LE CONICHE

ARGOMENTI TRATTATI Le coniche, quali sono e come sono fatte Considerazioni storiche Le coniche come sezioni piane di un cono Le coniche nella fisica Le coniche nell’algebra Definizioni e proprietà importanti Le coniche come luoghi geometrici Lo studio di una conica Rette tangenti ad una conica condotte da un punto Esercizi di riepilogo

LE CONICHE, QUALI SONO E COME SONO FATTE

CONSIDERAZIONI STORICHE Le coniche sono curve studiate sin dall'antichità e molti matematici hanno dato il loro contributo allo studio di tali curve. Sembra che per primo Menecmo (375-325 a.C.), un matematico greco maestro di Alessandro Magno, si sia imbattuto nelle coniche nel tentativo di risolvere uno dei tre famosi problemi della matematica greca (i problemi di Delo). Egli stava studiando curve dotate di proprietà adatte alla duplicazione del cubo. Apollonio (262-190 a.C.), conosciuto come il Grande Geometra, consolidò ed approfondì i precedenti risultati sulle coniche nell'opera Le Coniche. Apollonio fu il primo a dimostrare che era possibile ottenere tutte e tre le sezioni coniche intersecando un cono con un piano e facendo poi variare l'inclinazione di tale piano. Fu anche il primo ad attribuire i nomi di ellisse, parabola, ed iperbole. Tali nomi traggono origine dal confronto di due grandezze caratteristiche di ciascuna curva. Ellisse vuol dire mancanza, iperbole significa "andare oltre", e parabola, "mettere accanto". Pur interessante dal punto di vista matematico, lo studio delle coniche aveva scarsi interessi pratici e venne abbandonato per diversi anni. Solo dopo circa 1800 anni lo studio di Apollonio poté fare passi avanti. Questo fu dovuto essenzialmente all'introduzione dei nuovi metodi matematici basati sulle coordinate cartesiane, ma anche al sorgere di un nuovo interesse scientifico. Da segnalare nell'ordine Galileo (moto di un proiettile) Cartesio, Keplero, Pascal, ed infine Newton, che utilizzarono lo studio delle coniche applicato a scoperte scientifiche. 

LE CONICHE COME SEZIONI PIANE DEL CONO Chiamiamo conica quella curva piana che si ottiene intersecando una superficie conica di rotazione a due falde con un piano. Si definisce superficie conica di rotazione a due falde la superficie generata da una retta r che ruota di 360° intorno ad un asse a, che la interseca in un punto V, formando con esso un angolo  costante. Definizioni: r – retta generatrice; a – asse di rotazione e di simmetria;  – angolo di semiapertura, con 0 <  < 90° ; V – vertice del cono di rotazione;  – piano secante; n – normale al piano  a’ – piano a-n ∩ piano   – angolo acuto fra asse a e a’ Possono verificarsi i seguenti casi: Il piano  non passa per V a. 0   <  iperbole b.  =  parabola a.  <  < 90° ellisse d.  = 90° circonferenza 2. Il piano  passa per V  coniche degeneri. a. 0   <  una coppia di rette b.  =  una retta a.  <   90° un punto (il punto V)

LE CONICHE IN FISICA In particolare le leggi di Keplero sui movimenti dei pianeti diedero una notevole applicazione delle coniche e delle loro proprietà geometriche. In termini moderni possiamo dire che ogni corpo dotato di massa determina intorno a sé una zona di spazio in cui le altre masse risentono della sua attrazione, un campo gravitazionale. Un corpo che si muove in un campo gravitazionale, può descrivere tre diversi tipi di traiettorie: ellittica, iperbolica o parabolica. Tali traiettorie dipendono dalla velocità iniziale e dalla direzione del corpo. Nel caso di orbite ellittiche si parla di traiettoria chiusa (per es. la terra intorno al sole, la luna intorno la terra). Nel caso di orbite iperboliche e paraboliche si parla di orbite aperte (per es. una cometa intorno al sole). Le coniche descrivono traiettorie possibili di corpi in interazione gravitazionale (per es. il sole e la terra, il sole e una cometa). Anche il moto di una carica in un campo elettrico a simmetria centrale, cioè originato da una carica puntiforme, è caratterizzato da traiettorie che appartengono alle “coniche”.

LE CONICHE NELL’ALGEBRA Definizione Si chiama conica il luogo geometrico dei punti del piano le cui coordinate (x;y) soddisfano ad un’equazione algebrica di 2° grado a coefficienti reali, del tipo     All’insieme delle soluzioni ( xi ; yi ) dell’equazione (*) possiamo infatti far corrispondere le coordinate dei punti Pi ( xi ; yi ) del piano cartesiano e tali punti formano appunto una conica. La corrispondenza è biunivoca, cioè vale anche l’affermazione: ai punti Pi ( xi ; yi ) di una conica, tracciata in un riferimento cartesiano, corrispondono le soluzioni dell’equazione (*). Classificazione delle coniche Data un' equazione del tipo (*), si dimostra che è possibile stabilire di quale conica si tratti, utilizzando i seguenti potentissimi strumenti algebrici: 1° ad ogni conica può essere associata una matrice M, detta matrice associata alla conica:

2° dalla matrice M, si può estrarre la matrice , con determinante : 3° dalla matrice M, si ricava il termine di realtà: Mediante i tre elementi det(M), δ, γ, è possibile classificare le coniche, espresse dalle equazioni del tipo (*), seguendo il seguente schema : • det(M) = 0 la conica è degenere, cioè è l'unione di due rette, che possono essere distinte o coincidenti, dette componeneti della conica (il primo membro dell’equazione (*) si può scomporre in due fattori di primo grado). • det(M) ≠ 0 la conica è non degenere e in tal caso la determinazione del tipo di conica dipende dal valore del discriminante δ della conica :

Osservazione Se nell'equazione (*) manca il termine “xy” gli assi di simmetria della conica sono paralleli ciascuno ad un degli assi cartesiani, altrimenti il termine “xy” implica che gli assi di simmetria della conica siano ruotati rispetto agli assi cartesiani di un angolo , tale che Esempi 1. Classifica le seguenti coniche, di cui è data l’equazione in forma generale.

Altri esempi 1. Determinare il tipo di conica individuato dalle equazioni assegnate: a. x2 – y2 + xy + 2x + 1 = 0 ; det(M)= -0,25 ≠ 0 conica non degenere  = – 1 – 1/4 = -5/4 < 0  iperbole ; in particolare a + c = 0  iperbole equilatera ; b. 5x2 + 8y2 + 4xy + 8x + 14y + 5 = 0 ; det(M)= -81 ≠ 0 conica non degenere  = 40 – 4 = 36 > 0  ellisse ; γ = det(M)( a + c) = -81·13 < 0  ellisse reale;

c. x2 + 2xy + y2 + 10x - 6y + 25 = 0 ; det(M)= -64 ≠ 0 conica non degenere  = 1 – 1 = 0  parabola ; d. x2 + y2 + x – y – 2 = 0 ; det(M)= -2,5 ≠ 0 conica non degenere  = 1·1 = 1 > 0  ellisse, in particolare è una circonferenza, perchè b = 0 e a = c γ = det(M)( a + c) = -2,5·2 < 0  circonferenza reale di centro C(-1/2;1/2). e. 5x2 + 4 y2 + 2 x – 3 y +1 = 0 ; det(M) = 4,75 ≠ 0 conica non degenere  = 20 > 0  ellisse ; γ =det(M)( a + c) = 4,75·9 > 0  ellisse immaginaria.

