Le coniche

Classificazione Storia Costruzione Le coniche Classificazione Storia Costruzione

Classificazione Ellisse Circonferenza Parabola Iperbole Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso. Indichiamo con  l’angolo formato dal piano con l’asse del cono, e con  l’angolo formato dall’asse con la retta generatrice del cono. Se:  >   = 90°  =   <  L’equazione generale di una conica è: ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0 a , b , c , d , e , f  R Ellisse Circonferenza Parabola Iperbole Coniche

Parabola Definizione Equazione Formule Casi particolari Concavità Coniche Classificazione

Parabola Definizione Si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da F e da d.  y F  x d Coniche Classificazione

Parabola Equazione y=ax2+bx+c x=ay2+by+c  y   y x  x Coniche Classificazione

Parabola Formule vertice V fuoco F direttrice d equazione asse y=ax2+bx+c x=ay2+by+c vertice V (-b/2a ; -/4a) (-/4a ; -b/2a) fuoco F (-b/2a ; (1-)/4a) ((1-)/4a ; -b/2a) direttrice d y=-((1+)/4a) x=-((1+)/4a) equazione asse x=-b/(2a) y=-b/(2a) Coniche Classificazione

Parabola Casi particolari y= ax2+bx+c b=0 y=ax2+c c=0 y=ax2+bx c=0 e b=0 y=ax2  x y    y x   x y Coniche Classificazione

Parabola Concavità a>0 a<0  y  y   x x   y y   x x Coniche Classificazione

Circonferenza Definizione Equazione Casi particolari Formule Coniche Classificazione

Circonferenza Definizione Luogo geometrico dei punti P del piano aventi dal punto fisso C , centro, distanza uguale al raggio, r. Coniche Classificazione

Circonferenza Equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0 a , b , c  R Coniche Classificazione

Circonferenza Casi particolari x2 + y2 = r2 x2 + y2 + ax + by = 0 Coniche Classificazione

Circonferenza Formule x2 + y2 + ax + by + c = 0 a, b, c  R centro: C (a/2  b/2) raggio: r= (a/2)2 - (b/2)2 - c eccentricità: e = 1 Coniche Classificazione

Ellisse Definizione Equazione Grafici Formule Ellisse traslata Coniche Classificazione

Ellisse Definizione Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi. PF1+ PF2= k k  R+ y x Coniche Classificazione

Ellisse Equazione canonica x2 y2 + = 1 a2 b2 Caso in cui l’asse focale è l’asse x: y a: semiasse maggiore b: semiasse minore c: F1F2 / 2 x Coniche Classificazione

Ellisse traslata Equazione dell’ellisse con assi || agli assi cartesiani e traslata di vettore V(; ). (x - )2 (y - )2 a2 b2 vettore V (; )  centro C (; ) vertici: A’(a ; ) B’( ; b) fuochi: a>b F1(+c ; ) ; F2(-c ; ) ; c2=a2+b2 a<b F1( ; +c) ; F2( ; -c) ; c2=b2-a2 y + =1 x Coniche Classificazione

Ellisse Grafici C(0;0) a>b C(0;0) b>a y y x x Coniche Classificazione

Ellisse Formule a2 = b2 + c2 Fuochi: a>b  F1(-a2-b2 ; 0) F2(a2-b2 ; 0) eccentricità: c/a a<b  F1(0 ; -b2-a2) F2(0 ; b2-a2) eccentricità: c/b Intersezioni:  asse x  A (±a;0)  asse y  B(0;±b) L’eccentricità di un ellisse è il rapporto costante tra la semidistanza focale e il semiasse maggiore. e =1  segmento e =0  circonferenza 0<e<1  ellisse Coniche Classificazione

Iperbole Definizione Equazione Formule I. Equilatera I. Traslata Coniche Classificazione

Iperbole Definizione PF1- PF2 = k k  R+ Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi. PF1- PF2 = k k  R+ Coniche Classificazione

Iperbole Equazione x2 y2 - = +1 a2 b2 x2 y2 - = -1 a2 b2 I caso c = semidistanza F1 -F2 asse focale: 2c x2 y2 - = +1 a2 b2 II caso x2 y2 - = -1 a2 b2 Coniche Classificazione

