Le Derivate Applicazioni
Applicazioni della derivata Definizione 1 sia f:(a,b) R una funzione numerica. f è crescente (decrescente) in (a,b) se, per ogni coppia x,y in (a,b) x y f(x) f(y) (x y f(x) f(y)) ESEMPIO 1 La funzione f(x) = x+1 è crescente in tutto R perché, se x y allora x+1 y+1 ESEMPIO 2 La funzione f(x) = -x+1 è decrescente in R perché, se x y allora x+1 y+1
Funzioni crescenti in un punto Definizione 2 sia f(a,b) R una funzione numerica e x 0 un punto di (a,b). f è crescente (decrescente) in x 0 se esiste un intorno I di x 0 per cui f è crescente in I
Derivate e funzioni crescenti Teorema 1 sia f una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Allora, per ogni x in (a,b) f è crescente in x f’(x)>0 f è decrescente in x f’(x)<0
Dimostrazione Ox y a bx0x0 f(x0)f(x0) f(x0+h)f(x0+h) x0+hx0+h f(x)f(x) f(x) crescente in x 0
Dimostrazione Ox y a bx0x0 f(x0)f(x0) f(x0+h)f(x0+h) x0+hx0+h f(x)f(x) f(x) è crescente in x0
Applicazioni del teorema La funzione è sempre crescente e il suo grafico è
Applicazioni del teorema La funzione è crescente se x>1 altrimenti è decrescente. Il grafico è
Applicazioni del teorema Sempre crescente tranne per x=0. Il grafico è il seguente Il punto di coordinate (0,-1) si dice punto di flesso della funzione