Ma la matematica ci può aiutare a fare delle scelte?

Quale macchina compriamo? Vogliamo comprare una macchina che consumi poco perché facciamo molti chilometri. Siamo orientati per due tipi di macchine: la Zafira che consuma 7,5 litri in 100 km l’Insigna che consuma 13 litri in 140 km

Osservazioni A zero km in entrambi i casi non consumiamo nulla. Possiamo ipotizzare di consumare il carburante indipendentemente dal percorso che compiamo (città, autostrada, salita, discesa…) Ma quanti km percorrono queste due macchine con un litro? La Zafira: 100 km : 7,5 litri = x :1 litro quindi x=13,3 km L’insigna: 140 km : 13 litri = x : 1 litro quindi x=10,8 km

Con i dati costruiamo una tabella e un grafico   Zafira o Insigna? Zafira Insigna km litri 1 13,3 10,8 2 26,6 21,6 3 39,9 32,4 4 53,2 43,2 5 66,5 54 6 79,8 64,8 7 93,1 75,6 8 106,4 86,4 9 119,7 97,2 10 133 108 11 146,3 118,8 12 159,6 129,6 13 172,9 140,4 14 186,2 151,2 Cosa notiamo dai dati in tabella? Scopriamo una proporzionalità diretta tra i chilometri e i litri consumati. Se guardiamo il grafico vediamo che la Zafira consuma di più, infatti a parità di km percorsi consuma maggior carburante

Osservazione Abbiamo costruito due rette passanti per l’origine: una per la Zafira e una per l’Insigna. Infatti a 0 km abbiamo 0 consumo in litri. Ma tra i punti che si trovano sulla retta, cioè che appartengono alla retta, cosa possiamo notare?

Appartenenza di un punto Perché un punto appartenga alla retta “Zafira” deve accadere che le sue coordinate soddisfino la legge relativa alla propria retta (che si evince dalla tabella). Nel nostro caso se ho il punto P(2 , 26.6) per verificare che giace sulla retta “Zafira” basterà verificare che, escludendo il caso (0, 0), y/x = 13,3 cioè facciamo il rapporto tra l’ordinata e l’ascissa del punto 26.6/2 e dato che il risultato è 13,3 posso concludere che questo punto appartiene alla retta “Zafira”. E se il rapporto non desse 13,3? Allora il punto non appartiene alla retta “Zafira”.

La retta passante per l’origine e il coefficiente angolare Per la Zafira Per l’Insigna y/x= 13,3 y/x = 10,8 Questo valore determina la pendenza della retta e si chiama coefficiente angolare. Infatti il suo valore determina l’angolo formato tra la retta e il semiasse positivo delle x. In generale scriveremo y=mx che corrisponde all’equazione di una retta passante per l’origine.

Il coefficiente angolare m Il coefficiente angolare è strettamente legato alla misura dell’angolo che la retta forma con il semiasse orientato positivamente delle ascisse

Osservazioni sul coefficiente angolare y y=mx  O x Possiamo notare che se m>0 allora l’angolo formato dal semiasse positivo delle ascisse (quello verde) è acuto cioè 0°<<90°

Quando l’angolo è ottuso… y y=mx  O x Possiamo notare che se m<0 allora l’angolo formato dal semiasse positivo delle ascisse (quello verde) è ottuso cioè 90°<<180°

L’asse x e le rette parallele ad esso Queste rette sono tutte parallele all’asse x. I punti sull’asse x che caratteristica hanno? Hanno tutti ordinata zero. Ecco perché l’equazione relativa all’asse x è y=0. E le rette ad essa parallele? Possiamo notare che tutti i punti della retta rossa hanno ordinata -1 quindi l’equazione della retta sarà y=-1. Per la retta verde y=1, per la retta blu y=3 per la retta rosa y=4. Notiamo anche che quindi il coefficiente angolare di queste rette è m=0.

