RIFLESSIONI TEORICHE E DIDATTICHE SUI NUMERI NATURALI, DECIMALI E SULLE RELATIVE OPERAZIONI Durante gli incontri verranno sinteticamente illustrati gli aspetti teorici più importanti legati agli argomenti trattati. Verranno affrontati, inoltre, testi di problemi in quanto si ritiene che siano significativi soprattutto sul piano didattico. Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio 1 2° incontro

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio2 Alcune precisazione didattiche In quali numeri gli zeri sono necessari? 3,20 3,02 3,200 3,202 NO perchè non cambia il valore del numero Sì perchè cambia il valore del numero NO perchè non cambia il valore del numero

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio3 Alcune precisazione didattiche Quando gli zeri sono necessari? 3,2 – 1,548 = È necessario scrivere: 3,200 – 1,548 = Gli zeri aggiunti non cambiano il valore del numero, ma rendono possibile la sottrazione ?

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio4 Alcune precisazione didattiche Quando gli zeri sono necessari? 11 : 8 =? Calcola il quoziente della seguente divisione approssimato ai decimi Quando si calcola il quoziente di una divisione approssimato ai decimi, ai centesimi …, è opportuno aggiungere lo zero o gli zeri già all’inizio. 11,0 : 8 =

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio5 Alcune precisazione didattiche Quando gli zeri sono necessari? 654 : 6 =109 Calcola il quoziente delle seguenti divisioni Quando il divisore non “ci sta” nel dividendo significa che “ci sta” zero volte (è contenuto 0 volte) e lo 0 va scritto al quoziente. 4,2 : 7 =0,6

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio6 Alcune precisazione didattiche Lo zero a sinistra dei numeri interi. Nelle date: 03/06/00 – 18/06/08 In questo contesto lo zero indica la mancanza di unità o di decine. A sinistra dei numeri naturali lo zero non serve altrimenti non avremmo più i numeri con una, due, tre cifre, ma sempre con infinite cifre. …00032

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio7 Alcune precisazione didattiche L’uso dello zero nell’ordinamento dei numeri decimali con la parte intera uguale L’ordinamento dei numeri decimali con la parte intera uguale viene facilitato dal pareggiare il numero di cifre decimali: es. 3,6 ; 3, 17; 3,129, ecc si ordinano più facilmente se si scrive 3,600 ; 3, 170; 3,129 così il confronto avviene... fra interi: 600 ; 170 ; 129. In fondo è come ridurre tutto in millesimi: 3 600; 3 170;

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio8 Lo zero … nel paesaggio

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio9 Lo zero … nella poesia L'AVVENTURA DELLO ZERO di Gianni Rodari C'era una volta un povero Zero tondo come un o, tanto buono ma però contava proprio zero e nessuno lo voleva in compagnia. Una volta per caso trovò il numero Uno di cattivo umore perché non riusciva a contare fino a tre. Vedendolo così nero il piccolo Zero, si fece coraggio, sulla sua macchina gli offerse un passaggio;

Lo zero per i matematici ( da polymath) Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio10 A proposito del fatto che i matematici preferiscano contare cominciando da “zero” anziché da “uno”, John Conway racconta un aneddoto che riguarda Waclaw Sierpinski, il grande matematico polacco: “Un giorno era in partenza per un viaggio quando incominciò ad agitarsi temendo di aver perso una valigia. “No, caro!” disse sua moglie, “sono qui tutte e sei”. “Non può essere”, ribatté Sierpinski, “le ho contate varie volte: zero, uno, due, tre, quattro e cinque”. Zero ha ancora un’altra caratteristica che lo rende diverso da tutti gli altri numeri. È infatti l’unico numero reale che non sia positivo o negativo. Molti si chiedono anche oggi: ma zero è un numero pari o dispari? Nei periodi delle “targhe alterne”, un metodo non molto efficace per combattere lo smog nelle grandi città, c’è stata un po’ di confusione. Un automobilista ingenuo o matematico, sorpreso con una targa la cui ultima cifra era 0, in un giorno in cui era permessa soltanto la circolazione dei veicoli con targa dispari, come ultimo disperato tentativo per evitare la contravvenzione, avrebbe detto in tono di sfida al vigile urbano: “Guardi che zero è dispari, mi dimostri il contrario”. Per dirimere la questione basta riprendere la definizione che è riportata su tutti i libri scolastici: “L’insieme dei numeri pari si ottiene moltiplicando per due i numeri naturali”: quindi si passa da 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... a 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,... L’insieme dei numeri dispari viene invece definito come l’insieme complementare dei numeri pari: 1, 3, 5, 7, 9, 11,...

