Volatilità e informazione implicita

Il modello di Black & Scholes Il modello di Black & Scholes è basato sull’assunzione di distribuzione normale dei rendimenti. Si tratta di un modello nel tempo continuo. Ricordando la definizione di prezzo forward F(Y,t) = Y(t)/v(t,T) U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna Prezzi di opzioni put Dalla relazione di parità put-call e dalla proprietà della normale standard secondo la quale: 1 – N(a) = N(– a) otteniamo U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna Volatilità implicita La volatilità utilizzata è selezionata per ottenere prezzi coerenti con quelli osservati sul mercato. Questo concetto è noto come volatilità implicita e rappresenta un esempio di informazione implicita estratto dai dati di mercato. Si noti che il modello di Black e Scholes è basato sull’ipotesi che la volatilità sia costante. U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

Il mondo di Black e Scholes La volatilità è costante, che equivale a dire che i rendimenti sono distribuiti normalmente I portafogli di replica sono ribilanciati senza costo nel tempo continuo, e i derivati possono essere replicati esattamente (mercati completi) I derivati non sono soggetti a rischio di controparte cioè il rischio che la controparte possa non tenere fede alle proprie oibbligazioni. U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna Oltre Black & Scholes Il modello di Black & Scholes implica la stessa volatilità per ogni contratto derivato Dal crash del 1987, questa regolarità non è supportata dai dati La volatilità implicita varia per diversi strike (smile effect) La volatilità implicita varia per diverse date di esercizio (struttura a termine di volatilità) Il sottostante non ha distribuzione log-normale. U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna Smile, please! U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

Informazione implicita Nel mondo di Black e Scholes, a volatilità costante, e distribuzione normale dei rendimenti, la volatilità implicita di una opzione qualsiasi racchiude tutta l’informazione implicita nei mercati. Dopo Black e Scholes, si prova a estrarre da tutte le opzioni scambiate sul mercato per una stessa data di esercizio l’intera distribuzione aggiustata per il rischio dei prezzi (informazione implicita) utilizzando l’approccio di Breeden e Litzemberger. Più recentemente prezzi di opzioni con strike e tempi di esercizio diversi sono stati utilizzati per estrarre la dinamica implicita dei prezzi (alberi impliciti) U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna Digitali… U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

…e spread verticali (super-replica) U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

Probabilità implicita nelle call… Ricordiamo che il valore dell’opzione digitale cash-or-nothing (CoN) è dato da Digital Call CoN = P(t,T)Q( S(T) > K) Sappiamo anche che il pay-off può essere approssimato da …da cui U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

…e nelle put La stessa analisi può esser fatta per l’opzione put digitale, cioè che paga un’unità di valuta se S(T)  K Digitale Put CoN = P(t,T)Q( S(T)  K) Allo stesso modo l’approssimazione da dati di mercato è …da cui U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

Probabilità implicita S&P Mib – Aprile U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

Probabilità implicita S&P Mib Maggio U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

Eventi estremi: aprile U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

Eventi estremi: maggio U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna Alberi Impliciti U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna