Corso di Matematica Discreta cont. 2 Equivalenze ed Ordinamenti

Relazioni di Equivalenza Definizione Sia dato un insieme E. Diremo che una relazione R(x,y) definita in E E è: Riflessiva : se  xE è vera R(x,x), Simmetrica: se  xE,  yE R(x,y) R(y,x), Transitiva: se  xE,  yE  zE / R(x,y) e R(y,z)  R(x,z). Una relazione che sia riflessiva, simmetrica, transitiva si dice relazione di equivalenza

Relazioni di Equivalenza Esempi. La relazione x=y, nell’ambito di un insieme E, è una relazione di equivalenza. b) Nell’insieme E possiamo porre equivalenti due elementi qualsiasi; il grafico di questa relazione coincide con tutto l’insieme prodotto E c) Nella geometria euclidea, il parallelismo tra le rette di un piano è una relazione di equivalenza (a patto di considerare ogni retta parallela a sé stessa; la proprietà transitiva in questo caso è un’ affermazione equivalente al famoso assioma delle parallele Le equivalenze in a) e b) sono in un certo senso casi estremi. In a) ogni elemento risulta equivalente solo a sé stesso, in b) risulta equivalente a tutti gli altri.

Relazioni di Equivalenza Indicheremo una relazione di equivalenza tra x e y con x  y. Ovviamente in uno stesso insieme si possono definire più relazioni di equivalenza: occorre allora distinguerle con notazioni opportune. Data una relazione di equivalenza in un insieme E e preso un x E, indichiamo con [x] l’insieme di tutti gli elementi di E equivalenti a x o, come si usa dire, la classe di equivalenza di x. In simboli si ha dunque. [x]= y: ( yE) e (xy)

Relazioni di Equivalenza Teorema Due classi di equivalenza o sono disgiunte o coincidono. Dim. Siano [x] e [z] due classi di equivalenza e supponiamo che esse abbiano un elemento w in comune: pertanto è w x e w z. Allora è x z per la proprietà transitiva. Sia ora y[x], cioè y x. Per la proprietà transitiva è y z cioè y[z]; si conclude che è [x]  [z]. Analogamente si dimostra che è [z]  [x]. Cvd.

Relazioni di Equivalenza Consideriamo ora l’insieme F di tutte le classi di equivalenza. F è un sottoinsieme di P(E) con le seguenti proprietà:  SF è S  (infatti la classe di equivalenza [x] contiene almeno x);  SF ,  TF / S  T S  T= (vd. Teorema precedente); =E (infatti un qualunque elemento di E appartiene alla classe di equivalenza che individua)

Relazioni di Equivalenza Una famiglia F di sottoinsiemi di E aventi le proprietà 1), 2) e 3) si dice una partizione di E. Dunque una relazione di equivalenza R individua una partizione F: questa viene detta Insieme Quoziente di E rispetto alla relazione R e viene indicata col simbolo E/R. Reciprocamente, data una partizione F, è subito individuata in modo unico una relazione R tale che F = E/R. Questa sarà evidentemente la seguente: x y  x e y appartengono ad un medesimo elemento di F.

Relazioni di Equivalenza Data in E una relazione R risulta individuata l’applicazione E E/R che porta ogni xE nella sua classe di equivalenza [x]. Si tratta di un’applicazione surgettiva che viene detta applicazione canonica sul quoziente

Relazioni di Equivalenza Consideriamo adesso un’applicazione f surgettiva di un insieme A in un insieme B. Per ogni yB l’insieme f-1(y) non è vuoto; la famiglia F=  f-1(y) : yB  è costituita da insiemi disgiunti e ricopre A: è dunque una partizione di Evidentemente questa partizione può essere individuata dalla relazione di equivalenza: x1 x2  f(x1)= f(x2).

Relazioni di Equivalenza Definiamo ora un’applicazione F:FB nel seguente modo: F([x])=f(x). Si vede subito che questa definizione è legittima perché se è [x]=[u], allora essendo x u si ha F([u])= f(u)=f(x). L’applicazione F oltre ad essere surgettiva è anche iniettiva (infatti classi diverse vanno a finire in punti diversi di B proprio per il modo in cui sono state definite le classi). Si è ottenuta un’applicazione iniettiva contraendo in un unico punto tutti i punti aventi uno stesso corrispondente in B.

Relazioni di Equivalenza Se indichiamo con C l’applicazione canonica di A sul quoziente si ha: f=FC. Possiamo ora pensare ad un altro modo di ricavare dalla f un’applicazione iniettiva che rimanga ancora surgettiva: quello di sostituire f con una restrizione opportuna. Come dovrà essere il dominio della nuova applicazione? Dovrà evidentemente contenere uno ed un solo punto preso da ciascuno degli insiemi f-1(y) che costituiscono F.

Relazioni di Equivalenza Che sia possibile compiere questa scelta è cosa abbastanza accettabile dalla nostra intuizione: tuttavia nessuna delle costruzioni insiemistiche che abbiamo introdotto ci permette di affermare l’esistenza di un insieme come quello desiderato. Occorre introdurre appositamente un assioma. Assioma della Scelta Data comunque una partizione X: XFdi un insieme E esiste un sottoinsieme di E che ha uno ed un solo elemento in comune con ciascuno degli XF.

Concetto di Assioma Un assioma è un’affermazione che non si dimostra. Gli assiomi sono alla base di ogni teoria.

Relazioni d’ordine e pre-ordine Definizione Si dice preordinamento (o preordine) una relazione binaria assegnata in un insieme che goda della proprietà riflessiva e transitiva. Se R è un preordinamento occorre tener presente che, non essendo più assicurata la proprietà simmetrica la scrittura R(x,y) non è più, in generale, equivalente a R(y,x).

