Integrali definiti I parte Iniziamo ripercorrendo quanto visto a lezione. Utilizziamo un foglio preimpostato di Geogebra. http://geogebratube.org/student/m191973

Ripercorriamo i vari passaggi cercando di definire le diverse azioni fatte Integrali definiti – I parte Abbiamo considerato una funzione f(x): continua (e tornerà utile a breve) positivia (e dopo vedremo che non è fondamentale) Abbiamo considerato un intervallo limitato e chiuso [a,b] a è detto estremo inferiore b è detto estremo superiore Inutile dire che a<=b 3. Abbiamo considerato la zona delimitata da: asse x, x=a,x=b e y=f(x) che abbiamo chiamato trapezoide. Possiamo descrivere il trapezoide anche come l’insieme dei punti (x,y) tali che x è compreso tra a e b, y è compreso tra 0 e f(x)

Abbiamo poi costruito una partizione dell’intervallo [a,b] Integrali definiti – I parte Ricordiamo che in generale una partizione di un insieme A è una famiglia di sottoinsiemi di A, a due a due disgiunti e la cui unione è tutto A. Nel nostro caso la partizione dell’intervallo I=[a,b] sarà costituita da sottointervalli disgiunti Ciascun sottointervallo sarà delimitato da due ascisse Possiamo allora affermare che una partizione di [a,b] è l’insieme di ascisse

Abbiamo poi costruito una partizione dell’intervallo [a,b] in n sottointervalli Integrali definiti – I parte Inoltre possiamo osservare che ciascun sottointervallo avrà una ampiezza che indicheremo con Se tutte le ampiezze sono uguali diremo la partizione equispaziata e chiameremo passo della partizione tale ampiezza che risulterà Se le ampiezze sono diverse allora sceglieremo l’ampiezza massima (l’idea è che nel tanto ci stà il poco!) e la chiameremo norma Noi per facilitarci scegliamo una partizione equispaziata. Chi avesse voglia potrà verificare che i punti della partizione possono essere facilmente calcolati con la formula:

Costruiamo adesso i rettangoli: in ciascun sottointervallo vogliamo costruire un rettangolo che sia interamente contenuto nel trapezoide. Ce ne sono infiniti; scegliamo quello che ha come altezza il minimo di f(x) nell’intervallo. Integrali definiti – I parte In ogni sottointervallo scegliamo il minimo della funzione f(x) e lo indichiamo con Per il teorema di Weierstrass: f continua in un intervallo limitato e chiuso allora ammette un minimo e un massimo assoluto Osserviamo: limitiamoci per un momento a considerare solo le “basi superiori” di questi rettangoli: Graficamente otteniamo una funzione a “gradoni” o costante a tratti. Proviamo a descriverla con una espressione:

Integrali definiti – I parte Poiché tornerà utile diamo la definizione di funzione a scala (o a gradoni) o costante a tratti: è una funzione che è costante in ciascun sottointervallo di una partizione di [a.b] E la descriviamo con Come abbiamo visto in classe non è una idea tanto strana o strampalata: ad esempio sono funzioni a scala: Piovosità mensile media Produzione industriale

Torniamo ai nostri rettangoli Integrali definiti – I parte Descritta la funzione a scala s(x): costante su ciascun sottointervallo di valore = minimo di f(x) in Definiamo plurirettangolo l’unione di tutti i rettangoli Poiché questo plurirettangolo è costruito in modo da stare dentro il trapezoide lo possiamo chiamare plurirettangolo minorante Calcoliamo l’area del plurirettangolo: calcoliamo l’area del rettangolo di base che risulterà sommiamo tutte le aree Otterremo un valore. Lo possiamo vedere nel nostro foglio di Geogebra

Ripetiamo il procedimento e andiamo a costruire un plurirettangolo che contenga il trapezoide. Integrali definiti – I parte Consideriamo la funzione a scala ottenuta considerando in ciascun sottointervallo il massimo della funzione f(x) Consideriamo il plurirettangolo maggiorante Calcoliamo l’area di tale plurirettangolo Otterremo un valore. Lo possiamo vedere nel nostro foglio di Geogebra

Arriviamo ora al nodo di tutto il discorso. Integrali definiti – I parte Nel foglio di Geogebra possiamo modificare il numero di sottointervalli e ottenere: Diversi plurirettangoli maggioranti e minoranti Diversi valori per le aree di tali plurirettangoli. Aiutandoci con Geogebra e con un poco di intuito possiamo pensare che: Le aree dei plurirettangoli minoranti sono sempre minori di quelle dei maggioranti Aumentando i sottointervalli la differenza tra le aree dei maggioranti e quelle dei minoranti diminuisce Non abbiamo limite al numero di sottointervalli che possiamo considerare (al meno nella nostra mente!) L’idea allora che ci può venire è quella di una pressa, o di un hot dog

Qui troviamo tutto quanto visto in precedenza Mettiamo: in un insieme L tutte le aree dei plurirettangoli minoranti in un insieme U tutte le aree dei plurirettangoli maggioranti Integrali definiti – I parte Aumentando il numero dei sottointervalli gli elementi di L e di U si avvicinano Vediamo prima con Geogebra e poi proviamo a rendere rigoroso il discorso. http://tube.geogebra.org/student/m191983 Qui sono riportate le aree maggioranti e minoranti e la loro differenza Qui troviamo tutto quanto visto in precedenza

Integrali definiti – I parte Proviamo adesso a mettere il tutto in forma rigorosa

Integrali definiti – I parte Proviamo adesso a mettere il tutto in forma rigorosa Ovvero la terza colonna del nostro foglio avrà valori sempre “più piccoli”

Integrali definiti – I parte Concludiamo questa prima parte con due osservazioni Il nostro discorso non si modifica se la funzione non è tutta positiva. Cambierà solo il fatto che l’area dei rettangoli “sotto l’asse x” avrà un segno negativo (o per esser più precisi, poiché l’area è sempre >0, andrà sottratta ) E se “l’area” del trapezoide risultasse negativa? Il nostro ragionamento continua ad esser corretto, ma non potremo più riferirci al concetto di area o dovremo interpretare il segno “-”