QUANTIZZAZIONE E TRASMISSIONE DI SEGNALI NUMERICI SEZIONE 7

Segnali numerici Si consideri il segnale x(t) campionato a intervalli T. t T Segnale originale x(t) Campioni del segnale x(nT) Ogni campione del segnale campionato x(nT) e’ un numero reale che puo’ assumere con continuita’ qualsiasi valore compreso tra uno minimo e uno massimo. Se si vuole rappresentare ogni campione x(nT) in forma numerica (ad es. per memorizzarlo in forma binaria su un PC) e’ necessario approssimare il numero reale con un numero finito K di livelli compresi tra il minimo e il massimo. Questa operazione viene detta QUANTIZZAZIONE.

Schema a blocchi del convertitore A/D K=256=28 …. u10 -> 00001010 u11 -> 00001011 u12 -> 00001100 ... x (nT) xq(nT) x(t) c(n) Campionatore Quantizzatore Codificatore c(n) 1 fc=1/T nTb t Tb=T/log2K Rb [bit/s]= 1/Tb=fc log2K t

La quantizzazione x(nT) xq(nT) D -V V Quantizzatore xq(nT) x(nT) Il quantizzatore e’ un dispositivo che trasforma il campione reale x(nT) nel campione quantizzato con un numero K di livelli xq(nT). Quantizzatore x(nT) xq(nT) Ad esempio se il minimo e il massimo valore che puo’ assumere il campione x(nT) sono -V e V, la relazione tra il valore continuo x(nT) e quello quantizzato xq(nT), e’ rappresentata da una scalinata con K livelli. L’intervallo di quantizzazione D e’: xq(nT) x(nT) D -V V

L’errore di quantizzazione Quantizzando si commette un errore tanto piu’ piccolo quanto piu’ elevato e’ il numero K di livelli. L’errore di quantizzazione e’ definito come: x(nT) xq(nT) e(nT)

Caratteristiche dell’ errore di quantizzazione p(e(nT)) K/2V -V/K V/K e(nT) valore medio nullo densita’ di probabilita’ uniforme p(e)= K/2V valore qaudratico medio (valore efficace) s =V/K 3-1/2 campioni incorrelati (se K sufficientemente grande)

Un’espressione facile da ricordare Se il numero K di livelli e’ elevato, l’errore di quantizzazione di un campione e’ una variabile casuale con densita’ di probabilita’ uniforme tra -D/2 e +D/2. Dunque l’errore di quantizzazione e’ una variabile casuale a valor medio nullo e varianza uguale a: Se si vogliono utilizzare N cifre binarie per rappresentare i campioni avremo che: Se ora esprimiamo la varianza dell’errore in DECIBEL (dB), otteniamo: Con una cifra binaria in piu’, la varianza dell’errore di quantizzazione si riduce di 6dB

Codifica dei campioni quantizzati Con N cifre binarie (bit) si ottengono K = 2N livelli di quantizzazione. Ad ogni livello si puo’ dunque associare un codice di N bit . Ad esempio, se N=3 , otteniamo K = 8 livelli di quantizzazione Vm codificabili in vario modo con 3 bit. Codifica naturale v3 v2 v1 111 110 101 100 010 000 011 001 v5 v6 v7 v8 v4

La BIT RATE di un segnale numerico La cadenza di bit al secondo di un segnale numerico viene chiamata “bit rate”. Per un segnale tempo continuo x(t) con frequenza massima di 3.6KHz (un segnale telefonico p.e.), il teorema del campionamento ne impone una frequenza di campionamento fc maggiore di 7.2KHz. Utilizziamo quindi fc =8KHz:  8000 campioni al secondo. Se quantizziamo il segnale con K=256 livelli servono N=8 bit. Il segnale telefonico numerico avra’, dunque, una bit rate di:

Applicazione: quantizzazione non uniforme Segnale Telefonico Banda 300-3400 Hz Frequenza di campionamento fc=8kHz Utilizziamo N=8 bit per campione Bit Rate: 64Kbit/s (8 Kcamp/s.*8 bit/campione) v(t) Microfono Potenza del segnale fortemente dipendente dal parlatore Nell’ipotesi di segnale con distribuzione d’ampiezza uniforme nell’intervallo [-V,+V], la potenza di segnale e’ P1=V2/3. Se si utilizza una quantizzazione uniforme (D=2V/2N), PQ=D2/12, dunque (P1/ PQ) |dB =SNR|dB =6N=6*8=48 dB Sufficiente per buona qualità segnale (>30dB). Fissato il passo di quantizzazione D, se la potenza del segnale PS diminuisce di un fattore 100 (Ps=P1-20 [dB]), cosa normalissima, SNR|dB 28dB < 30dB.