DEFINIZIONI E PROPRIETA’ IMPORTANTI Considerazioni generali sulle curve algebriche Definizione Una curva del piano cartesiano si dice algebrica se è rappresentata da un’equazione F(x;y) = 0 , dove F(x;y) è un polinomio nelle variabili x e y a coefficienti reali. Se il polinomio F(x;y) è di secondo grado, la curva è una conica: Una curva non algebrica si dice trascendente. Per esempio, sono trascendenti le curve di equazione y = logax , 2y -3ex = 0 . Definizione Si dice ordine della curva algebrica di equazione F(x;y) = 0 il grado del polinomio F(x;y). 1^ proprietà - L’ordine di una curva algebrica coincide con il numero massimo di intersezioni che questa può avere con una retta e in particolare con l’asse delle ascisse y = 0 .

Teorema fondamentale dell’algebra: un’equazione di grado n  1 ammette n radici, reali o complesse, ciascuna contata con la propria molteplicità. In particolare le soluzioni reali sono al massimo n (pensa all’equazione di 2°grado e alle considerazioni su ). 2^ proprietà Curve passanti per l’origine. Il punto P(x0;y0) appartiene alla curva F(x;y) = 0 se e solo se F(x0;y0) = 0 , in particolare il punto O(0;0) appartiene alla curva se e solo se F(0;0) = 0. Ne segue che, la curva di equazione F(x;y) = 0 passa per l’origine O(0;0) se e solo se nell’equazione manca il termine noto. Prendiamo, per esempio, l’equazione di 2° grado di una conica: 3A proprietà Simmetria di una curva rispetto agli assi e rispetto all’origine. Consideriamo i seguenti tre casi di simmetria: 1° la curva è simmetrica rispetto all’asse y se e solo se nel polinomio F(x;y) la x compare solo al grado pari; si ha F(-x;y) = F(x;y); 2° la curva è simmetrica rispetto all’asse x se e solo se nel polinomio F(x;y) la y compare solo al grado pari; si ha F(x;-y) = F(x;y); 3° la curva è simmetrica rispetto all’origine del riferimento cartesiano se e solo se nel polinomio F(x;y) la x e la y compaiono solo al grado pari , oppure solo al grado dispari e manca il termine noto; si ha F(-x;-y) = ± F(x;y) .

Considerazioni conclusive relative alle simmetrie per le coniche

LE CONICHE COME LUOGHI GEOMETRICI 1. Definizione generale di conica mediante l’eccentricità Si dice conica il luogo dei punti P del piano per i quali è costante il rapporto fra la distanza di P da un punto fisso F, detto fuoco, e quella da una retta fissa d, non passante per P, detta direttrice : Il numero e si chiama eccentricità della conica. Si dimostra che : • per l’ellisse 0  e < 1 ( e = 0 circonferenza di raggio nullo – la conica degenera in un punto) • per la parabola e = 1 • per l’iperbole e > 1

Dalla geometria all’algebra Dalla definizione generale di conica, come luogo geometrico, deduciamo l’equazione algebrica generale delle coniche, inserendo nel piano un opportuno riferimento cartesiano ortogonale. L’equazione (*) è di secondo grado in x e y, cioè la tipica equazione delle coniche, precisamente del tipo:

2. Definizioni specifiche di conica • Circonferenza - Si dice circonferenza il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto C, detto centro. La distanza costante si chiama raggio della circonferenza. • Parabola - Si dice parabola il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto F, detto fuoco, e da una retta d, detta direttrice. • Ellisse - Si dice elisse il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la somma delle distanze di P da due punti distinti F1 ed F2, detti fuochi. • Iperbole - Si dice iperbole il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la differenza delle distanze di P da due punti distinti F1 ed F2, detti fuochi. Dalla geometria all’algebra Da queste definizioni specifiche, dedurremo, nei capitoli seguenti, le equazioni algebriche delle coniche, inserendo nel piano opportuni riferimenti cartesiani ortogonali.

LO STUDIO DI UNA CONICA Studiare una conica significa: classificare la conica analizzando la sua equazione; trovare gli elementi caratteristici (vedi pagina precedente); disegnare il grafico. Esempi In questo contesto non ci occupiamo delle coniche con il termine ‘xy’ e, per tracciare il grafico, ci limitiamo a determinare solo alcuni elementi caratteristici: centro e assi di simmetria, vertici.

