Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Richiami di geometria delle Aree Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A L’analisi dello stato tensionale passa necessariamente attraverso la valutazione delle caratteristiche geometriche della sezione analizzata. Per tale motivo, nel seguito sono brevemente richiamati alcuni concetti legati alla geometria delle aree, utili per il calcolo delle tensioni e per il progetto di travi in c.a.p. PREMESSA

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Momento statico e sue proprietà Definizione Data la superficie A e detta dA l’area di un elementino appartenente all’area stessa, le cui coordinate rispetto ad un sistema di riferimento (0 x y) siano x e y, si definiscono momenti statici dell’area rispetto ai due assi x e y i seguenti integrali:

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Momento statico e sue proprietà Baricentro Si consideri ora un nuovo sistema di riferimento (0’ x’ y’) la cui origine 0’ ha coordinate x g e y g. e gli assi sono paralleli al sistema di riferimento originario. Il momento statico rispetto a questi due nuovi assi può essere così calcolato:

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Momento statico e sue proprietà Baricentro Gli assi rispetto ai quali il momento statico risulta nullo sono detti assi baricentrici e la loro origine è detto baricentro dell’area A, le cui coordinate si possono ricavare dagli integrali precedenti annullandone il valore: Coordinate del Baricentro dell’area

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Il momento d’inerzia rispetto agli assi x e y della superficie A è così definito: mentre il momento polare è definito come l’integrale dell’area per la distanza rispetto al polo considerato. Nel caso che il polo coincida con l’origine degli assi, il momento polare si può esprimere come segue: Momento d’Inerzia e sue proprietà Definizione

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Si consideri ora un nuovo sistema di assi (0’ x’ y’) e si calcoli il momento d’inerzia rispetto ai nuovi assi x’ e y’ Ricordando la definizione di coordinate del baricentro x g e y g gli integrali precedenti, dopo brevi passaggi, possono riscriversi nella maniera seguente: Momento d’Inerzia e sue proprietà Teorema di Huygens

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Qualora l’origine del sistema di riferimento originario coincida con il baricentro della sezione, poiché S x =S y =0, le equazioni precedenti assumono la forma seguente, che rappresenta il risultato del ben noto teorema di Huygens: Momento d’Inerzia e sue proprietà Teorema di Huygens

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Si consideri ora il sistema (0 x y) passante per il baricentro dell’area e si calcolino i momenti d’inerzia assiali, rispetto ad un nuovo sistema (0 r s) con origine nel baricentro ma ruotato rispetto al primo dell’angolo α. r s Momento d’Inerzia e sue proprietà Assi principali d’inerzia

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A E’ di particolare interesse ricercare i così detti assi principali d’inerzia rispetto ai quali si ha che il momento d’inerzia misto è nullo. Momento d’Inerzia e sue proprietà Assi principali d’inerzia r s

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Si definisce ellisse centrale d’inerzia di un’area, l’ellisse con centro nel baricentro dell’area stessa e i cui assi minore e maggiore sono rispettivamente i raggi giratori d’inerzia massimo e minimo della sezione. Essa fornisce un’indicazione rapida sul comportamento flessionale della sezione. Momento d’Inerzia e sue proprietà Ellisse centrale d’inerzia

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Nel problema della pressoflessione esiste una relazione di natura geometrica tra asse neutro e centro di pressione: L’asse neutro è l’antipolare del centro di pressione rispetto all’ellisse centrale d’inerzia. Infatti se scriviamo la formula di Navier annullando la tensione si ottiene l’equazione dell’asse neutro: Momento d’Inerzia e sue proprietà Ellisse centrale d’inerzia y0y0 y0y0 x0x0 Asse Neutro (a)

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Nel problema della pressoflessione esiste una relazione di natura geometrica tra asse neutro e centro di pressione: L’asse neutro è l’antipolare del centro di pressione rispetto all’ellisse centrale d’inerzia. Infatti se scriviamo la formula di Navier annullando la tensione si ottiene l’equazione dell’asse neutro: Momento d’Inerzia e sue proprietà Ellisse centrale d’inerzia y0y0 y0y0 x0x0 Asse Neutro (a)

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Momento d’Inerzia e sue proprietà Nocciolo centrale d’inerzia Il nocciolo centrale d’inerzia è il luogo dei centri di pressione tali per cui l’asse neutro non taglia mai la sezione e quindi la sezione risulta interamente compressa. Detta A n l’area del nocciolo centrale d’inerzia, la condizione per cui la sezione rimanga interamente compressa si esprime come segue: Nel caso di pressoflessione retta si è in genere interessati ai punti di frontiera del nocciolo per il quale l’asse neutro è ortogonale all’asse di sollecitazione ed è tangente alla sezione rispettivamente al lembo inferiore e superiore. Tali punti sono detti punti di nocciolo inferiore e superiore c i e c s. cici cscs y Cs y Ci

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Momento d’Inerzia e sue proprietà Nocciolo centrale d’inerzia Nel caso ad esempio della figura, per individuare la loro posizione basta far riferimento all’equazione della retta antipolare con la condizione che essa passi per i punti x=0 e y=y i per individuare c s e y=y s per individuare c i :

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Momento d’Inerzia e sue proprietà Nocciolo centrale d’inerzia: esempio ESEMPIO: Determinare le caratteristiche geometriche (baricentro, momenti d’inerzia, punti di nocciolo) della sezione indicata in figura : Area Baricentro Momenti d’inerzia Punti di nocciolo

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Momento d’Inerzia e sue proprietà Nocciolo centrale d’inerzia: esempio

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Momento d’Inerzia e sue proprietà Nocciolo centrale d’inerzia: esempio

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Momento d’Inerzia e sue proprietà Nocciolo centrale d’inerzia: esempio

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Momento d’Inerzia e sue proprietà Nocciolo centrale d’inerzia: esempio

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Momento d’Inerzia e sue proprietà Nocciolo centrale d’inerzia: esempio

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Momento d’Inerzia e sue proprietà Nocciolo centrale d’inerzia: esempio Riepilogo caratteristiche geometriche delle sezione senza armatura (Gross Section)

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Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Momento d’Inerzia e sue proprietà Nocciolo centrale d’inerzia: esempio

Università degli Studi Roma Tre – Facoltà di Ingegneria – Corso di Cemento Armato precompresso A/A Momento d’Inerzia e sue proprietà Nocciolo centrale d’inerzia: esempio

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