Formule goniometriche
Angoli associati Due angoli orientati si dicono: complementari quando…. supplementari quando… opposti quando … esplementari quando….
Si chiamano “angoli associati” all’angolo alfa gli angoli le cui funzioni goniometriche sono complessivamente uguali, in valore assoluto, a quelle dell’angolo alfa.
B AOM=NOB= N K AON=90°- M O H A
Le coordinate dei punti sono:
I triangoli HOM, NOK sono congruenti, quindi: MH=NK OH=OK Allora:
Costruendo altri triangoli congruenti al triangolo MOH, si ottengono le altre formule degli angoli associati
Formule di addizione e sottrazione POA = B QOA= Q P O A AOB=
I punti hanno le seguenti coordinate: P (cos , sen ) B (cos( ) , sen ( )) Q (cos , sen ) La corda AB sottende l’angolo BOA = La corda PQ sottende l’angolo QOP =
PQ = AB PQ 2 = AB 2
Essendo sostituendo si ottiene: = PQ 2 = AB 2
Semplificando: = Quindi:
Dalla formula di sottrazione del coseno si ottiene la formula di addizione del coseno:
Dalla formula precedente si ottiene la formula di addizione del seno:
Analogamente ottengo la formula di sottrazione del seno:
Formule di addizione e sottrazione si hanno anche per la tangente:
Formule di duplicazione
Formule di bisezione
Formule parametriche
Formule di prostaferesi Sommo membro a membro le due relazioni:
Sostituisco:
Ottengo:
Sottraendo membro a membro le due relazioni iniziali, ottengo: Con le sostituzioni precedenti si ottiene:
Procedendo in modo analogo si ha:
Formule di Werner