Iperbole Formule I caso: a > b Vertici: ( a ;0) fuochi: (a2+b2 ; 0) II caso: a < b Vertici: (0 ; b) fuochi: (0 ; a2+b2) asintoti: y= (b/a) x eccentricità e = c/a e =1  segmento e =0  circonferenza 0<e<1  ellisse e>1  iperbole Coniche Classificazione

Iperbole equilatera: a=b x2 - y2 = -a2 o x2 - y2 =a2   asintoti: y =  x c = a2 e = 2 Coniche Classificazione

Iperbole traslata Traslazione di vettore: v (  ; ) I caso: vertici: (  a ;  ) fuochi: (  c ; ) e = c/a II caso: vertici: ( ;   b ) fuochi: ( ;   c) e = c/b asintoti: y -  =  (b/a) (x- ) Coniche Classificazione

Le coniche nella storia

Matematici greci Le curve non venivano definite come luoghi del piano che soddisfano una certa condizione, ma con il seguente ordine: Coniche Storia

Apollonio (Biografia) Apollonio Pergeo (Perga, Panfilia 262 a.C. ca. - ? 180 a.C.), matematico greco. Studiò le matematiche ad Alessandria d'Egitto; scrisse di calcolo aritmetico ed elaborò i fondamenti della disciplina antenata dell'attuale geometria proiettiva con le Coniche, opera che constava originariamente di otto libri, di cui solo i primi quattro sono giunti fino a noi scritti in greco, mentre i tre libri rimasti dei quattro seguenti sono noti solo attraverso traduzioni arabe. Apollonio fornì inoltre un grande contributo all'astronomia greca, applicando modelli geometrici al movimento dei pianeti. Coniche Storia

Pensiero di Apollonio Elaborò gran parte di quella che noi oggi definiamo “geometria analitica”. Considera 2 luoghi: 1)il luogo dei punti tali che la differenza dei quadrati delle loro distanze da 2 punti fissi sia costante è una retta perpendicolare al segmento che congiunge i punti. 2)il luogo dei punti tali che il rapporto delle loro distanze da 2 punti fissi sia costante (e diversa da 1) è un cerchio. Definisce il cono come: “Se una retta prolungatesi all’infinito e passante sempre per un punto fisso, viene fatta ruotare lungo la circonferenza di cerchio che non si trovo nello stesso piano del punto in modo che passi successivamente attraverso ogni punto di quella circonferenza, la retta che ruota traccerà la superficie di un cono doppio”. Coniche Storia

Pensiero di Apollonio Affermò che da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche, semplicemente variando l’inclinazione del piano d’intersezione. Dimostrò che le proprietà delle curve non cambiano, se intersecate in coni obliqui o in coni retti. Coniche Storia

“Le coniche” Trattati di Apollonio (1°libro) Tratta le proprietà fondamentali delle curve in maniera più completa e generale di quanto fosse stato fatto negli scritti degli altri autori. (2°libro) Continua lo studio dei diametri coniugati e delle tangenti. (3°libro) Contiene molti teoremi notevoli, utili per la sintesi dei luoghi solidi e per la determinazione dei limiti. (4°libro) Apollonio illustra in quanti modi le sezioni coniche possono incontrarsi l’una con l’altra. Coniche Storia

“Le coniche” Trattato di Apollonio (5°libro) Tratta i segmenti massimi e minimi che si possono tracciare rispetto a una conica. (6°libro) Abbraccia proposizioni concernenti segmenti di coniche uguali e disuguali, oltre ad altre questioni trascurate da altri autori. (7°libro) Ritorna sull’argomento dei diametri coniugati e contiene molte nuove proposizioni concernenti diametri di sezione e le figure descritte su di esse. (8°libro)Tratta problemi simili. Coniche Storia

Costruzione delle coniche Proviamo a costruire le coniche usando un pallone da basket, una torcia e un piano bianco sul quale proiettare l’ombra del pallone. Posizioniamo la torcia secondo diverse angolazioni e osserviamo cosa succede... Coniche

...Parabola Torcia a livello della sommità della palla... Coniche Costruzione

Proiettando un fascio di luce perpendicolare alla palla... ...Circonferenza Coniche Costruzione

Spostando la torcia verso destra... ...Ellisse Coniche Costruzione

Spostando la torcia al di sotto della sommità della palla... ...Iperbole Coniche Costruzione

Percorso logico Coniche

The end Coniche