Quantizzatori non uniformi v u ui si si+1 Sono utilizzati quando 1)la statistica del segnale in ingresso non è uniforme per minimizzare l’ errore quadratico medio 2) la sensibilita’ percettiva dipende dall’ ampiezza del segnale

Quantizzatore non uniforme: implementazione v vc vq N.L. Q. unif. vc 1 200 100 m=5 v si-1 si vi |m| 1

Companding (Compression-Expanding) Con Companding SNR [dB] 48 10dB 44 40 36 32 28 24 20 Senza Companding 16 12 8 4 -48 -44 -40 -36 -32 -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 Ps /P1 [dB]

Come si trasmette un segnale numerico Abbiamo visto che un segnale numerico, a valle della codifica, e’ costituito da una sequenza di bit che si presentano con una certa cadenza (la bit rate). ......1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 ….. A questo punto possiamo dimenticare l’origine della sequenza e che i bit vanno letti a gruppi di N, a partire da una certa posizione, per risalire ai campioni del segnale quantizzato xq(nT) . Si deve trasmettere la sequenza, con la sua cadenza, attraverso un canale di trasmissione (satellite, ponte radio, cavo coassiale, fibra ottica …) che lascia passare solo segnali y(t) che hanno frequenze comprese nella banda B centrata attorno alla frequenza fo. Inoltre dovremo trasmettere dei segnali di sincronismo. f B fo -fo Banda del canale

Sistema di trasmissione n(t) mn=0 sn2= kT B y(t) = -A;+A 0;1 Gen. Segn. Sistema di trasmissione non rumoroso Soglia S 0;1 x(t)=y(t)+n(t) canale Filtro PB campionatore ( ) s m nT g a -A 0 A am 0;1 soglia 0;1 Trasmissione antipodale in banda base

canale Filtro PB campionatore ( ) s m nT g a 0;1 soglia -A 0 A am 0;1 No No : densita’ spettrale di potenza del rumore f -fo fo B B Trasmissione antipodale in banda traslata

Uso delle costellazioni di segnali complessi Abbiamo visto in precedenza che, utilizzando la modulazione in fase e quadratura, possiamo sovrapporre nella stessa banda di frequenze M segnali che, una volta demodulati e campionati producono M numeri complessi che formano la costellazione. E’ evidente che possiamo associare agli M punti della costellazione una qualsiasi configurazione di N=log2M bit che possono essere trasmessi contemporaneamente sullo stesso canale. ......1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 ….. Simboli di 4 bit Im A 3A Ad esempio, se usiamo una costellazione QAM con M=16 punti, possiamo trasmettere “simboli” di N=log216=4 bit contemporaneamente sullo stesso canale. ATTENZIONE: il numero M di punti della costellazione non e’ necessariamente legato al numero K di livelli del segnale quantizzato. Re

Schema del sistema di trasmissione ......1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 ….. Simbolo da 4 bit da trasmettere Im A 3A Re 3A m=116 Ts=NT e’ detto tempo di simbolo Filtro PB canale campionatore

Cadenza dei simboli (1) 1 Ts t -1/2Ts 1/2Ts -Ts f t -2Ts -Ts Ts 2Ts Ts Supponiamo che il segnale g(t) utilizzato nello schema di trasmissione precedente, sia un seno cardinale con ampiezza massima unitaria in t=0 e zeri in t=n Ts. La sua trasformata di Fourier e’ limitata tra le frequenze -1/(2 Ts) e +1/(2 Ts). 1 Ts Trasformata di Fourier t -1/2Ts 1/2Ts -Ts Ts f 1 - Affinche’ in ricezione, agli istanti di campionamento, non si sommino contributi di simboli successivi, e’ necessario che intercorra un tempo pari a Ts secondi tra un simbolo e l‘altro. t -2Ts -Ts Ts 2Ts Agli istanti di campionamento t=n Ts e’ presente il contributo di un solo simbolo. In questo caso si dice che l’interferenza intersimbolica e’ nulla.