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio11 E per finire con lo zero … Zero: mancanza di un segno o segno di una mancanza? (G. Giorello, 1981 Enciclopedia Einaudi; vol. 14)

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio INTRODUZIONE DELLO ZERO I MUSICANTI DI BREMA 12

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Gli animali sono quattro 13

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Restano tre animali ESCE L’ASINO 14

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Restano due animali ESCE IL CANE 15

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Resta un animale ESCE IL GATTO 16

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Restano zero animali ESCE IL GALLO 17

ALCUNI NUMERI NATURALI NELLA E LELLA Questa è la storia delle formichine Nella e Lella che tutto il giorno girano per il mondo per capire se è rotondo. Camminano sia in montagna, sia in pianura: la loro vita è proprio dura! Raccolgono semi in eterno per sopravvivere al lungo inverno. Durante i loro viaggio tanti amici possono incontrare e con loro si fermano un po’ a giocare. Ma il lavoro che le aspetta è impaziente e lo devono riprendere immediatamente. Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio18

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio19 Ecco le formichine Nella e Lella, contale e scrivi il numero che ti dice quante sono. Ogni formichina utilizza un solo sacco per ritirare le provviste. Dai ad ogni formichina un solo sacco. Rispondi: C’è un sacco per ogni formica?…. Ogni sacco è usato da una sola formica?…….. Quante sono le formiche?………. Quanti sono i sacchi?....

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio20 LA RACCOLTA La formica Nella decide di raccogliere i semi in un bellissimo giardino pieno di fiori colorati. Riesce a trovare 4 semi gialli a forma di stella e 2 arancioni tondi tondi: in tutto 6 bellissimi semi da portare con orgoglio nel formicaio. Ecco i semi che ha raccolto la formica Nella; colorali e scrivi quanti sono. I semi raccolti da Nella sono……

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio21 Anche la formica Lella ha raccolto, nello stesso giardino, sei semi tutti verdi e a forma di triangolo. Disegna e colora i semi che ha raccolto Lella e scrivi quanti sono.

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio22 SEMI A CONFRONTO Colora i semi di Nella e quelli di Lella. I semi di Nella sono tanti quanti quelli di Lella?…… Cosa puoi fare per essere sicuro?..

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio23 NUOVI AMICI Nella e Lella stanno lavorando con molto impegno quando sentono delle vocine allegre: qualcuno si sta divertendo. Decidono di fermarsi un momento a curiosare. Tra l’erba scorgono otto allegre chioccioline che stanno giocando. Nella e Lella decidono di farsi avanti per conoscere questi allegri animaletti.

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio24 Ecco le chioccioline che attirano l’attenzione di Nella e Lella. Colorale e contale. Quante sono le chioccioline viste da Nella e da Lella?………………

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio25 CHI CERCA TROVA Oggi è domenica e le formichine Nella e Lella decidono di fare un gioco con la loro amica chiocciolina Marta. La formica Lella prima nasconde 8 semi tondi tondi, poi farà da arbitro. Nella e Marta dovranno cercare i semi nascosti. Vincerà chi troverà più semini. Al via Nella parte di corsa, mentre Marta cammina lentamente, ma osserva tutto con molta attenzione. Alla fine del gioco l’arbitro Lella controlla i bottini: Nella ha scoperto 3 semini, mentre Marta ne ha scovati 4. Chi ha trovato più semini?…..

