DISEQUAZIONI Segno di un trinomio e disequazioni di 2° grado Disequazioni di grado superiore al 2° ad esse riconducibili Disequazioni con valori assoluti Disequazioni irrazionali Classe III a.s. 2012/2013 Prof.ssa Rita Schettino

PREMESSA Disequazioni Le slides seguenti danno appunti operativi per risolvere i vari tipi di disequazioni esplicitate nella copertina Non ripetiamo i concetti di base e l’operatività delle disequazioni lineari o delle disequazioni fratte o dei sistemi di disequazioni che sono reperibili in altre presentazioni sulla medesima pagina prof.ssa R. Schettino

Segno di un trinomio di 2° grado Disequazioni Segno di un trinomio di 2° grado Studiare il segno di un trinomio significa determinare quali valori di , sostituiti alla variabile, danno un risultato nullo o positivo o negativo Si può anche dire che si vogliono determinare i valori o gli intervalli di  per cui il trinomio risulti nullo o positivo o negativo Si comprende quindi che questa problematica rientra nel determinare valori di una incognita per cui si verifichi la uguaglianza a zero di un trinomio o la sua positività o la sua negatività Si comprende altresì che si tratta di risolvere equazioni o disequazioni (nel caso della positività o della negatività) prof.ssa R. Schettino

Segno di un trinomio di 2° grado Disequazioni Dato quindi un trinomio di 2° grado (scritto ovviamente in forma normale) si tratta di determinare i valori reali di x per cui: Il trinomio sia uguale a zero (equazione di 2° grado) Il trinomio sia positivo (disequazione di 2° grado) Il trinomio sia negativo N. B. Quelle indicate sono disequazioni strette ma può richiedersi anche  o  il cui significato è noto. prof.ssa R. Schettino

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO Forma normale : con a > 0 Si risolvono seguendo due passi: Risoluzione dell’equazione associata Determinazione degli intervalli delle soluzioni prof.ssa R. Schettino

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO La dimostrazione di quanto segue fa parte del corso in aula, qui ricordiamo le regole: L’equazione associata può ammettere Due soluzioni reali e distinte x1  x2 Due soluzioni reali e coincidenti x1 = x2 Soluzioni non reali (o complesse) x1, x2  C prof.ssa R. Schettino

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO >0 x1  x2 x1 = x2 x1 e x2 complesse <0 x1  x2 N. B. per vedere gli esempi svolti vedi la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI DI 2° GRADO Soluzioni: valori esterni all’intervallo delle radici x1 e x2 Soluzioni: tutti i numeri reali tranne x1 Soluzioni: tutti i numeri reali Soluzioni: valori interni all’intervallo delle radici x1 e x2 Nessuna soluzione prof.ssa R. Schettino

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO Le regole precedenti valgono nel caso a>0 Se a<0 si può cambiare il segno di tutti i coefficienti e il verso della disequazione e riportarsi al caso precedente Oppure si determinano comunque le radici dell’equazioni associata e le regole per gli intervalli delle soluzioni della disequazione sono all’incontrario delle precedenti prof.ssa R. Schettino

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO >0 x1  x2 x1 = x2 x1 e x2 complesse <0 x1  x2 Soluzioni: valori interni all’intervallo delle radici: x1<x<x2 Nessun valore reale Soluzioni: valori esterni all’intervallo delle radici: x<x1, x>x2 Soluzioni: tutti i valori reali tranne x1=x2 Tutti i numeri reali prof.ssa R. Schettino

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO Notiamo che (da memorizzare benissimo!): Per DETERMINARE L’INTERVALLO DELLE SOLUZIONI DI UNA DISEQUAZIONE Bisogna guardare sia il segno del primo coefficiente (a) sia il segno del trinomio Bisogna guardare la natura delle radici della equazione associata: a seconda se sono distinte, coincidenti o complesse si ha un diverso intervallo di soluzioni prof.ssa R. Schettino

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO Le regole precedenti si possono riassumere così: Dopo aver determinato le radici dell’equazione associata si ha: Se le radici sono distinte Se le radici sono coincidenti Se le radici sono complesse N. B. per vedere gli esempi svolti vedi la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI DI 2° GRADO Concordanza tra a e il segno della disequazione: valori esterni Discordanza tra a e il segno : valori interni Concordanza tra a e il segno: sempre verificato tranne x1 Discordanza tra a e il segno: mai verificato Concordanza tra a e il segno: sempre verificato Discordanza tra a e il segno: mai verificato prof.ssa R. Schettino

DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Le disequazioni algebriche di grado superiore al secondo si risolvono riconducendole a disequazioni di 2° grado Quindi vanno applicate sia le regole delle equazioni di grado superiore al 2°, che ad esse si riconducono, sia quelle ora esposte delle disequazioni di 2° grado. Es. Si può scomporre in fattori ed applicare il falso sistema È trinomia quindi si svolge come le disequazioni di 2° grado e poi, in seconda battuta, come quelle di 1°grado È biquadratica quindi si svolge con le regole delle disequazioni di 2° grado, per due volte prof.ssa R. Schettino

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Ricordiamo la definizione di VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO REALE (v. a.) a se a  0 vale a dire: è il numero a = stesso se questo è  0, è il - a se a < 0 suo opposto se è < 0. Da ciò discende che per risolvere equazioni o disequazioni con il valore assoluto bisogna contemplare il segno del suo argomento (a) e quindi eliminare il v. a. a seconda se a è  0 o < 0. Ricordiamo inoltre che e che prof.ssa R. Schettino

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Poiché in un’equazione o disequazione non si conosce il valore dell’incognita, come si fa a sciogliere (eliminare) il v. a. non sapendo il segno dell’argomento contenente l’incognita? Ebbene si considerano i vari casi utilizzando la rappresentazione grafica degli intervalli di positività o negatività (molto utile se non addirittura necessaria nel caso vi siano più valori assoluti all’interno dell’esercizio) Es. prof.ssa R. Schettino

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI I termini all’interno dei v. a. sono gli argomenti dei v. a. che, come si vede nel 3°e 4° es. , sono più di uno per cui bisogna considerare vari casi. Nel 1° esempio vanno risolte due disequazioni: l’una se 5x+60, l’altra se 5x+6<0. Ciò perché nel 1° caso il v. a. va sciolto con il suo segno così com’è, nel secondo caso il v. a. va sciolto cambiato di segno perché l’argomento è negativo. prof.ssa R. Schettino

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Nel 2° es. per contemplare i quattro casi che si possono presentare per i due v. a. (a voi la risposta del perché i casi possibili sono quattro), utilizziamo la rappresentazione grafica sulla retta dei numeri reali nel seguente modo. Poniamo i due argomenti entrambi positivi e usiamo la linea continua per indicare la positività dell’argomento, la linea tratteggiata per indicare la negatività, per cui sulla retta si ha: - 3 0  prof.ssa R. Schettino

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Quindi si risolvono in questo esempio tre casi: Nell’intervallo x < -3 in cui entrambi gli argomenti sono negativi e i v. a. vanno sciolti cambiando ad entrambi i segni Nell’intervallo -3  x < 0 in cui il 1° va sciolto cambiato di segno e il 2° va sciolto con il suo segno Nell’intervallo x 0 in cui entrambi gli argomenti sono positivi e quindi i due v.a. vanno sciolti con il loro segno prof.ssa R. Schettino

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Nel 3° es. va applicata la stessa procedura del 1° es. N. B. gli esempi presentano disequazioni; è implicito che per le equazioni valgono le stesse identiche procedure Per vedere questi ed altri esempi risolti clicca la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI prof.ssa R. Schettino

RIASSUMIAMO Disequazioni 1. Si pongono tutti gli argomenti dei v. a.  0 2. Si rappresentano gli intervalli ottenuti sulla retta reale, indicando con linea continua le soluzioni e con linea discontinua le parti rimanenti 3. Si procede con il primo caso relativo al primo intervallo sulla retta, sciogliendo i v. a. a seconda del loro segno (con il medesimo segno se la linea è continua, con il segno cambiato se la linea è discontinua) 4. Si arriva quindi ad una equazione o disequazione senza v. a. che si risolve secondo le regole consuete ottenendo le soluzioni prof.ssa R. Schettino

