Analisi e gestione del rischio Lezione 10 Rischio di Credito: Modelli Strutturali

Rischio di default: misure Premio per il rischio di default Expected loss: la diminuzione di valore di un titolo che è determinata dal rischio di default EL = DP X Lgd Credit spread: la differenza tra il rendimento a scadenza di un titolo con rischio di deafult e quello di un titolo privo di rischio con le stesse caratteristiche finanziarie Credit spread = – ln(1 – EL)/maturity

Modelli del rischio di default Modelli strutturali Il rischio è determinato a partire da un modello della struttura finanziaria e industriale dell’emittente dell’obbligazione (la sua linea di business ed il suo stato patrimoniale) Il premio per il rischio è determinato a partire dalla teoria delle opzioni Modelli in forma ridotta (intensity based) Il rischio è modellato sulla base di ipotesi statistiche sulle probabilità di default ed il tasso di recupero Il premio per il rischio è determinato a partire dalla teoria della struttura a termine

Modelli strutturali L’approccio di Merton Nel modello di Merton (1974), il paper che ha inaugurato il filone dei modelli strutturali, il valore dell’attivo del debitore determina congiuntamente La probabilità di default Il recovery rate nell’evento di default Il valore del debito e del capitale dell’impresa Il valore dei titoli corporate è determinato sulla base della teoria delle opzioni

Min(B,V(T))= B – max(B – V(T),0)

Min(B,V(T))= V(T) – max(V(T)–B,0)

Il modello di Merton Il debito è un titolo zero-coupon-bond, cioè interesse e capitale sono pagati in un’unica soluzione alla maturità. Il rischio di default è descritto dal pay-off Valore del debito alla maturità = min (B,V(T)) …e può essere scomposto alternativamente come min (B,V(T)) = B - max(B - V(T), 0), cioè Debito = Risk-free - put(V,t; B,T) min (B,V(T)) = V(T) - max(V(T) - B, 0), cioè Debito = Valore dell’attivo - call(V,t; B,T)

Modigliani-Miller Dalla relazione di parità tra opzioni put e call abbiamo V = B - put(V,t; B,T) + call(V,t; B,T) V = valore dell’attivo (valore dell’impresa) Call(V,t; B, T) = Valore del capitale La caratteristica dell’opzione del capitale deriva da i) leverage ii) limited liability Put (V,t; B, T) = Premio per il rischio di default

Un modello binomiale

r*(t,T) – r(t,T) = – ln[1 – (1 – Q)(1 – V(L)/B]/(T- t) Credit spread Dalla valutazione di derivati con alberi binomiali Debito = P(t,T)[B – (1 – Q )(B – V(L))] con Q = (V(t)/P(t,T) - V(L))/(V(H) - V(L)) …e in termini di rendimento a scadenza… Debito defaultable = B exp(–r*(t,T)(T - t)) Debito risk-free = P(t,T) = B exp(–r(t,T)(T - t)) …otteniamo il credit spread r*(t,T) – r(t,T) = – ln[1 – (1 – Q)(1 – V(L)/B]/(T- t)

Determinanti dei credit spread Il credit spread è non-negativo r*(t,T) - r(t,T) = - ln[1- (1 - Q )(1- V(L)/B]/(T- t) Il credit spread tende a zero se La probabilità di default tende a zero La perdita va a zero (recovery rate uguale a 1) Il credit spread raggiunge il suo valore massimo quando il tasso di recupero va a zero r*(t,T) - r(t,T) = - ln[ Q ]/(T- t)

Un esempio: finanziamento di un progetto Valore attivo Debito Equity Valore di mercato dell’equity = 30 Prezzo del titolo risk-free = 1 Valore nominale del debito = 80 120 80 40 40 40

Soluzione Dal prezzo di mercato del capitale, cioè 30, possiamo calcolare la probabilità di sopravvivenza da 30 = Q 40 + (1 - Q) 0, cosicché Q = 0.75 e la probabilità di default aggiustata per il rischio è 0.25 Il debito è valutato come Q 80 + (1 – Q) 40 = 70 Dal teorema di Modigliani-Miller calcoliamo il valore del progetto come: V = 70 + 30 = 100 N.B. Il valore del sottostante, cioè il progetto, è determinato a partire dal valore del derivato, cioè il capitale dell’azienda.

Modello di Merton Merton sviluppa nel tempo continuo le stesse idee che abbiamo mostrato in un modello discreto. Il valore dell’azienda segue un processo geometrico browniano ed i valori di capitale e debito sono determinato utilizzando la formula di Black e Scholes. Le determinanti chiave dei credit spread sono 1) Il leverage: quasi-debt-to-firm-value-ratio 2) La volatilità del valore dell’attivo

Modello di Merton Valore dell’impresa: processo geometrico browniano dV = Vdt + VVdw(t) = (r+V)Vdt + VVdw(t) Valore del capitale: un’opzione call

Modello di Merton Il valore del debito: …può essere scomposto come…

Modello di Merton …debito default-free meno una default put option …e in termini moderni…

Modello di Merton …debito default-free per (1 – Dp x Lgd) Dp = Default probability Lgd = Loss given default = 1 – RR Quasi-debt to firm value (quasi-leverage) d = Bexp(–r(T – t))/V(t)

Copertura del rischio di credito Rischio di credito significa una posizione corta in un’opzione put, ed un’esposizione al rischio del progetto finanziato (delta = 1 – N(d1)) Strategia 1: acquistare una default put/swap Si tratta di un derivato di credito che consente di acquistare “protezione” sull’esposizione al rischio di credito Strategia 2: vendere azioni dell’emittente Poiché le azioni sono opzioni call rappresentano un’esposizione positiva al rischio del progetto (delta = N(d1)) una posizione corta in titoli di capitale riduce l’esposizione netta al rischio del progetto finanziato

Modello KMV™ Il modello KMV ricava le stime di V e V dai valori e dalla volatilità dei titoli azionari. Su questa base possiamo valutare la probabilità di default al tempo T Notiamo che è usato il drift oggettivo , per ricavare la stima della probabilità oggettiva Nel modello KMV la distribuzione empirica dei casi di default è utilizzata infine per tener conto della non-normalità della distribuzione

Il modello di Merton e i dati: la maturità a 10 anni (USA)

Covenants (Black e Cox, 1976) Una delle limitazioni del modello di Merton consiste nel fatto che il default avviene a scadenza. Nella realtà l’episodio di default può avvenire prima della scadenza, quando il valore dell’azienda raggiunge un livello inferiore minimo. Black & Cox (1976) estendono il modello di Merton per tener conto del fatto che il valore del debito può essere monitorato prima della scadenza attraverso l’osservazione di safety covenants: se il valore dell’azienda scende al di sotto di un certo livello, i creditori possono forzare la restituzione del debito. E’ evidente che in questo caso il valore del capitale è un’opzione call con barriera (down-and-out call).

Debito senior e junior: l’approccio strutturale

Debito senior e junior: valutazione La valutazione è molto semplice Valutiamo anzitutto il debito complessivo Debito Complessivo = P(t,T)B – put(V,t;B,T) Valutiamo il debito senior, Debito senior = P(t,T)S – put(V,t;S,T) Valutiamo il debito junior per differenza Debito junior = P(t,T)J – [put((V,t;B,T) – put(V,t;S,T)] N.B. Il rischio di credito del debito junior è rappresentato da uno spread put, che al limite approssima la probabilità risk-neutral di default