Laboratorio: le coniche e le loro applicazioni Università di Roma – Tor Vergata Corso di Perfezionamento in: “Nuove tendenze della didattica della Matematica e della Fisica” Laboratorio: le coniche e le loro applicazioni Tirocinanti: L. Aragosa S. Ruzzante A. Antonelli E. Pascale Referente: dott.ssa F. Tovena 1

Presentazione Le coniche e le loro applicazioni Rivolto a studenti delle classi 4ªe 5ª liceo classico e scientifico 2

Obiettivi disciplinari e formativi Trattare parallelamente sia il punto di vista sintetico, riferendosi cioe’ al cono e al piano con il quale il cono e’ tagliato, sia quello analitico, determinando l’equazione del luogo. Da”Le geometrie della visione” di L.Catastini F.Ghione Dare una visione “GESTALTICA” dell’oggetto nello spazio 3

Perchè un laboratorio sulle coniche Obiettivi Disciplinari e Formativi: Presentare il periodo storico in cui si sviluppa la teoria delle coniche. Capire quale è stata la necessità di sviluppare una teoria sulle coniche. Mettere in luce le proprietà di rette, piani, coni, sfere e cilindri, normalmente esclusi nei programmi tradizionali, introducendo proprietà focali in modalità applicativo-pratico. Legare ad esso lo studio di problemi non banali frequentemente ritrovati nei programmi accademici come le orbite planetarie, fenomeni ottici e risoluzione geometrica di equazioni algebriche, esaltando il ruolo della metodologia didattica applicabile ad altri contenuti. 4

Strategie didattiche per gli obiettivi disciplinari e formativi: Perchè un laboratorio sulle coniche Strategie didattiche per gli obiettivi disciplinari e formativi: Affrontare il progetto di laboratorio con un “ordine di apprendimento”, seguendo il percorso scientifico compiuto dai matematici Stimolare il loro interesse attraverso “software di geometria dinamica” che rappresentano gli oggetti in questione dinamicamente Coinvolgerli personalmente nell’utilizzo di oggetti pratici costruiti appositamente: “farli alzare dal banco”. 5

Perchè un laboratorio sulle coniche Strumenti “dalla storia”: testi classici, compasso di Leonardo, compassi per specchi parabolici, tavole prospettiche Strumenti Utilizzati Strumenti moderni: computer collegato ad un proiettore tavole di lavoro, oggetti d’uso quotidiano (torce) software geometria dinamica (Cabri,Cinderella), animazioni Java, materiale fruibile in rete. 6

Perchè un laboratorio sulle coniche Risultati finali attesi: coinvolgimento attivo e propositivo nello studio della matematica e stimolo ad un atteggiamento di ricerca; diminuzione dell’atteggiamento “non mi è venuto l’esercizio” conoscenza approfondita dell’argomento “coniche” dimestichezza riguardo le applicazioni attraverso gli strumenti forniti capacità di riprendere un “percorso logico-matematico” e perchè no … future iscrizioni alle facoltà scientifiche 7

Perchè un laboratorio sulle coniche Produrre materiale didattico - laboratoriale ripartito in: cartaceo (dispense e tavole di lavoro) Obiettivi Prefissati concreto (oggetti realizzati nei laboratori) multimediale (materiale in rete) 8

Le coniche e le loro applicazioni Suddivisione delle lezioni: 1) Impostazione teorica di Apollonio: introduzione sintetica del concetto di conica vista come risultato della sezione di un cono con un piano. Deduzione dell'espressione analitica nei casi generali e particolari attraverso semplici passaggi algebrici. 2) Percorso storico sul concetto di cono: come viene studiato nel passato. Introduzione pittorica del De Pictura (Alberti): come nasce nella storia la necessità di rappresentare e descrivere una conica: rappresentazione prospettica di una circonferenza. Applicazioni suggerite dal trattato sulle coniche di Pascal: teorema dell’esagono mistico proiezione di circonferenza su un quadro. 3) Parallelo tra gli strumenti antichi e moderni per la rappresentazione grafica di una conica. Presentazione e utilizzo del compasso di Leonardo Da Vinci Applicazioni mediante programmi di geometria dinamica nel piano e nello spazio (Cabri, Cinderella). Esercitazioni al computer. 4) Luoghi geometrici, equazione analitica delle coniche. Conica e carta:come costrire una conica con mezzi di uso quotidiano.Esercitazioni pratiche che esaltano l’aspetto ludico dell’argomento. 9

Le coniche e le loro applicazioni 5) Descrizione analitica di fuochi e direttrici. Proprietà focali di una conica: fuochi rispetto alle leggi di riflessione. Applicazioni tecniche: specchi ustori e antenne paraboliche. 6) Le coniche viste come ombra di una sfera: descrizione sintetica di fuochi e direttrici di una conica (sfere di Dandelin). 7) Applicazioni fisiche del concetto di conica: orbite kepleriane (studi sull'orbita di Marte) e costanza della velocità aereolare. Eccentricita’ 8) Risoluzione geometrica di equazioni algebriche di terzo e quarto grado secondo la tradizione araba intersecando cerchi, parabole o iperboli equilatere. Tutte le lezioni sono corredate di tavole di lavoro 10