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio26 Prima di rispondere completa il disegno. HA TROVATO ……………… HA TROVATO ……………… Con i numeri possiamo scrivere che 4 è maggiore di 3 4 > 3

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio27 Questi sono i semini che aveva nascosto Lella. Colora di rosso i semini scovati da Nella. Colora di giallo i semini trovati da Marta. Sei riuscito a colorare tutti i semi?….. Perché?……………

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio IL CONCETTO DI OPERAZIONE: riflessioni e approfondimenti “operazione ” 28

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio IL CONCETTO DI OPERAZIONE: riflessioni e approfondimenti “Che cos'è una operazione in matematica? ” Perchè vengono chiamate “fondamentali”, ne esistono forse delle altre? Se sì, quali? Esistono operazioni senza i numeri? 29

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio IL CONCETTO DI OPERAZIONE: riflessioni e approfondimenti Definizione. Dato un insieme E non vuoto si dice operazione binaria interna in E una legge che associa a ogni coppia ordinata (a,b) di elementi di E, distinti o no, uno e un solo elemento c di E. L'elemento a è detto il primo termine dell'operazione, b il secondo termine, c il risultato o il composto di a e b. Poiché la coppia (a,b) è elemento dell'insieme ExE (prodotto cartesiano di due insiemi) possiamo esprimere un'operazione binaria interna in un insieme E, indicata con il simbolo , nel seguente modo: Operazioni binarie interne in un insieme dato 30

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio IL CONCETTO DI OPERAZIONE: riflessioni e approfondimenti E x E E (a,b) cc = a  b Si legge: c è il composto di a e b A livello di insiemi l’applicazione si nota con “ ” a livello di corrispondenza tra elementi si nota con “ ” Questa distinzione permette di sapere a quale livello si lavora 31

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio IL CONCETTO DI OPERAZIONE: riflessioni e approfondimenti Le quattro operazioni fondamentali addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione nell' insieme N dei numeri naturali soddisfano la definizione di operazione sopra data? ADDIZIONE?MOLTIPLICAZIONE? Infatti a ogni coppia di numeri naturali l'addizione e la moltiplicazione fanno corrispondere un risultato che è unico. Sì 32

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio IL CONCETTO DI OPERAZIONE: riflessioni e approfondimenti SOTTRAZIONE?DIVISIONE? Sì/NO La sottrazione e la divisione, invece, fanno corrispondere un risultato unico solo ad alcune coppie dell'insieme N x N. Per la sottrazione, come tutti sappiamo, deve essere a ≥ b, per la divisione deve essere a multiplo di b, b ≠0. 33

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio IL CONCETTO DI OPERAZIONE: riflessioni e approfondimenti SOTTRAZIONE?DIVISIONE? Sì Basta tralasciare l'aggettivo ogni e dire “... a coppie ordinate (a,b)...”. Dato un insieme E, si parla allora di operazioni interne binarie in esso ovunque definite (es. addizione e moltiplicazione) e di operazioni interne binarie in esso non ovunque definite (es. sottrazione e divisione). 34

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio IL CONCETTO DI OPERAZIONE: riflessioni e approfondimenti Questa distinzione è bene farla anche quando si riesaminano le proprietà delle quattro operazioni fondamentali attraverso le loro tabelle operative. È inoltre opportuno far notare agli alunni che le operazioni di cui ci occupiamo sono binarie perché lavorano sempre su due numeri alla volta (le parentesi diventano allora indispensabili quando si lavora su più di due numeri, a meno che si sappia già che l'operazione gode della proprietà associativa) le coppie sono ordinate, cioè ogni coppia è individuata non solo dai due numeri che la compongono ma anche dall'ordine con cui questi numeri vengono scritti. Distinzione tra operazioni ovunque o non ovunque definite 35