L’asse y e le rette parallele ad esso Queste rette sono tutte parallele all’asse y. I punti sull’asse y che caratteristica hanno? Hanno tutti l’ascissa zero. Ecco perché l’equazione relativa all’asse y è x=0. e le rette ad essa parallele? Possiamo notare che tutti i punti della retta rossa hanno ascissa -2 quindi l’equazione della retta sarà x=-2. per la retta verde x=2, per la retta blu x=4 per la retta rosa x=6. Notiamo anche che il coefficiente angolare di queste rette è m=∞.

Lo scatto alla risposta Dobbiamo decidere il nostro gestore di telefonia. Abbiamo due opzioni Vodafone: 8 cent/minuto senza scatto alla risposta Tim: Addebito alla risposta 7 centesimi e 3 cent/minuto

Lo scatto alla risposta e la retta non passante per l’origine

Come ho ottenuto la retta della tariffa con lo scatto alla risposta? Per x=0 (cioè molto vicino a zero, appena c’è la risposta) l’utente paga 7 centesimi, poi dopo per ogni minuto a questi 7 si aggiungono i 3 centesi. Formalizzando otteniamo la retta y=4x+7 Infatti le rette che non passano per l’origine partiranno da un certo punto sull’asse delle y che corrisponde alla quota. Nel nostro caso la quota, cioè q=7.

Per due punti passa una sola retta Alla lavagna con un filo si fa vedere che se si fissa un punto ho infinite rette che passano per questo punto. Per determinarne una sola occorre fissarne due di punti. . A(a1,a2) B(b1,b2)

Come si disegna una retta? . B(1,8) Se dobbiamo disegnare la retta y=3x+5, Dobbiamo trovare 2 punti che le appartengono. Dato che i punti che appartengono alla retta verificano l’equazione, se noi diamo dei valori ad x casuali, otteniamo le y corrispondenti e quindi troviamo i punti (x,y) In questo caso: Se diamo il valore x=0, sostituiamo x=0 nell’equazione della retta e otteniamo y=5 e quindi troviamo il punto A( 0, 5) Se diamo il valore x=1 e lo sostituiamo nell’equazione della retta otteniamo y=8 quindi troviamo il punto B( 1, 8).

Problemi di scelta Il vostro professore di matematica ha necessità di ormeggiare per un certo periodo di tempo (non superiore ad un mese) il suo panfilo di 18 metri presso un porticciolo della Costa Smeralda gestito da un club nautico. Potrebbe prendere in affitto il posto-barca per l’intero mese pagando 2000 Euro, oppure potrebbe pagare la tariffa di ormeggio di 100 Euro al giorno. Se infine si inscrivesse al club,(tassa di inscrizione: 1000 Euro) l’ormeggio costerebbe 50 Euro per ogni giorno. Modellizzare la situazione con un grafico cartesiano e indicare la scelta più conveniente per il vostro professore in relazione alla durata della sua permanenza in Costa Smeralda.

Svolgimento Le variabili in gioco sono: Y=spesa del professore X=giorni Le rette sono 3: Y=2000 (Affitto mensile per la barca) Costo fisso cioè non dipende dai giorni all’interno del mese Y=100x (tariffa di ormeggio al giorno) Costo variabile Y=50x+1000 (1000 tassa di iscrizione cioè costo fisso e 50 per ogni giorno di ormeggio). Se disegniamo queste tre rette possiamo notare quale possibilità sia più conveniente.

Analisi grafico Dato che le ordinate corrispondono alla spesa fatta dal nostro professore, l’opzione più conveniente per lui sarà quella con pendenza minore se ormeggia il panfilo per un numero di giorni inferiore o uguale a 20. Se invece dovrà ormeggiare il panfilo per più di 20 giorni, sarà più conveniente l’opzione della retta rossa.

Problema sulla pendenza Il comune di L’Aquila dopo il terremoto del 6 aprile ha costruito una strada che per ogni 150 m si alza di 20 m. Cosa dovrà scrivere il comune sul cartello stradale della pendenza?

Svolgimento Per calcolare la pendenza di una retta basta fare il rapporto y/x cioè 30:200=0,15 Il cartello stradale che indica la pendenza, la esprime con una percentuale (N.B. il 25% di 4 equivale a fare 4X25/100). volendo conoscere la percentuale, basterà moltiplicare 0,15 per 100. Il comune dovrà scrivere sul cartello stradale una pendenza del 15% .