Le coniche e le loro applicazioni Oggi presenteremo due delle otto lezioni: Partiamo con la lezione 1 Introduzione sintetica del concetto di conica vista come risultato della sezione di un cono con un piano. Deduzione dell'espressione analitica nei casi generale e particolare attraverso semplici passaggi algebrici. 11

Lezione 1 Descrizione sintetica: data una retta a e una retta r che si intersecano in un punto detto V, chiamiamo θ l’angolo tra r ed a. La superficie che si ottiene dalla rotazione completa di r attorno a , lasciando fisso l’angolo, e’ detta cono (a due falde). V r a θ 12

Approccio geometrico-visivo Lezione 1 Approccio geometrico-visivo a) Collocare il cono nello spazio ; b) Scegliere un sistema di riferimento “arbitrario e comodo”; c) Intersecare il cono con piani di diversa inclinazione, studiare i risultati delle intersezioni ripercorrendo lo studio di Apollonio di Perga (III sec. a.C.) V r z y x a 13

Lezione 1 Iperbole Parabola Ellisse Circonferenza Parabola Ellisse 14

Approccio geometrico-analitico Lezione 1 Approccio geometrico-analitico Dedurre l’equazione analitica di un cono e di un piano attraverso semplici passaggi algebrici Idea più semplice e intuitiva: intersecare il cono con un piano perpendicolare all’asse a a Equazione Cono con V=(0,0) e asse z Equazione piano parallelo al piano OXY 15

Esercizio Tavola 1.1 Sul piano z=k considero la circonferenza di centro (0,0,k) e raggio R, qual è il luogo formato dall’unione delle circonferenze al variare del parametro reale k ? (0,0,k) R 16 16

Cosa ci aspettiamo se il nostro approccio funziona…. Esercizio Cosa ci aspettiamo se il nostro approccio funziona…. Con il tentativo di “attivare una visione gestaltica” vorremmo che la risposta fosse: “CONO” r V 17

Esercizio Tavola 1.2 Cosa succede se puntiamo la luce di una torcia contro il muro ? Che “forma” ha il fascio di luce se punto una torcia con il braccio perpendicolare al muro? Che “forma” ha il fascio di luce se punto una torcia con il braccio inclinato rispetto al muro? Circonferenza Risposta: si forma un cono di luce Risposta: si forma una circonferenza Risposta: si forma un’ellisse o un iperbole Ellisse Iperbole Cono 18

Le coniche nella realtà “concreta” Applicazioni Le coniche nella realtà “concreta” 19

Passiamo ora alla lezione 6 Le coniche viste come ombra di una sfera: descrizione sintetica di fuochi e direttrici di una conica. Sfere di Dandelin. Equivalenza tra la definizione di conica data da Apollonio e la definizione di conica come luogo geometrico soddisfacente proprietà di carattere metrico. G.P. Dandelin 20

Una sfera di Dandelin e’ tangente sia al piano che al cono. Lezione 6 Una sezione conica possiede una o due sfere di Dandelin caratterizzate dalla proprietà: Una sfera di Dandelin e’ tangente sia al piano che al cono. 21

Lezione 6 Ellisse o circonferenza due sfere di Dandelin Parabola una sfera di Dandelin Iperbole due sfere di Dandelin Proprietà: “Il punto nel quale una sfera tocca il piano è un fuoco della sezione conica” 22

Lezione 6 Teoremi di Dandelin: “I fuochi dell’ellisse ottenuta intersecando un cono con un piano sono i punti di contatto delle due sfere tangenti (internamente) alla superficie conica” “I fuochi dell’iperbole ottenuta intersecando un cono con un piano sono i punti di contatto delle due sfere tangenti al piano e tangenti (internamente) alla superficie conica”. “Il fuoco della parabola ottenuta intersecando un cono con un piano è il punto di contatto della sfera tangente (internamente) alla superficie conica. La direttrice della parabola risulta l’intersezione del suddetto piano con quello in cui giace la circonferenza di contatto tra cono e sfera”. 23

Sfere di Dandelin (meta’ ottocento ) Lezione 6 Sfere di Dandelin (meta’ ottocento ) L'ombra proiettata da una sorgente luminosa posta sopra una sfera è un'ellisse. Abbassando ulteriormente la fonte luminosa si otterrà un ramo di iperbole. Se la sorgente di luce è in un piano parallelo al tavolo che passa al di sopra della sfera, si formerà una parabola. 24

Esercizio Soluzione Tavola 6.2 Disegnare l’ombra di una sfera generata da un fascio di luce perpendicolare al tavolo sul quale poggia. Determinare il luogo di tangenza tra la sfera e la “conica ombra” generata. 25

Conclusioni Livello didattico: Livello personale: riscontro positivo da parte degli studenti la produzione di materiale ha il fine di rendere facilmente comprensibile un argomento matematico, che può essere approfondito in qualunque momento al di fuori del laboratorio stesso. lasciare una buona impressione della matematica. Livello personale: ci si aspetta un importante affinamento delle proprie competenze come didatta e come comunicatore multimediale; questo laboratorio permetterà di applicare quanto appreso negli anni di laurea, e di imparare, concretamente, da insegnanti esperti 26