OPTICS BY THE NUMBERS L’Ottica Attraverso i Numeri Michael Scalora U.S. Army Research, Development, and Engineering Center Redstone Arsenal, Huntsville Alabama, 35898-5000 & Universita' di Roma "La Sapienza" Dipartimento di Energetica Rome, April-May 2004

Athens

* Troy Montclair* 1984: Montclair State College, Montclair NJ 1988: Master of Science, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy NY 1990: PhD in Physics, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy NY 1991: Huntsville Montclair* * Troy

Scopo di questi seminari: Introdurre e poi elaborare il concetto di integrazione numerica di equazioni differenziali per studiare la propagazione e l’interazione della luce (di solito si intende un laser) con la materia. Ecco alcuni esempi (i) L’oscillatore armonico (ottica, meccanica classica e quantistica...) (ii) Diffrazione ed interferenza (iii) Processi nonlineari: generazione di seconda e terza armonica, e in tutto questo il ruolo dell’oscillatore armonico. (iv) Propagazione di impulsi ultracorti (dal pico- al femto-secondo) (v) Guide d’onda (vi) Strutture a banda photonica (i “semiconduttori” per la luce) (vii) Sistemi Laser

Oscillatore Armonico Smorzato: L’atomo di Lorentz Soluzioni esatte ed approssimate (2) Slowly Varying Envelope Approximation (SVEA)

E e- x L’Atomo di Lorentz Oscillatore Armonico Smorzato Nucleo: ~2000 volte la massa elettronica; i.e., massa infinita In seguito al passaggio dell’onda, l’elettrone assorbe energia ed oscilla rispetto ad un punto di equilibrio. L’oscillazione, e quindi l’accelerazione e decelerazione della carica, causa la riemissione dell’energia assorbita durante il passaggio dell’onda. E x e- Il Modello Classico della materia

…da cui… x Restoring Damping Force Damped Harmonic Oscillator L’energia istantanea dell’oscillatore e’ data dalla somma di energia cinetica ed energia potenziale: x …da cui…

Raccogliendo i risultati… Si puo dimostrare che in genere: <Energia Cinetica media>=<Energia Potenziale media> una sorta di Equipartion Theorem Raccogliendo i risultati…

L’energia dell’oscillatore decade ad una rate…

Un atomo isolato nello spazio tende ad emettere spontaneamente in ~ 10-8 secondi. w Ciclo ottico

Nella maggior parte dei casi, l’emissione spontanea avviene in tempi molto piu lunghi del ciclo ottico, … …e di t0…

Si suppone una soluzione del tipo: La soluzione sara’ oscillatoria se:

La Soluzione esatta:

Oscillazione (veloce) La Soluzione … A Inviluppo (lento) Oscillazione (veloce)

x(t)

Una delle piu importanti approssimazioni e’ la Slowly Varying Envelope Approximation, SVEA: Un impulso o segnale puo generalmente essere scomposto in un inviluppo che varia lentamente nel tempo rispetto a t0, e un termine che oscilla sulla scala veloce determinata da t0.

all’equazione iniziale… …supponiamo una soluzione del tipo… Ritorniamo all’equazione iniziale… …e invece di supporre… …supponiamo una soluzione del tipo… …ed imponiamo la SVEA, cioe che p(t) sia una funzione che varia lentamente rispetto a

Matematicamente questo significa… sostituiamo… …e si applica la SVEA… Matematicamente questo significa…

Nel limite…

La SVEA in genere riduce equazioni di secondo grado ad equazioni di primo grado, che richiedono una sola condizione iniziale, e quindi la soluzione e’ immediata.

Sommario (1) L’atomo di Lorentz: Soluzioni esatte ed approssimate (2) Slowly Varying Envelope Approximation (SVEA) (3) Da sottolineare e’ il fatto che mentre esistono metodi e approssimazioni (e.g. SVEA) che permettono di ottenere soluzioni accurate al problema fisico, non sempre purtroppo e’ cosi.