Cosa notiamo da questi grafici?

Cosa notiamo da questi grafici? Aiutiamoci con le squadrette!!

Rette parallele Dal grafico possiamo notare che le tre rette formano con l’asse delle x lo stesso angolo, pertanto le loro equazioni avranno lo stesso coefficiente angolare Se ne deduce che date due rette esse sono parallele se e solo se le loro equazioni hanno lo stesso coefficiente angolare m=m’

Rette parallele: esercizi Data le retta y=5x-3, trovare una retta ad essa parallela. Svolgimento: Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare, quindi basterà cambiare la quota e avremmo ottenuto l’equazione di una sua retta parallela. y=5x+7

Cosa notiamo da questi grafici?

Cosa notiamo da questi grafici? Possiamo notare che tutte le rette che abbiamo disegnato sono tutte perpendicolari (Lo vediamo con il goniometro). Se guardiamo i loro coefficienti angolari notiamo qualcosa? il prodotto dei loro coefficienti angolari è sempre Ma perché?

Per chi vuole approfondire: Teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa Siano r e s due rette perpendicolari passanti per l’origine di equazione rispettivamente y=mx e y=m’x. Considero il punto B(1;m) sulla retta r e considero il seqmento perpendicolare all’asse x passante per B. Esso interseca l’asse x nel punto di coordinate A(1;0) mentre interseca la retta s nel punto C(1;m’). Per il teorema di Euclide avremo Poiché OA=1; BA=m e AC=-m’ poiché si trova nel semipiano negativo, sostituendo si ottiene Due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è uguale a -1, ossia siano l’uno l’antireciproco dell’altro

La retta in forma implicita Finora abbiamo visto le equazioni delle rette in forma esplicita y=mx+q. Ma in generale per avere una retta basta un’equazione di primo grado in due incognite. ax+by+c=0 (1) La (1) è l’equazione di una retta in forma implicita. N.b. Non faccio altre regole per determinare il coefficiente angolare, quindi per scoprirlo devo riportare la retta in forma esplicita

Dalla forma implicita alla forma esplicita Se abbiamo l’equazione di una retta in forma implicita, per determinare il coefficiente angolare basta ricondurci alla forma esplicita. Facciamo un esempio: Data la retta r di equazione: Vogliamo determinare il suo coefficiente angolare. Vogliamo passare dalla forma implicita alla forma esplicita. Lasciamo la y al primo membro e portiamo il resto al secondo membro Cambiamo tutti i segni e poi dividiamo tutto per 7, otteniamo così la retta in forma esplicita che ha coefficiente angolare

Ancora sul coefficiente angolare Quando una retta passa per l’origine per individuare m (non avendo l’equazione della retta) basta fare il rapporto tra y ed x (con x≠0). E quando la retta non passa per l’origine? Se abbiamo due punti e con Dovremo calcolare il rapporto tra la variazione di y con la variazione di x, cioè Se le ascisse dei punti sono uguali allora le rette sono parallele all’asse y e quindi m=∞

Il sistema tutor Una ford fiesta percorre il traforo del Gran Sasso in cui da pochi giorni hanno inserito il sistema tutor. I rilevatori memorizzano l’orario in cui passa la ford fiesta: il primo memorizza le 8.30, il secondo memorizza le 8.32. Sapendo che i rilevatori sono a distanza di 15 km, sapresti dire se la loro velocità è superiore ai 110 km/h ? N.B. il sistema tutor calcola la velocità media, e l’autovelox? Pensaci su e poi fai una ricerca su questi due metodi per determinare la velocità di un veicolo.

