Allora i suoi punti di discontinuita’ sono in una quantita’ al piu’ numerabile. Poiche’ (a,b) ha la potenza del continuo, si puo’ dire che i punti di discontinuita’ di una funzione monotona sono “pochi”.

Dimostrazione Supponiamo f crescente (l’altro caso e’ analogo). I punti di discontinuita’ di f possono essere solo salti. Per la monotonia, essendo tutti i salti “verso l’alto”, la somma di un qualunque numero di salti non puo’ essere superiore al dislivello totale di f: f(b)-f(a)<+∞. Per ogni n>0 definiamo l’insieme Jn dei punti x(a,b) per cui il salto di f e’ maggiore di 1/n. Sia poi J l’insieme di tutti i punti x(a,b) che sono di salto per f (ovvero i punti di discontinuita’). Evidentemente si ha nJn=J. D’altra parte, ogni insieme Jn e’ formato da un numero finito di punti. Infatti, ogni Jn non puo’ contenere piu’ di n(f(b)-f(a)) punti. Ne segue che J, essendo unione numerabile di insiemi finiti, consta al piu’ di una quantita’ numerabile di elementi. cvd

Conseguenza Ogni funzione monotona (crescente) su (a,b) puo’ essere scritta come la somma di una funzione continua monotona (crescente) e di una funzione “salto”. Una funzione salto (crescente) su (a,b) e’ una funzione del tipo h(x)=”xn<x”sn dove {xn}n e’ una successione (numerabile!) crescente di punti in (a,b): i punti di salto, e sn≥0 sono i rispettivi salti, con nsn<+∞. Quindi ogni funzione monotona e’, a meno di una funzione salto, una funzione continua.

Funzione salto s1{ s0{ xn xn+1 b x0=a x1 x2 x3 x4

Funzioni monotone, funzioni salto e funzioni continue +

Regolarita’ delle funzioni monotone Teorema. Sia f:(a,b)→R una funzione monotona. Allora f e’ derivabile quasi dappertutto. L’insieme dei punti x(a,b) nei quali f non e’ derivabile ha misura nulla. Per ogni >0, tale insieme (che non e’ necessariamente unione di intervallini), puo’ essere ricoperto da una quantita’ al piu’ numerabile di intervalli disgiunti la cui somma delle lunghezze e’ minore di .

Regolarita’ Esistono funzioni continue (non monotone, ovviamente) che non sono derivabili in alcun punto! Anzi, queste funzioni sono molte di piu’ delle continue derivabili! Esercizio

Preliminare al Teorema fondamentale del Calcolo Sia f una funzione integrabile su [a,b]. Allora la funzione xf(s)ds e’ derivabile per quasi ogni x. Basta scrivere f(s)ds=f(s)ds-f(s)ds che risulta essere la differenza tra due funzioni monotone. Il Teorema dice, in realta’, che la derivata (quasi ovunque) e’ proprio f. x a x x + x - a a a