Disequazioni 5. Queste soluzioni ottenute al punto 4 vanno intersecate con l’intervallo che si sta considerando nel presente 1° caso e così termina la risoluzione del 1° caso 6. Si passa poi al 2° caso considerando il 2° intervallo della retta fatta al punto 2 e si sciolgono i v. a. tenendo presenti le linee continue (stesso segno) e quelle discontinue (segno opposto), ottenendo una seconda equazione o disequazione 7. Le soluzioni del punto 6 si intersecano con l’intervallo che si sta considerando e così via fino all’esaurimento degli intervalli della retta del punto 2 8. Le soluzioni dell’equazione o disequazione data sono l’UNIONE delle soluzioni ottenute nei punti precedenti prof.ssa R. Schettino

ULTERIORI CONSIDERAZIONI Disequazioni ULTERIORI CONSIDERAZIONI Quando si devono risolvere disequazioni del tipo si può procedere più rapidamente risolvendo il sistema di disequazioni (perché é un sistema?) Quando si devono risolvere disequazioni del tipo si può procedere risolvendo e unire le soluzioni delle due disequazioni Le regole precedenti sono generali, queste ultime valgono solo in questi casi prof.ssa R. Schettino

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI Una disequazione si dice IRRAZIONALE se l’incognita compare nel radicando di un radicale È quindi del tipo Può anche contenere più di un radicale, può anche avere un numero reale al 2° membro Ricordiamo innanzitutto i Domini dei radicali: prof.ssa R. Schettino

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI Vediamo come si risolvono le disequazioni con radicali con indice dispari (le più semplici) Dopo aver isolato il/i radicali al 1° membro, si elevano ad n (indice) entrambi i membri della disequazione finché i radicali non vengono eliminati e si risolve l’ultima disequazione le cui soluzioni sono quelle della disequazione data Ciò perché si conserva, cioè, il verso della disuguaglianza, se n è dispari, con l’elevamento a potenza Ricordiamo che Vale a dire che, con l’elevamento a potenza pari, si conserva il verso della disequazione solo se le basi sono positive prof.ssa R. Schettino

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI Molto diversa è la procedura per le disequazioni se l’indice è pari Cominciamo col tipo È equivalente al sistema Esaminiamo il sistema: per l’esistenza del radicale (Dominio) perché, dovendo essere maggiore del radicale(positivo), deve essere anch’esso positivo elevando al quadrato entrambi i membri della disequazione (che sono positivi per le condizioni precedenti) Per gli esempi svolti vedere la ppt ESEMPI Disequazioni irrazionali prof.ssa R. Schettino

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI Esaminiamo il tipo È equivalente all’unione dei due sistemi Esaminiamo il 1° : per l’esistenza del radicale (Dominio) perché, dovendo essere, dal tipo di disequazione, minore di un radicale positivo, B(x) può essere <0 Le soluzioni di questo sistema soddisfano sicuramente la disequazione data perché A(x) ha significato ed è positivo, B(x)è negativo, quindi il 1° membro è maggiore del 2° come è nella disequazione data prof.ssa R. Schettino

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI Esaminiamo il 2°: perché B(x) può essere anche positivo o nullo, pur dovendo essere minore del radicale perché, essendo per le condizioni poste, entrambi i membri positivi, si possono elevare al quadrato i due membri della disequazione data e non cambia ilverso della disequazione Nel 2° sistema non compare la condizione del dominio perché viene ad essere implicita nella seconda condizione, dove è > di una quantità positiva e quindi anch’essa positiva Vedere gli esercizi svolti la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI IRRAZIONALI prof.ssa R. Schettino

Disequazioni ESEMPI È di indice dispari (si elevano i due membri alla terza potenza) È di indice dispari e contiene una disequazione fratta È dello steso tipo del primo esempio È dello stesso tipo del secondo esempio È di indice pari: si isola il radicale al 1° membro ed è del tipo È di indice pari ed è del tipo Sono di indice pari e contengono due radicali: si imposta il sistema formato dalle condizioni dei domini e dall’elevamento alla seconda dei due membri prof.ssa R. Schettino

Disequazioni Conclusioni Per risolvere equazioni e disequazioni algebriche di qualunque tipo, è bene inquadrarle prima nella tipologia giusta La risoluzione deve essere logica, secondo le regole di ciascuna tipologia Le equazioni e disequazioni possono essere miste, cioè presentare più tipologie insieme e quindi vanno risolte con estrema attenzione procedendo per gradi Studiare gli esempi svolti e ….. Buon lavoro prof.ssa R. Schettino