LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

Funzione definita a tratti Dati due insiemi A e B, sottoinsiemi dell’insieme dei numeri reali, si definisce una FUNZIONE fra i due insiemi una relazione che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento dove: x è detta VARIABILE INDIPENDENTE y è detta VARIABILE DIPENDENTE f è la legge matematica Esempio di funzione Funzione definita a tratti x y=f(x) 3 2 4 -3

CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI Le funzioni possono essere classificate in ALGEBRICHE e TRASCENDENTI Se l’espressione analitica che descrive una funzione contiene solo addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, elevamento a potenza, estrazione di radice la funzione si dice ALGEBRICA Tra le funzioni algebriche troviamo: razionali intere razionali fratte irrazionali Le funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche sono chiamate funzioni TRASCENDENTI

DOMINIO DI UNA FUNZIONE Data una funzione di equazione y=f(x) si definisce il DOMINIO (campo di esistenza o insieme di definizione) della funzione l’insieme dei valori reali di x per i quali l’espressione f(x) ha significato. Si indica con D o C.E. FUNZIONE DOMINIO Razionale intera Razionale fratta Irrazionale Trigonometrica Logaritmica Esponenziale Potenze con esponente irrazionale

SEGNO DI UNA FUNZIONE Studiare il SEGNO di una funzione vuol dire determinare gli intervalli nei quali la funzione è positiva o negativa Esempio: + -

I GRAFICI DELLE FUNZIONI Traslo il grafico della funzione y=f(x) in alto di un certo vettore b ottenendo y = f (x)+ b Per disegnare y=f(x)- b traslo il grafico verso il basso di un certo vettore b Traslo il grafico della funzione y=f(x) a destra di un certo vettore a ottenendo y=f(x-a) Per disegnare y=f(x+a) traslo il grafico a sinistra di un certo vettore a I GRAFICI DELLE FUNZIONI

LE SIMMETRIE Grafico di y = - f (x) Simmetria rispetto all’asse x Simmetria rispetto all’asse y FUNZIONE PARI y=f(x) y=f(-x) Grafico di y = - f (-x) Simmetria rispetto ad O FUNZIONE DISPARI y=f(x) y=-f(-x) y=f(x) y = - f (x) Grafico di y = - f (x) Simmetria rispetto all’asse x

Grafico di y = |f (x)| Simmetria rispetto all’asse delle x della parte negativa del grafico Grafico di y = f ( |x| ) Per x>0 il grafico rimane uguale, per x<0 il grafico è il simmetrico rispetto all’asse y

LE FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE Una funzione si dice INIETTIVA se due qualunque elementi distinti di A hanno immagini distinte in B Una funzione si dice SURIETTIVA se tutti gli elementi di B sono immagini di almeno un elemento di A Una funzione si dice BIIETTIVA (o biunivoca) se è iniettiva e suriettiva

è suriettiva se si considera come insieme B quello degli y tali che y < 4, ma non è iniettiva perché scelto nel codominio un y diverso da 4, esso è immagine di due valori distinti di x. y = 2x-1 è sia iniettiva che suriettiva: a ogni valore scelto sull’asse y corrisponde un valore (suriettiva) e un solo (iniettiva) valore sull’asse x. La funzione è quindi biiettiva.

FUNZIONI CRESCENTI e DECRESCENTI Data una funzione y=f(x) di dominio D Si dice che f è CRESCENTE in senso stretto in un intervallo Si dice che f è DECRESCENTE in senso stretto in un intervallo Una funzione sempre crescente o decrescente si dice MONOTONA Decrescente in senso lato Crescente in senso lato

FUNZIONI PERIODICHE La funzione f è periodica con periodo T se Esempi:

LA FUNZIONE INVERSA Data una funzione biunivoca, allora si può definire una nuova funzione detta funzione INVERSA di f che associa a ogni y di B il valore x di A tale che y = f (x) Se una funzione ammette l’inversa allora è invertibile. Graficamente la funzione inversa è simmetrica a f rispetto alla bisettrice del 1°/3° quadrante Esempio: definita per x>0 è BIETTIVA La sua funzione inversa è: Per rappresentare la funzione inversa insieme alla funzione f, scambiamo le variabili, ottenendo così:

LA FUNZIONE COMPOSTA Date due funzioni e Si indica con o La funzione composta da A a C che si ottiene associando a ogni x di A l’immagine mediante f dell’immagine di x mediante g Esempio: