Vettori Con che verso a Verso Quando si misura una grandezza fisica, a volte è sufficiente considerare soltanto un numero, altre volte un semplice valore numerico non è sufficiente. Massa, Lunghezza a Grandezze scalari Velocità, spostamento a Grandezze Vettoriali Quanto Veloce a Modulo In che direzione a Direzione Con che verso a Verso Una grandezza vettoriale è quindi caratterizzata SEMPRE da un valore numerico (modulo), da una direzione e da un verso. Graficamente si indica con una freccia la cui lunghezza indica il modulo, la direzione della freccia indica la direzione della grandezza vettoriale ed il suo orientamento il verso. modulo direzione Verso Vettori - Capitolo 3 HRW

Rappresentazione numerica In due Dimensioni X q Y Dando le due componenti K = (kx,ky) Dando il Modulo e l’angolo K = (|K|, q) kx = |K| Cos (q) |K| = (kx2+ky2)1/2 ky = |K| Sen (q) q = Atan (ky/kx) Identico ragionamento in tre dimensioni Vettori - Capitolo 3 HRW

Rappresentazione numerica I Versori Definisco 2 (3) vettori (nello spazio a 2 (3) dimensioni) con Modulo = 1 Direzione = asse x, asse y, (asse z) Verso = Quello delle coordinate Positive 1 Ovviamente esistono versori anche nella rappresentazione polare, sferica, o in qualsiasi altra rappresentazione 13 56.3° Vettori - Capitolo 3 HRW

Ho un tipo di somma (ovviamente è somma algebrica): Poiché è possibile sommare/sottrarre/moltiplicare le grandezze vettoriali anche per i vettori deve essere possibile definire delle operazioni di somma e prodotto Poiché un vettore matematicamente non è altro che un elemento di un campo vettoriale allora le operazioni tra i vettori non sono altro che quelle definite dalla matematica per i campi vettoriali. Ho un tipo di somma (ovviamente è somma algebrica): Vettore + Vettore a Vettore Posso avere quattro diversi tipi di prodotto 1) Prodotto semplice Scalare * Vettore a Vettore 2) Prodotto Scalare Vettore • Vettore a Scalare 3) Prodotto Vettoriale Vettore  Vettore a Vettore 4) Prodotto Tensoriale Vettore  Vettore a Matrice Vettori - Capitolo 3 HRW

Operazioni con i Vettori Somma di Vettori: Metodo Grafico Metodo Algebrico La somma di vettori posso farla componente per componente (se espressi in rappresentazione cartesiana) A( 3,2) + B(2,-3) = C C = A+B = (3+2, 2-3) = ( 5,-1) Nota: La somma di due vettori A(a1,a2) e B(b1,b2) ha modulo pari a: |A+B| = |C| = (|A|2 + |B|2 + 2|A||B|Cos(qa-qb))1/2 + = Vettori - Capitolo 3 HRW

Prodotto semplice  ha come risultato un vettore V (a,b) oppure V(|v|,q) 4 V = V’ (4a, 4b) = V’(4|v|,q) Prodotto Scalare  ha come risultato uno scalare A(a1,a2) , B(b1,b2) A(|a|,qa) , B(|b|,qb) C = A*B = (a1*b1 + a2*b2 ) C = A*B = |a||b|Cos (qa-qb) Geometricamente è il prodotto tra il modulo del primo vettore con la proiezione del secondo lungo la direzione del primo Ovviamente: Il Prodotto scalare tra due vettori ortogonali e nullo ! Il Prodotto scalare tra due vettori paralleli è il prodotto dei loro moduli A * B = B * A Infatti Cos (qa- qb) = Cos (qb- qa) Vettori - Capitolo 3 HRW

C B A Prodotto Vettoriale  ha come risultato un vettore A(a1,a2) , B(b1,b2) oppure A(|a|,qa) , B(|b|,qb) C = A x B = A  B Modulo a |C| = |a||b| Sen (qa - qb) Direzione a Ortogonale al piano individuato da A e B Verso a Regola Mano Destra A B C Con le dita della mano destra far girare il vettore A verso il vettore B, il pollice indicherà la direzione del vettore C Ovviamente: Il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è nullo A x B = - B x A Vettori - Capitolo 3 HRW

Prodotto Vettoriale in 3 dimensioni Z A(xa,ya,za) B(xb,yb,zb) C A X B Y Esempio A(1,1,1) B(2,2,0) C = A L B Cx = - 2 Cy = +2 Cz = 0 Vettori - Capitolo 3 HRW

Alcuni esempi sui vettori Somma ? Differenza ? Prodotto Scalare ? Prodotto Vettoriale ? Rappresentazione Polare ? Somma ? Differenza ? Prodotto Scalare ? Prodotto Vettoriale ? Rappresentazione Cartesiana ? Vettori - Capitolo 3 HRW

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Obiettivi generali degli esercizi svolti in aula: Saper passare da un vettore (modulo e direzione) alle componenti e dalle componenti al vettore; Saper compiere le operazioni fondamentali con i vettori (somma, prodotto per un numero, prodotto scalare e prodotto vettore). Vettori - Capitolo 3 HRW