Osserva che un’ellisse è sempre inscritta in un rettangolo, come appare in figura, quindi, per tracciare il grafico della conica, note le coordinate dei vertici, è utile prima rappresentare il rettangolo. Infine, per rendere il disegno più preciso, si può determinare qualche altro punto:

Per tracciare in modo più preciso un’iperbole sarebbe necessario tracciare gli asintoti, ma in questa fase accontentiamoci di fare una ‘bozza’ del grafico. Rendiamo il disegno accettabile determinando qualche altro punto:

RETTE TANGENTI AD UNA CONICA CONDOTTE DA UN PUNTO Per determinare le equazioni delle tangenti ad una conica condotte da un punto P(xp;yp), si applicano in generale o il metodo del discriminante nullo o il metodo delle formule di sdoppiamento. In casi particolari, come per la circonferenza, si possono applicare altri metodi più comodi. Metodo del discriminante nullo -  = 0 si scrive l’equazione del fascio di rette con centro in P; si scrive il sistema formato dalle equazioni del fascio e della conica; si trova l’equazione risolvente di 2° grado in una delle due incognite; si impone la condizione di tangenza  = 0 per calcolare il coefficiente angolare delle due tangenti (sarà una sola, se P appartiene alla conica, nessuna soluzione se P è interno alla conica).

Esempio Dopo aver classificato la conica di equazione x2 + y2 - 8x - 4y + 10 = 0 , determina le equazioni delle rette ad essa tangenti e passanti per il punto P(-1 ; 7). Verifichiamo ora se il punto P appartiene alla conica: 1 + 49 + 8 - 28 + 10 = 40  0,  P non appartiene alla conica, pertanto l’equazione =0 può avere due soluzioni (due tangenti) o nessuna soluzione (nessuna tangente).

Metodo delle formule di sdoppiamento Data l’equazione di una conica espressa in forma normale e un punto P(xP ; yP), si sostituiscono alle variabili x e y dell’equazione della conica le seguenti espressioni: A questo punto, considerato il significato geometrico della retta , si presentano tre casi:

1° P è esterno alla conica  la retta  è la retta polare e interseca la conica nei due punti di tangenza A e B delle due rette tangenti, r ed s, cercate; 2° P appartiene alla conica  la retta  è la retta tangente cercata; 3° P è interno alla conica  la retta  non interseca la conica, o  non esiste se P coincide con il centro di simmetria della conica. Esempio Consideriamo la circonferenza dell’esempio precedente, di equazione x2 + y2 - 8x - 4y + 10 = 0 , e troviamo le equazioni delle rette ad essa tangenti, condotte da un punto P, nei seguenti tre casi: 1° P(-1 ; 7) è esterno alla circonferenza; 2° P(2;5) appartiene alla circonferenza; 3° P( 2; 4) è interno alla circonferenza e non coincide con il centro di simmetria; 4° P(4; 2) è il centro di simmetria della circonferenza.

Esercizi Determina le equazioni delle tangenti alla conica di equazione assegnata, condotte dal punto P:

Esercizi di riepilogo Classifica le coniche seguenti, disegnale (solo se manca il termine in ‘xy’) e trovane le tangenti condotte dal punto P. 5x2 + 5y2 – 11xy + 1 = 0 P(1;1) iperbole ruotata - tang: y = – x + 2 x2 + y2 – 3x – 7y + 12 = 0 P(– 1;6) circonferenza - tang: 3x + y – 3 = 0 ; x + 3y – 17 = 0 4x2 – 4xy + y2 + 6x + 1 = 0 P(0;0) parabola ruotata - tang.: y = – x ; y = 5x x2 – 2y2 – 2y – 1 = 0 P(0;0) iperbole - tang.: y = ± x 4x2 + y2 – 4y + 2 = 0 P(0;0) ellisse - tang.: y = ± 2x x2 + 2xy – 2x – 6y + 1 = 0 P(1;0) iperbole ruotata - tang: y = 0 .