Relazioni d’ordine e pre-ordine Esempi: Ogni relazione di equivalenza è un pre-ordinamento. La relazione x  y nell’ambito degli interi (o razionali, o reali) è un pre-ordinamento. Sia E un insieme qualunque; la relazione XY è un pre-ordinamento in P(E). d) Nell’insieme dei numeri reali, la relazione x2  y2 è un preordinamento.

Relazioni d’ordine e pre-ordine Definizione Si dice che una relazione binaria R in un insieme E è antisimmetrica se: xE,  yE : (R(x,y) e R(y,x))  x=y. In altre parole il sussistere di entrambe le relazioni R(x,y) e R(y,x) è possibile solo quando x e y coincidono.

Relazioni d’ordine e pre-ordine Definizione Si dice ordinamento un preordinamento che goda anche della proprietà antisimmetrica. Pertanto un ordinamento è una relazione che gode della proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Le relazioni definite in b) e c) (slide precedente) sono ordinamenti; quella in a) lo è soltanto nel caso in cui si tratti della relazione di uguaglianza; mentre quella in d) non è un ordinamento.

Relazioni d’ordine e pre-ordine Definizione Dato un pre-ordinamento (rappresentato dal simbolo ) in un insieme E, si pone x <y  (xy) e (xy). Potremo chiamare pre-ordinato un insieme in cui sia stata assegnata una relazione di pre-ordine

Relazioni d’ordine e pre-ordine Definizione Potremo chiamare ordinato un insieme in cui sia stata assegnata una relazione di ordine. Un insieme preordinato viene detto insieme diretto o insieme filtrante se, dati due suoi elementi qualsiasi x,y esiste almeno un elemento z tale che x  z e y  z. b), c) e d) (slide precedente) definiscono insiemi filtranti.

Relazioni d’ordine e pre-ordine Definizione Un elemento M di un insieme ordinato E si dice massimo se (per ogni)  xE si ha x M; si dice invece massimale se non vi è alcun elemento di E che lo supera, cioè se y M  y=M. Un elemento m di un insieme ordinato E si dice minimo se (per ogni)  xE si ha x m; si dice invece minimale se non vi è alcun elemento di E ad esso inferiore, cioè se y  m  y=m.

Relazioni d’ordine e pre-ordine Evidentemente ogni elemento che sia massimo (minimo) è anche massimale (minimale) ma non viceversa. Un insieme ordinato può avere più elementi massimali (minimali) ma non può avere più di un massimo (minimo). In un insieme ordinato non sempre accade che due elementi x e y siano fra loro confrontabili, cioè sussista una delle due relazioni x  y o y  x .

Relazioni d’ordine e pre-ordine Sia E un insieme qualunque; la relazione XY è un ordinamento in P(E). Se l’insieme E ha più di un elemento si possono trovare coppie X e Y di sottoinsiemi di E tali che XY e Y X. b) La relazione x  y nell’ambito degli interi (o razionali, o reali) è un ordinamento. In questo esempio tutti gli elementi sono confrontabili

Relazioni d’ordine e pre-ordine Definizione Un ordinamento  definito in un insieme E si dice totale o lineare se per ogni coppia (x,y) di elementi di E si ha x  y oppure y  x. Altrimenti si dirà parziale. Un sottoinsieme T di un insieme ordinato E risulta anch’esso ordinato con l’ordinamento che gli viene subordinato da E. Si dice catena un sottoinsieme K (di un insieme ordinato E) totalmente ordinato.

Relazioni d’ordine e pre-ordine Sia K una catena in E e supponiamo che esista un elemento wK che sia confrontabile con tutti gli elementi di K. Allora la catena può venire ampliata in modo ovvio con l’aggiunta di w, cioè Kw è ancora una catena di E. Vale il seguente Teorema In ogni insieme ordinato esistono catene non ampliabili

Relazioni d’ordine e pre-ordine Teorema Sia E un insieme ordinato non vuoto in cui ogni catena ammetta una limitazione superiore (cioè esiste in E un elemento s tale che  x K è xs. Allora in E esiste almeno un elemento massimale. Dim. Dal Teorema precedente sappiamo che in E esiste una catena K non ampliabile: essa è certamente non vuota. Sia s una limitazione superiore per K. Deve essere sK perché K non è ampliabile. Vogliamo dimostrare che s è un elemento massimale di E. Supponiamo, infatti, che

Relazioni d’ordine e pre-ordine per un certo y E sia y s. Allora anche y è una limitazione superiore per K, perciò (sempre per il fatto che K non è ampliabile) è y K. Quindi è ys. Si deduce allora che (visto che vale anche y s) y=s. Dunque non esiste alcun y in E tale che y>s cioè s è un elemento massimale.

Relazioni d’ordine e pre-ordine Teorema Sia assegnato in un insieme E un preordinamento  e sia R(x,y) la relazione: (xy) e (yx). Allora R è una relazione di equivalenza e il pre-ordinamento di E induce un ordinamento nell’insieme quoziente E/ R. Esso è il seguente [x] [y] se è xy Dim Dimostrare per esercizio che R una relazione di equivalenza. Dobbiamo verificare che questa relazione che si vuole stabilire per le classi di equivalenza non dipende dal particolare elemento con cui esse sono designate.

Relazioni d’ordine e pre-ordine Sia dunque xy e sia [x]=[x] e [y]=[y] cioè x x e y y cioè (x  x e x  x ) ed ancora (y  y e y  y ). Quindi è x  x y  y , implicando x  y . Dimostrare per esercizio che la relazione introdotta in E/ R è un ordinamento.