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio IL CONCETTO DI OPERAZIONE: riflessioni e approfondimenti Le operazioni Massimo Comune Divisore e Minimo Comune Multiplo in N sono interne e ovunque definite. Nell'insieme dei numeri pari le operazioni di addizione e di moltiplicazione sono interne e ovunque definite. Nell'insieme dei numeri dispari l'operazione di moltiplicazione è interna e ovunque definita, mentre l'operazione di addizione è ovunque definita, ma... Che cosa succede quando addizioniamo due numeri dispari ? Il risultato è sempre un numero pari. Si dice che “ l'operazione di addizione nell'insieme dei numeri dispari è un'operazione binaria esterna a tale insieme”. ESEMPI: 36

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio IL CONCETTO DI OPERAZIONE: riflessioni e approfondimenti (di Clara Colombo Bozzolo ) Con due simmetrie assiali si ottiene una traslazione L'insieme delle isometrie del piano 37

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio IL CONCETTO DI OPERAZIONE: riflessioni e approfondimenti (di Clara Colombo Bozzolo ) Due simmetrie assiali con assi incidenti producono una rotazione 38

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Esempio Si costruisca una figura che sia i del quadrato ABCD. La frazione come operatore risulta, dunque, dall’applicazione successiva di due operatori definiti da numeri naturali e produce una grandezza omogenea con quella a cui l’operatore frazionario viene applicato. A CB D Divido in 4 parti uguali E ne considero una parte C D B A Costruisco una nuova misura formata da tre ciascuna del valore di 1/4 OPERATORE SU GRANDEZZE 39

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio CONCLUDENDO riflessioni e approfondimenti (di Clara Colombo Bozzolo ) Ogni volta che si “definisce” un'operazione alla scuola dell’obbligo è opportuno, prima di studiarne le proprietà, chiedere sempre agli allievi se, rispetto all'insieme considerato, l'operazione è interna o no, ovunque definita o non ovunque definita (aiutandosi, se necessario, con una tabella operativa). 40

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Tabella addizione

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Tabella sottrazione

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Riflessione sull'operazione prodotto cartesiano di due insiemi (di Clara Colombo Bozzolo ) Consideriamo due insiemi di sillabe A = {ma, ve}, B = {re, le, no} e poniamoci il seguente problema : Quante parole significative si possono scrivere usando una sillaba di A seguita da una sillaba di B ? Rappresentiamo con una tabella a doppia entrata l'operazione prodotto cartesiano AxB. I risultati di questa operazione sono le coppie ordinate scritte in tabella: re le no ma (ma,re) (ma,le) (ma,no) ve (ve,ne) (ve,le) (ve,no) Stabiliamo la legge di composizione “forma una parola”… 43

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio IL CONCETTO DI OPERAZIONE: riflessioni e approfondimenti (di Clara Colombo Bozzolo ) Nell’ esempio esposto abbiamo dapprima lavorato sugli elementi degli insiemi A, B con l'operazione “prodotto cartesiano di insiemi ” ottenendo tutte le possibili coppie ordinate di sillabe. Poi tra gli elementi di AxB, cioè tra le coppie di sillabe, abbiamo considerato la legge di composizione “formare una parola della lingua italiana ”. Sono distinzioni da fare anche con gli allunni. 44

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Proprietà delle operazioni (di Clara Colombo Bozzolo ) Data un’operazione binaria in E, è significativo rilevarne le proprietà, in quanto esse fondano le regole di manipolazione dei simboli (regole di calcolo). Risultano particolarmente importanti le seguenti proprietà (nel seguito a, b, c indicano elementi di E e  rappresenta l’operazione): proprietà associativa: consente di estendere l’operazione, inizialmente definita su una coppia di elementi di E, a tre o più termini, in quanto afferma che (a  b)  c = a  (b  c) (le parentesi danno l’ordine di esecuzione delle operazioni) 45