Svolgimento La ford percorre i 15 km in 5 minuti, quindi ha una velocità N.B: La velocità si calcola come rapporto tra lo spazio e il tempo Chiaramente la ford fiesta dovrà aspettarsi una bella multa per eccesso di velocità N.B. 1 ora = 60 minuti quindi 1 minuto è la sessantesima parte di un’ora, infatti Da cui ricaviamo quindi se ho 5 minuti avrò

Quando vado a scuola… Quando esco di casa per andare a scuola percorro prima 1 km a piedi in 4 minuti. Poi aspetto alla fermata dell’autobus per 2 minuti e quando arriva percorro 8 km in 6 minuti arrivando in piazza Garibaldi. Lì incontro le mie amiche, vado al liceo artistico con loro e percorro 1 km in 5 minuti. Quando arrivo a scuola mi ricordo che non ho studiato matematica, improvviso un mal di pancia e torno a casa con mia madre che mi viene a prendere dopo 2 minuti dalla telefonata e percorro 10 km in 5 minuti. Sapresti fare un grafico spazio-tempo che raggruppi tutte queste informazioni? Cosa sai dire riguardo alla pendenza dei vari tratti?

Torno a casa con mia madre Grafico spazio-tempo 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 km Aspetto mia madre A piedi con le amiche Sto in l’autobus Torno a casa con mia madre Aspetto l’autobus Vado a piedi minuti 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Osservazioni riguardo al grafico Il tratto che ha una maggiore pendenza è quello rosa, infatti l’autobus percorre un maggior numero di km in minor tempo. Ma cos’è questa grandezza? La velocità! Siccome di solito parliamo di km/h convertiamo i minuti in ore e vediamo le velocità relative a ciascun tratto Nel tratto rosso: 1 km/4 min=1 km/0.67 h =1,50 km/h Nel tratto verde: 0 km/2 min=0 km/0,34 h =0 km/h (infatti sono ferma alla fermata dell’autobus!) Nel tratto rosa: 8 km/10 min= 8 km/0,1 h = 80 km/h Nel tratto blu: 1 km/5 min=1 km/0,083 h =12 km/h Nel tratto giallo: 0 km/2min = 0 km/0,34 h =0 km/h Nel tratto celeste: 10 km/5 min =10 km/0,083h = -120 km/h

Fascio di rette improprio Quando abbiamo studiato le rette parallele ci siamo accorti che fissando m, al variare di q, ottenevamo un fascio di rette tutte tra loro parallele. Questo fascio è chiamato fascio improprio e ha equazione y=mx+k dove k è un parametro che varia mentre m è fissato. y=x+2 y=x y=x-2 y=x+5 y=x-5 5 2 -2 -5

Fascio proprio Fissato un punto sappiamo che per esso passano infinite rette. Tutte queste retta determinano un fascio, chiamato fascio proprio di centro Come otteniamo l’equazione di un fascio proprio? Consideriamo il punto e il generico punto Per quanto studiato sappiamo che per due punti passa una ed una sola retta e se volessimo determinare il suo coefficiente angolare esso sarebbe uguale a e da questa possiamo ricavare l’equazione del fascio proprio . In quest’equazione il punto P è generico e m varia.

Equazione della retta per due punti Dati due punti P1(x1;y1) e P2(x2;y2) nel piano cartesiano per il teorema di Talete si ha y P1 y1 Ed anche Q1 y P Q P2 y2 Q2 x2 x x1 O H2 H H1 x N.B. Il teorema di Talete afferma che un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali determina su di esse due insiemi di segmenti proporzionali

Sostituendo si ottiene Da cui si ottiene: Sostituendo si ottiene

Equazione della retta per due punti Dati due punti P1(x1;y1) e P2(x2;y2) nel piano cartesiano l’equazione della retta passante per i due punti è data dall’equazione:

Eseguendo il prodotto in croce si ottiene Ad esempio: dati i punti di coordinate P1(4;-9) e P2(-6;5) andando a sostituire al posto di x1, y1, x2, y2 i valori di P1 e P2 si ottiene uso la formula: Eseguendo il prodotto in croce si ottiene Portando tutto al primo membro si ottiene Semplificando e moltiplicando per -1 si ottiene

Quando abbiamo due rette come facciamo a trovare il punto d’intersezione? Date la retta r: ed s: il punto che cerchiamo deve verificare entrambe le equazioni. Per indicare quest’intersezione le scriveremo all’interno di una parentesi graffa Da un’equazione ricaveremo ad esempio la y e l’andremo a sostituire nell’altra per ottenere infine il valore della x, una volta trovato, troverò anche il valore della y corrispondente. Facciamo un esempio…

