FONDAMENTI DELL’ ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI Rappresentazione grafica di un sistema elettrico. Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico: Bipolo doppio bipolo ed n-bipolo nodi

Rappresentazione grafica di un sistema elettrico.

Bear Valley Mouse City Duck City

BEAR VALLEY DUCK CITY MOUSE CITY

B DB nB nB B B N B

7 G 6 T 1 3 L G 2 L 4 T 5 L T C C I1 V1 I2 V3 I3 V2 Duck City Bear Valley 3 L G 2 L 4 T 5 L T C C I1 V1 I2 Mouse City V3 I3 V2

VARIABILI DI INTERESSE NEI SISTEMI ELETTRICI

IPOTESI SUI MODELLI DI PRIMO LIVELLO Legami lineari tra tensioni e correnti Modelli validi per l’analisi del funzionamento in regime sinusoidale costante o del funzionamento in condizioni dinamiche “lentamente variabili”

MODELLO DEL BIPOLO ATTIVO

I1 I2 I3 B V1 V2 V3

I1 Z10 1 Zm12 V1 I2 Z20 2 Zm23 Zm31 I3 Z0n Z30 3 V2 V3 I1+ I2+ I3 n

If Ef Vf Zf

MODELLO DEL n-BIPOLO

I1h V1h I1k I2h I2k V1k I3h V2h I3k V3h V2k V3k

If(k) If(i) [zf] Vf(i) Vf(k)

MODELLO DEL DOPPIO BIPOLO (caso particolare del n-bipolo)

Ip1 Ia1 Ip2 Ia2 Ip3 DB Ia3 Vp2 Va1 Vp1 Va2 Vp3 Va3

If(a) If(p) Vf(a) Vf(p)

Ia Ip Va Vp

é V ù é Z Z ù é I ù = × ê ú ê ú ê ú Z Z ë V û ë û ë I û Descrizione mediante “impedenze a vuoto” é V ù é Z Z ù é I ù p pp pa p = × ê ú ê ú ê ú Z Z ë V û ë û ë I û a ap aa a

Descrizione mediante “ammettenze in cortocircuito” é I ù é Y Y ù é V ù p pp pa p = × ê ú ê ú ê ú Y Y ë I û ë V ë û a ap aa û a

Descrizione mediante “costanti di trasmissione” é V ù é A B ù é V ù p a × = ê ú ê ú ê ú I C D I ë û ë ë û p û a

“matrice di trasmissione” La matrice : é A B ù [ ] a = ê ú ë C D û viene chiamata “matrice di trasmissione”

IDENTIFICAZIONE DELLE COSTANTI DI TRASMISSIONE Prova a vuoto Prova in corto circuito

PROVA A VUOTO Ia0= 0 Va0 Vp0 Ip0 A B C D V I p p A = C = V V a a

PROVA IN CORTO CIRCUITO IaCC VpCC IpCC A B C D VaCC= 0 cc cc V I p p B = D = cc cc I I a a

Relazioni tra le costanti di trasmissione, impedenze a vuoto e ammettenze in cortocircuito pp Y Z Zpp 1 aa aa A = = - B = Z - = pa Z Y Z Y ap ap ap pa Y Y Y 1 aa pp Z pp aa C = = Y - D = - = pa Z Y Z Y ap pa ap pa

é A B ù Y Z det = AD - BC = - = - ê ú ë C D û Y Z RELAZIONE TRA LE COSTANTI DI TRASMISSIONE é A B ù Y Z pa pa det = AD - BC = - = - ê ú ë C D û Y Z ap ap

Condizione di reciprocità Se : Ia Vp Va=0 = Ip Va Vp=0 Allora : Zap = Zpa e Yap = Ypa ; AD - BC = -1

[ ] ove: é V ù é A B ù é V ù = × ê ú ê ú ê ú I ë I û ë C D û ë û é A B INVERSIONE DEL DOPPIO BIPOLO é V ù é A B ù é V ù p a × ê ú = ê ú ê ú I C D I ë p û ë û ë û a - 1 é V ù é A B ù é V ù a p = × ê ú ê ú ê ú I ë I û ë C D û a ë p û ove: - 1 é A B ù 1 é D -B ù é -D B ù = × = ê ú [ ] ê ú ê ú ë C D û det a ë -C A û ë C -A û

A = - D SIMMETRIA DI UN DOPPIO BIPOLO é A B ù é A B ù é -D B ù = = ê ú Un doppio bipolo si dice “simmetrico” se coincide col suo inverso, ossia se: - 1 é A B ù é A B ù é -D B ù = = ê ú ê ú ê ú ë C D û ë C D û ë C -A û ossia se: A = - D

CONDIZIONI DI SIMMETRIA DI UN DOPPIO BIPOLO IN TERMINI DI IMPEDENZE A VUOTO O DI AMMETTENZE IN CORTO CIRCUITO A = - D Yaa = Ypp Zaa = Zpp

Rete equivalente a “” Rete equivalente a “T” RETI EQUIVALENTI A TRE POLI DI UN DOPPIO BIPOLO ALMENO SIMMETRICO O RECIPROCO Rete equivalente a “” Rete equivalente a “T”

RETE EQUIVALENTE A ““ p a Z*pa Z*pp Z*aa

ì Z* + Z* ì ï A = ï Z* = - B Z* ï ï ï ï B í B = - Z* í Z* = 1 - A ï ï RELAZIONI TRA COSTANTI DI TRASMISSIONE E IMPEDENZE DELL’EQUIVALENTE A “” ì Z* + Z* ì aa pa ï A = ï Z* = - B pa Z* ï aa ï ï ï B í B = - Z* í Z* = pa aa 1 - A ï ï Z* + Z* ï pp pa ï B D = - Z* = ï ï Z* pp î î 1 + D pp

RETE EQUIVALENTE A “T“ p a Zp0 Za0 Z00

ì Z + Z ì 1 A = ï Z = Z ï C ï ï ï 1 ï -D - 1 í C = í Z = Z C ï ï ï ï A RELAZIONI TRA COSTANTI DI TRASMISSIONE E IMPEDENZE DELL’EQUIVALENTE A “T” ì Z + Z p0 00 ì 1 A = ï Z = Z ï 00 C ï 00 ï ï 1 ï -D - 1 í C = í Z = a0 Z C ï 00 ï ï ï A - 1 Z + Z a0 00 Z = ï D = - ï p0 î C Z î 00

RIDUZIONE DI UN DOPPIO BIPOLO

Ip Ia Ic A B Zc Vp Va Vc C D V -AZ + B p c Z = = p I -CZ + D p c

IMPEDENZA ITERATIVA DI UN DOPPIO BIPOLO E’ l’impedenza che, collegata alla porta di arrivo riduce il bipolo ad una impedenza dello stesso valore.

( ( ) ) -AZ + B Z = -CZ + D - A + D ± A + D - 4BC Z = 2C CALCOLO DELL’IMPEDENZA ITERATIVA -AZ + B it Z = it -CZ + D it ( ) ( ) 2 - A + D ± A + D - 4BC Z = it 2C

-B Z = C IMPEDENZA CARATTERISTICA A + D = 0 c Nel caso di simmetria del doppio bipolo vale: A + D = 0 In tal caso l’impedenza iterativa si chiama: “IMPEDENZA CARATTERISTICA” e vale: -B Z = c C

MODELLO DEL NODO

I1b V1b I2b V2b I1a I3b V3b I2a I3a I1c V1a V2a I2c V3a I3c V1c V2c V3c

Ib Ia Vb Va Ic Vc

7 G 6 T 1 G 3 L 2 L T 4 L 5 C T I f V f C