Corso di Matematica Discreta I Anno Soluzioni esercizi Corso di Matematica Discreta I Anno

Insiemi Esercizio 1. A  B=(A  B)- (A B). Esercizio 2. Idempotenza. Ipotesi A A=A. Tesi A  A=A. Dim. L’ipotesi è vera per qualunque insieme A. In particolare per l’insieme complemento di A. Possiamo quindi scrivere A A =A . Applicando l’operazione di complemento ad ambo i membri dell’uguaglianza possiamo scrivere: (A A)  =A . Dalle proprietà del complemento si ha che A   A  = A  ed infine A  A=A. Cvd

Insiemi Esercizio 2. 2. Commutativa Ipotesi: A  B = B A. Tesi: A  B = B  A. Dim L’ipotesi vale per qualunque insieme, quindi A  B = B A. Si ha ancora (A  B) = (B A)  cioè (AB)= (B A) cioè A  B = B  A. 3. Associativa Ipotesi (A  B)  C= A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C). Allora ((A  B)  C)=(A  (B  C)) . Quindi (A  B)  C=A  (B  C) . Ancora

Insiemi (A B)  C = A  (B C) cioè (A B)  C = A  (B  C). Cvd. Distributiva. Ipotesi A  (B  C)=(A  B)  (A  C). Dim A  (B  C)=(A  B)  (A  C). Allora (A  (B  C)) = ((A  B)  (A  C)) . Quindi A  ((B  C) = (A  B)  (A  C). Ancora A  (B   C)=(A  B)  (A  C). Infine A  (B  C)=(A  B)  (A  C).

Insiemi Esercizio 2. 4. Assorbimento Ipotesi A (A  B)=A Dim. A(A  B)=A. Allora (A(A B))= A E’ A((A B)=A. Ancora A (A B)=A. Infine A (A B)=A. Cvd.

Insiemi Esercizio 3 a  a; a  a,b; a  a, a,b;   a; a  a, a,b; a,b  b,a;   . Esercizio 4 E’ facile vedere che A  C. Infatti dobbiamo dimostrare che  x A  x C. Ma dalle ipotesi (applicando la definizione di  e di  ) sappiamo che  x A  x B e  y B  y C. In particolare x C. Per dimostrare invece che l’inclusione è propria dobbiamo dimostrare che  z C tale che z  A. Dalle ipotesi sappiamo che  z B / z  A. Ma poiché  x B  x C abbiamo che  z C / z  A.

Applicazioni Esercizio 1 La proiezione canonica non è iniettiva. Infatti le coppie (x,y) e (x,z) con xA ed y,zB, yz sono distinte ma pA(x,y)=x= pA(x,z). Se però |B|=1 cioè B ha un solo elemento h allora ovviamente la proiezione canonica è iniettiva.

Applicazioni Esercizio 2 f(X)=y: y B e ( x X / f(x)=y) e f –1(Y)= x: xA e f (x)  Y. f -1(f(X))=  x: xA e f (x)  f(X)X. Supponiamo che f -1(f(X))= X  X A. Dimostriamo che f è iniettiva. Supponiamo  x,y A / f(x)=f(y)=z. Sia X=x e Y= y. f -1(z)= f -1(f(X))=X e f -1 (z)= f -1(f(Y))=Y cioè X=Y cioè x=y. Viceversa supponiamo che f sia iniettiva. Per assurdo supponiamo che f -1(f(X))  X Allora  yX / y f -1(f(X)) , cioè f (y)=z  f(X). Dalla definizione di f(X) si ha che  xX / f(x)= z= f (y). Essendo f iniettiva x=y. Contraddizione.

Applicazioni 3. f(x)=1-3x g(x)=x-2 g f=g(f(x)=g(1-3x)=1-3x-2=-3x-1 f  g=f(g(x))=f(x-2)=1-3(x-2)=1-3x+6=-3x+7 f(x)=x2+1 g(x)=1/ x2+1 g f=g(f(x)=g(x2+1)=1/ (x2+1)2+1 f  g=f(g(x))=f(1/ x2+1)= (1/ (x2+1)2)+1