Esercizio: Trovare il punto di incidenza tra le retta 3x-y-1=0 e 2x-3y+5=0 Poniamo a sistema le due rette dalla prima equazione ricaviamo la y Sostituiamo la y alla seconda equazione Il punto di incidenza è

Ma il sistema può essere… Se il sistema ammette una soluzione (il sistema è determinato) le rette sono incidenti, quindi trovo il punto di incidenza P(x,y). Se il sistema non ammette soluzioni (impossibile) le rette sono parallele Se il sistema ammette infinite soluzioni (indeterminato) le rette sono coincidenti Facciamo qualche esempio.

Un sistema impossibile Date le rette a: 2x-y-1=0 e b: 4x+2y-1=0 dire se esse sono incidenti, parallele o coincidenti. Svolgimento Ma 1 non è uguale a zero, quindi il sistema è impossibile, cioè le rette non si incontreranno mai e l’unico modo è che le rette siano parallele

Un sistema indeterminato Date le rette a: 3x-y-1=0 e b: 6x+2y-2=0 dire se esse sono incidenti, parallele o coincidenti. Svolgimento 0 è uguale a zero, quindi ho un’equazione indeterminata che rende indeterminato il sistema. Questo implica che le rette hanno infiniti punti in comune, cioè sono rette coincidenti.

Esercizi 1) Rappresenta sul piano cartesiano le rette di equazioni 2) Trova l’equazione della retta passante per il punto e parallela alla retta di equazione 3) Trova l’equazione della retta passante per il punto e perpendicolare alla retta di equazione 4) Trova l’equazione della retta passante per il punti 5) Trova le coordinate del punto d’intersezione, se esiste, tra le rette . . . .

Esercizi Esercizio: Date le rette r: x+y-3=0 ed s: x-y+2=0 determinare il loro punto di intersezione O. Dimostrare che preso un qualsiasi punto A sulla retta r e un qualsiasi punto B sulla retta s, il triangolo AOB è un triangolo rettangolo. Il comune di L’Aquila dopo il terremoto ha costruito una strada che ogni 100 metri si alza di 30. Sul cartello stradale che indica la pendenza cosa dovrà scrivere? (Si ricorda che il cartello indica una percentuale)

Esercizi Esercizio Gino deve decidere con quale operatore attivare il suo telefono. La 3 gli propone una tariffa mensile di 40 euro tutto compreso. La Vodafone gli proprone una tariffa che costa 13 centesimi al secondo, la Tim gli propone una tariffa con scatto alla risposta di 5 centesimi e 9 centesimi al secondo. Sapresti aiutare Gino nella scelta rispetto alla durata delle sue telefonate. Gino deve decidere che tipo di contratto fare alla sua segretaria. Ha due alternative: pagare la segretaria 12,50 euro l’ora oppure darle un mensile di 400 euro. Sapresti aiutare Gino nella scelta del pagamento?

Esercizi Esercizio 16 Dato un triangolo A(2,0) B(1,2) e O(0,0). Verificare che AOB è un triangolo isoscele. Determinare le rette OB e BA. Cosa puoi notare rispetto al loro coefficiente angolare? Data la retta y=5x-2 supponendo che essa formi un angolo α con l’asse positivo delle ascisse, sapresti costruire una retta che forma con l’asse delle ascisse un angolo di 180- α?

Esercizi Esercizio : Disegna le rette rappresentate dalle seguenti equazioni: a: b: c:

Problemi Un ufficio, per far fronte ad una temporanea necessità, decide di noleggiare per un mese una fotocopiatrice. Vengono prese in esame tre offerte: la prima prevede una spesa di £. 100 a fotocopia, comprendente le spese per la carta e per il toner; la seconda £. 300.000 per il noleggio della macchina più £. 50 per ogni fotocopia; la terza consiste nel pagamento forfettario di £. 800.000 con la condizione che il numero totale delle fotocopie non sia superiore a 10.000. Modellizzare la situazione con un grafico cartesiano e stabilire la soluzione più conveniente per l'ufficio in relazione al numero di fotocopie che si prevede di effettuare.