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Proprietà delle operazioni (di Clara Colombo Bozzolo ) proprietà commutativa: rende superflua la distinzione tra primo termine e secondo termine, dato che afferma che a  b = b  a; esistenza dell’elemento neutro: afferma l’esistenza in E di un elemento u che combinato con un qualunque altro elemento a non lo “modifica”; in simboli a  u = u  a = a; esistenza dell’elemento opposto: afferma l’esistenza per ogni elemento a in E di un elemento a’ che combinato con a dà come risultato u; in simboli a  a’ = a’  a = u. 46

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Proprietà delle operazioni (di Clara Colombo Bozzolo ) Se nell’insieme E sono definite due operazioni distinte (indicate, per esempio, con  e  ), possono valere le proprietà distributive di un’operazione rispetto all’altra: p. distributiva di  rispetto a  : a  (b  c) = (a  b)  (a  c), (a  b)  c = (a  c)  (b  c); p. distributiva di  rispetto a  : a  (b  c) = (a  b)  (a  c), (a  b)  c = (a  c)  (b  c). 47

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Nel caso specifico delle operazione fondamentali in N abbiamo: per l’addizione e per la moltiplicazione valgono le proprietà associativa, commutativa, esiste l’elemento neutro (0 per l’addizione, 1 per la moltiplicazione); per la sottrazione e per la divisone non valgono le proprietà associativa, commutativa, non esiste l’elemento neutro; valgono, invece, le proprietà invariantive: invariantiva della sottrazione: la differenza tra due numeri non cambia se ad entrambi i numeri viene aggiunto o sottratto lo stesso numero; invariantiva della divisione: il quoziente tra due numeri non cambia se entrambi i numeri vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero (diverso da 0); 48

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Nel caso specifico delle operazione fondamentali in N abbiamo: se consideriamo due operazioni contemporaneamente,valgono le seguenti proprietà distributive: della moltiplicazione rispetto alla addizione: a  (b+c) = (a  b) + (a  c) (a+b)  c = (a  c) + (b  c) della moltiplicazione rispetto alla sottrazione: a  (b-c) = (a  b) - (a  c) (a-b)  c = (a  c) - (b  c) della divisione (da sinistra a destra) rispetto alla addizione e alla sottrazione: (a+b) : c = (a:c) + (b:c) (a-b) : c = (a:c) - (b:c) 49

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio LE PROPRIETA' DELLE OPERAZIONI Strumento indispensabile per capire le procedure del calcolo scritto Mezzo importante per facilitare il calcolo mentale 50

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Addizione L'incolonnamento, nell'addizione, delle unità dello stesso ordine è giustificato dall'applicazione delle proprietà commutativa e associativa. Facciamolo notare o scoprire agli allievi con esercizi del tipo: = =1h + 3 da+2u + 5da +7u = =1h + 3da + 5 da + 2u +7u= =1h + (3da + 5 da)+ (2u +7u)=... quest'ultima scrittura suggerisce l'incolonnamento delle unità dello stesso tipo. Le stesse proprietà facilitano il calcolo mentale: = 17 + (3 + 5) = (17 + 3) + 5 pr. assoc. = = 25 Ricordiamo che quando sostituiamo all'addendo 8 la somma 3+5 non applichiamo la proprietà dissociativa dell' addizione (che non esiste) ma semplicemente scomponiamo il numero 8 in due addendi in modo da facilitare l'operazione mentale. 51

Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Sottrazione PROPRIETÀ INVARIANTIVA facilita notevolmente, in alcuni casi particolari, il calcolo mentale. Ad esempio, nel caso che il minuendo sia oppure 11 – 101… abituiamo l'allievo a procedere come negli esempi che seguono: 26-9 = (26+1)-(9+1)= = 174 – = = ecc. Di solito, invece, soprattutto con il 9 si consiglia l'allievo a procedere nel modo che segue: = 26 - (10 -1) =( ) +1 con il risultato, verificato anche nelle classi successive alle elementari, che l'alunno dopo aver sottratto il 10 è incerto se deve togliere o aggiungere l'1 (evidentemente è un procedimento algebrico). 52