Cadenza dei simboli (2) 2- Affiche’ il segnale g(t) passi attraverso la banda B del canale e’ necessario che la banda complessiva del seno cardinale 1/Ts sia minore o uguale a B Dunque, data la banda B del canale, il piu’ breve tempo di simbolo Ts che si puo’ utilizzare e’ uguale a 1/B e quindi la cadenza dei simboli Rs e’ uguale alla banda B: Rs=B La cadenza dei bit R (bit rate) e’ uguale alla banda B per il numero N di bit per simbolo. R=NRs= NB=Blog2M Esempio 1 - Dato un canale trasmissivo con 20MHz di banda e volendo utilizzare una costellazione MSK a M=16 punti, la massima bit rate che possiamo trasmettere e’: R= Esempio 2 - Data una bit rate da trasmettere pari 100Mbit/sec. e volendo utilizzare una costellazione QAM a 64 punti, la minima banda del canale e’:

Effetto del rumore sommato al segnale ricevuto Si consideri la trasmissione di simboli da N=log2M bit utilizzando un segnale g(t) scalato con i coefficienti am e bm come descritto nello schema del sistema di trasmissione. Adottiamo la notazione complessa cm = am +j bm con m=116. Assumiamo che la trasmissione del segnale g(t) sia disturbata solamente dal rumore bianco w(t) introdotto dal canale, e cioe’ che al ricevitore, a valle della demodulazione complessa, arrivi il segnale: Il rumore w(t) introdotto dal canale modifica sia la componente in fase che quella in quadratura del segnale desiderato cm g(t) e quindi e’ complesso. Abbiamo gia’ visto che, campionando il segnale complesso ricevuto si ottengono i punti della costellazione cm in assenza di rumore in quanto si pone g(0)=1. L’aggiunta del rumore cambia il valore complesso ricevuto cm + w(n Ts) . L’effetto di tale cambiamento e’ uno spostamento nel piano complesso del valore ricevuto rispetto a cm .

Effetto del rumore sulla costellazione ricevuta Il rumore w(t) introdotto dal canale ha valor medio nullo e una distribuzione delle ampiezze di tipo gaussiano sia sulla parte reale sia su quella immaginaria. I valori misurati in prove ripetute si distribuiscono circolarmente attorno ai valori nominali cm . I valori nominali cm della costellazione 16-QAM sono indicati con

Il problema della stima dei punti della costellazione (1) Per semplicita’ di scrittura nel seguito indicheremo: il segnale ricevuto agli istanti di campionamento: x(n T)=xn il rumore introdotto dal canale agli istanti di campionamento: w(n T)=wn la forma d’onda reale trasmessa agli istanti di campionamento: g(n T)=gn Attenzione: utilizziamo un intervallo di campionamento T tale per cui il segnale e’ campionato correttamente ed il rumore e’ incorrelato da campione a campione. Gli elementi della costellazione cm vengono indicati genericamente con c sottintendo il pedice m. T Ts

Il problema della stima dei punti della costellazione (2) Il rumore wn introdotto dal canale e’ complesso a valor medio nullo con varianza (reale!) uguale alla densita’ spettrale di potenza No costante dato che’ e’ un processo casuale bianco. f B fo -fo No : densita’ spettrale di potenza del rumore

Il problema della stima dei punti della costellazione (3) La stima lineare di ogni elemento della costellazione c (e quindi del simbolo trasmesso) si ottiene combinando L+1 dati ricevuti intorno a x0 , con coefficienti di ottimizzati per minimizzare l’errore di stima (quadratico medio). Per ora, si trasmetta un simbolo per volta! T Ts

Il problema della stima dei punti della costellazione (4) L’errore di stima degli elementi della costellazione e’: Per trovare i coefficienti di , minimizziamo il valore quadratico medio di e: 2 / x d L i - = å c e con Troviamo L+1 equazioni in L+1 incognite di che, al solito, stabiliscono che l’errore di stima e sia incorrelato con i dati xn . A meno di un fattore di scala verificheremo che la soluzione e’:

