Il teorema di Pitagora

Osservando un pavimento…

TEOREMA DI PITAGORA: In un triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa. Ma sarà vero per qualsiasi triangolo?

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Dimostrare un teorema… … o fare un puzzle?

Una dimostrazione del teorema di Pitagora - Primo Metodo “Puzzle” -

Un’altra dimostrazione del teorema di Pitagora - Secondo Metodo “Puzzle” -

Prolunghiamo il lato verticale destro del quadrato costruito sul cateto minore, fino ad incontrare il segmento precedentemente costruito Tracciamo la parallela al cateto maggiore a partire dal vertice in alto a destra, fino ad incontrare la perpendicolare Misuriamo la lunghezza di quest’ultimo segmento Prolunghiamo il lato orizzontale superiore del quadrato costruito sul cateto maggiore Coloriamo con colori differenti le porzioni del quadrato costruito sull’ipotenusa così ottenute Riportiamo questa lunghezza sul primo segmento costruito a partire dal piede della perpendicolare verso sinistra Dall’estremo sinistro tracciamo verso l’alto il segmento perpendicolare fino ad incontrare il lato superiore del quadrato

Ruotiamo opportunamente ciascun pezzo per poter ricomporre il puzzle

Sistemiamo i pezzi del puzzle in modo da ricoprire i quadrati costruiti sui cateti IL PUZZLE È COMPLETO!!!

E ancora un’altra dimostrazione del teorema di Pitagora - Terzo Metodo “Puzzle” -

Tracciamo la perpendicolare all’ipotenusa passante per il centro del quadrato Tracciamo le diagonali del quadrato costruito sul cateto maggiore per individuarne il centro Tracciamo la parallela all’ipotenusa passante per il centro del quadrato

Coloriamo con colori differenti le porzioni del quadrato così ottenute e il quadrato costruito sull’altro cateto Muoviamo ora i pezzi così ottenuti in modo da ricoprire il quadrato costruito sull’ipotenusa IL PUZZLE È COMPLETO!!!

Osservazioni sulle costruzioni delle dimostrazioni Variazione della misura dei cateti

Riconsideriamo la prima costruzione fatta…

Ora riduciamo la differenza fra le lunghezze dei cateti del triangolo e ripetiamo la suddivisione del quadrato costruito sull’ipotenusa

Si osserva quindi che la misura di tale triangolo dipende dalla differenza della lunghezza dei due cateti. Si noti come il triangolo formatosi in alto a destra sia piccolo rispetto all’esempio precedente.

Prolunghiamo i lati dei quadrati costruiti sui cateti Coloriamo con colori differenti le porzioni del quadrato costruito sull’ipotenusa così ottenute Consideriamo un triangolo rettangolo isoscele. I quadrati costruiti sui cateti, quindi, sono congruenti. Ripetiamo la prima costruzione fatta… In questo caso, i due segmenti sono sufficienti alla costruzione del puzzle. Muoviamo ora i pezzi così ottenuti in modo da ricoprire i quadrati costruiti sui cateti Si ottengono così quattro pezzi fra loro congruenti! IL PUZZLE È COMPLETO!!!

e infine, con un po’ di immaginazione, si possono creare disegni… un po’ particolari…

L’albero di Pitagora

“Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle; le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale: al mondo non c'è posto perenne che per la matematica bella” Godfrey Harold Hardy, Apologia di un matematico, 1940