Il problema della stima dei punti della costellazione Nell’esempio riportato nelle figure precedenti abbiamo: Se ora trasmettiamo piu’ simboli (punti della costellazione) a passo Ts=2T , utilizziamo gli stessi coefficienti di per combinare linearmente i campioni del segnale ricevuto xn centrati attorno all’istante di tempo mTscorrispondente a cm (attenzione m ora e’ l’ indice temporale!!) Si noti che l’operazione che stiamo eseguendo puo’ essere interpretata come una convoluzione tra il segnale ricevuto xn e il filtro con risposta all’impulso hn = d-n seguito da una selezione dei campioni dell’uscita yn : cm = y2m (nel caso generale in cui il tempo di simbolo Ts=MT avremmo cm = yMm ).

Il filtro adattato Il filtro con risposta all’impulso hn = d-n che ottimizza la ricezione dei simboli trasmessi viene detto FILTRO ADATTATO in quanto adattato al segnale trasmesso gn infatti, a parte un fattore di scala, è hn = g-n .

Esempio per L+1=2 Stimiamo l’elemento della costellazione c0 combinando linearmente i dati ricevuti x0 e x1.

Esempio per L+1=2

Esempio per L+1=2

Il filtro adattato Riscalando (cioè normalizzando al valore di c) il risultato in modo che, in assenza di rumore, si ritrovi il valore trasmesso c, otteniamo: La somma deve essere fatta su tutti i campioni del segnale trasmesso, per massimizzare l’efficienza. Si commette errore se il termine di rumore d rende il valore complesso stimato piu’ prossimo ad un punto della costellazione diverso da quello trasmesso. La probabilita’ di questo evento dipende dal valore quadratico medio di d .

Il filtro adattato Si noti che d ha valor medio nullo. Infatti: Il valore quadratico medio di d dipende dal rapporto tra la densita’ spettrale di potenza del rumore No all’ingresso del ricevitore e l’energia Eg del segnale ricevuto e filtrato in modo ottimale (filtro adattato). Nel calcolo si pone la banda del canale uguale a 1/T e il numero di campioni L sufficientemente elevato da ricoprire l’intera forma d’onda ricevuta g(t).

Il filtro adattato (conclusioni) Il rapporto segnale-rumore che si ottiene con un filtro adattato dipende solamente dal rapporto tra l’energia del segnale Eg e la densita’ spettrale di potenza N0 del rumore all’ingresso del filtro (dimensionalmente un’ energia). Per valutare l’efficacia con cui un filtro adattato combatte l’effetto del rumore additivo introdotto dal canale, tutte le forme d’onda g(t) che hanno la stessa energia sono equivalenti, indipendentemente dalla loro forma (ad es. seno cardinale, rettangolo, triangolo …). Il rapporto Eg/ N0 e’ adimensionale ([J ]=[W]/[Hz]). Per trasmissioni binarie, Eg= Eb (energia spesa per la trasmissione di un bit).

Il filtro adattato (un esempio) Due segnali c1 g(t) e c2 g(t) senza rumore. Gli stessi segnali c1 g(t) e c2 g(t) con l’aggiunta del rumore. I valori all’istante di lettura t=0 sono quasi uguali. L’effetto del filtro adattato. I valori all’istante di lettura t=0 sono ritornati ben distinti.

Il filtro adattato (lo stesso esempio visto sulla costellazione) Re Im Due segnali c1 g(t) e c2 g(t) senza rumore. Gli stessi segnali c1 g(t) e c2 g(t) con l’aggiunta del rumore. I valori all’istante di lettura t=0 sono quasi uguali. L’effetto del filtro adattato. I valori all’istante di lettura t=0 sono ritornati ben distinti.

Prestazioni delle costellazioni QAM d e’ il rumore complesso normalizzato dall’energia Eg della forma d’onda g(t). Dunque, a parita’ di rumore, piu’ l’energia di g(t) e’ piccola piu’ d e’ grande in modulo. La probabilita’ di commettere un’errore di decisione sul valore trasmesso coincide con la probabilita’ che un qualsiasi valore della costellazione si sposti, a causa di d, al di fuori del quadrato di lato dmin (almeno per i punti interni della costellazione), centrato sul valore corretto. Dunque tale probabilita’ dipende sia dalla deviazione standard di d sia dalla distanza minima tra i punti della costellazione dmin Im (A+jB) nQ (yI+jyQ ) Re nI dmin

La probabilita’ di errore di simbolo P(es) Simbolo sbagliato Im PUNTI INTERNI DELLA COSTELAZIONE M-QAM Supponendo che parte reale e immaginaria di d abbiano densita’ di probabilita’ gaussiane indipendenti, la probabilita’ che d esca dal quadratino giallo (cioe’ la probabilita’ di sbagliare simbolo) e’ data da: Re dmin Simbolo giusto dove la funzione Q e’ stata definita in precedenza Im a  B mX C=B Re dmin

La probabilita’ di errore di simbolo P(es) PUNTI DI SPIGOLO DELLA COSTELLAZIONE M-QAM La probabilita’ che d esca dalla zona gialla (cioe’ la probabilita’ di sbagliare un simbolo sullo spigolo) e’ data da: dmin/2 Re PUNTI DI BORDO DELLA COSTELLAZIONE M-QAM Im La probabilita’ che d esca dalla zona gialla (cioe’ la probabilita’ di sbagliare un simbolo sul bordo) e’ data da: Re dmin

Energia di simbolo ed energia di bit L’energia associata ad ogni simbolo Es e’ data dall’energia Eg della forma d’onda g(t) , moltiplicata per il quadrato del modulo del punto della costellazione: Ad sempio, nel caso delle costellazioni 4-QAM l’energia associata ad ogni simbolo vale: Se il simbolo e’ formato da N bit, si puo’ dire che l’energia Eb associata al singolo bit e’ uguale a quella di simbolo Es divisa per N. Im (C2= -A+jA) (C1= A+jA) dmin Ad sempio, nel caso delle costellazioni 4-QAM l’energia associata ad ogni simbolo vale: Re (C3= -A-jA) (C4= A-jA) dmin

Probabilita’ di errore nel caso 4-QAM Nel caso della costellazione 4-QAM La probabilita’ di errore di simbolo assume la semplice espressione: Si noti che se si sbaglia un simbolo con uno vicino si commette errore su uno solo dei 2 bit che compongono il simbolo: la probabilita’ di errore del bit e’ la meta’ di quella del simbolo. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 Eb/N0 [dB] (A+jA) dmin (-A-jA) (A-jA) (-A+jA) Si ricorda l’ equivalenza: Es/ N0= PsTs/N0= Ps/N0B=Ps/sn2 in quanto con il filtro adattato B=1/Ts e N0B=sn2

Confronto tra costellazioni II sistemi di trasmissione numerici presentano diverse caratteristiche per quanto riguarda l’utilizzazione della banda di canale B e la potenza di trasmissione richiesta. Si consideri una sorgente binaria con una cadenza di R [bit/s] e alla sua trasmissione su un canale di banda B. Definiamo come parametro di efficienza nell’utilizzazione della banda il rapporto R/B [bit/s/Hz] detto efficienza di canale. Abbiamo visto in precedenza che: 1- per trasmettere un segnale g(t) del tipo seno cardinale senza interferenza intersimbolica a passo di lettura T, e’ necessario che la banda B del segnale (e dunque quella del canale) sia almeno pari a 1/T. 2 -La cadenza di bit al secondo R e’ uguale a 1/T 3 - Con una costellazione a M punti possiamo trasmettere contemporaneamente N=log2M bit. Dunque, l’ efficienza al massimo è:

Confronto tra costellazioni M-QAM e M-PSK Per un dato valore di probabilita’ di errore di bit, e’ interessante riportare su un grafico, l’efficienza di canale R/B ottenibile per diversi tipi di costellazione e il valore di Eb/No che consente di ottenere la probabilita’ di errore fissata. 8 M-PSK M-QAM 4 16 64 32 10 20 30 2 6 Limite di Shannon R/B Si vedra’ piu’ avanti che i valori riportati su questo grafico sono decisamente peggiori di quelli ottenibili in pratica utilizzando sistemi piu’ complessi per codificare i segnali da trasmettere. In pratica si vedra’ che nei moderni sistemi di trasmissione numerica le prestazioni si avvicinano molto al limite di Shannon.