FUNZIONE: DEFINIZIONE Una FUNZIONE è una LEGGE che ad ogni elemento di un dato insieme A, detto DOMINIO, associa uno ed un solo elemento di un insieme B, detto CODOMINIO. Noi parleremo di funzioni numeriche, ovvero il cui dominio e codominio sono sottoinsiemi di R A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f

FUNZIONE: DEFINIZIONE Si dice che y 1 è IMMAGINE di x 1 tramite la funzione f, y 2 è immagine di x 2 attraverso la f e così via. Si scrive y 1 =f(x 1 ); y 2 =f(x 2 ). L’insieme degli elementi di B che sono immagine di almeno un elemento di A è detto INSIEME DELLE IMMAGINI Si dice che x 1 è CONTROIMMAGINE di y 1 tramite f A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f

FUNZIONE: DEFINIZIONE Questa è una funzione Questa non lo è A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4

FUNZIONI In altre parole puoi pensare ad una funzione come ad una macchina che prende in ingresso un valore x, lo lavora, e poi butta fuori il valore di x «lavorato», ovvero la y.

FUNZIONE: Rappresentazione Una funzione può essere rappresentata in modo insiemistico coi diagrammi di Wenn: in questo caso la freccia indica la legge. Molto intuitivo ma poco pratico. A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f

FUNZIONE: Rappresentazione Se sia A che B sono sottoinsiemi dei numeri reali, una funzione può essere rappresentata tramite il suo grafico, ovvero l’insieme dei punti di coordinate (x,y) tali che x appartiene ad A e y è l’immagine di x attraverso la funzione x1 y1 x2 y2 P (x1, y1=f(x1)) Q

FUNZIONI: ELEMENTI ESSENZIALI Assegnare una funzione significa assegnare: 1) Il suo dominio 2) La procedura, dato x elemento del dominio, per determinare la sua immagine f(x).

FUNZIONE: procedura Il modo con cui data x si determina f(x) può essere fornito tramite un’equazione nelle lettere x e y, sia in forma esplicita y=f(x), che implicita F(x,y)=0

FUNZIONE: Rappresentazione Una funzione può anche essere definita PER CASI, ovvero possono esserci modi differenti per determinare f(x) a seconda dei valori di x

FUNZIONE: valore assoluto Un esempio è la funzione VALORE ASSOLUTO y=|x|

FUNZIONE: funzione segno Un altro è la funzione segno 1

FUNZIONE: parte intera La funzione “parte intera di x”, che ad ogni numero associa la sua parte intera

FUNZIONE: iniettiva Una funzione si dice INIETTIVA se: ogni elemento di B ha al più una controimmagine in A, ovvero se: ad elementi distinti del dominio essa associa elementi distinti del codominio f non è iniettiva perché y3 ha due controimmagini: x3 e x4 A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f x4

FUNZIONE: suriettiva Una funzione si dice SURIETTIVA se: ogni elemento di B ha almeno una controimmagine in A ovvero se: l’insieme delle immagini coincide con il codominio f non è suriettiva perché y 4 non ha controimmagine A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f x4

FUNZIONE: biunivoca Una funzione si dice BIUNIVOCA se è iniettiva e suriettiva A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f x4

FUNZIONE: classificazione FUNZIONI ALGEBRICHE: sono quelle nella cui espressione si trovano solo le quattro operazioni, l’elevamento a potenza, l’estrazione di radice FUNZIONI TRASCENDENTI: funzione esponenziale e logaritmica, le funzioni goniometriche e tutte le loro combinazioni

FUNZIONE: classificazione FUNZIONI RAZIONALI: sono quelle in cui l’incognita x non compare sotto segno di radice FUNZIONI IRRAZIONALI: sono quelle in cui la x compare sotto segno di radice

FUNZIONE: classificazione FUNZIONI INTERE: sono quelle in cui la x compare solo al numeratore FUNZIONI FRATTE: sono quelle in cui la x compare al denominatore

FUNZIONE: ricerca del dominio Il dominio di una funzione è il più grande sottoinsieme dei numeri reali x per i quali la procedura che definisce la funzione ha significato, ovvero per i quali si può calcolare la f(x). La ricerca del dominio dipende dal tipo di funzione

FUNZIONE: ricerca del dominio in una funzione FRATTA bisogna porre il denominatore diverso da zero in una funzione IRRAZIONALE con indice pari bisogna porre il radicando maggiore o uguale a zero in una funzione logaritmica bisogna porre l’argomento maggiore di zero nella funzione tangente l’argomento deve essere diverso da /2+k

FUNZIONE: positività Lo studio del segno (o POSITIVITA’) di una funzione è uno degli elementi fondamentali per la determinazione del grafico della funzione. La ricerca della positività della funzione di equazione y=f(x) equivale alla soluzione della disequazione: f(x)≥0

FUNZIONE: positività Ad esempio, la funzione di equazione: È positiva in -2 ≤ x ≤ 0 e x ≥ 2

FUNZIONE: positività La cosa può essere rappresentata cancellando con un tratteggio la parte di piano sotto l’asse x in corrispondenza della positività e sopra l’asse x in corrispondenza della negatività, a indicare che in quelle zone la curva non può esistere

FUNZIONE: positività La positività della funzione di esempio -2 ≤ x ≤ 0 x ≥ 2 Può essere così rappresentata

FUNZIONE: positività Questa rappresentazione rende spesso molto facile tracciare il grafico

FUNZIONE: crescente Intuitivamente, una funzione è CRESCENTE quando, all’aumentare del valore di x, aumenta anche il valore di y x1 f(x1) x2 f(x2)

FUNZIONE: crescente Rigorosamente, una funzione si dice CRESCENTE in un dato intervallo I del dominio se, per ogni coppia di valori x1 e x2 appartenenti ad I, tali che: Allora risulta:

FUNZIONE: decrescente Analogamente, una funzione si dice DECRESCENTE in un dato intervallo I del dominio se, per ogni coppia di valori x1 e x2 appartenenti ad I, tali che: Allora risulta:

FUNZIONE: monotonia Una funzione che, in un intervallo, risulti o crescente o decrescente, si dice MONOTONA in tale intervallo.

FUNZIONE: pari Una funzione si dice PARI se: Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse y

FUNZIONE: dispari Una funzione si dice DISPARI se: Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine

FUNZIONE: periodica Una funzione si dice PERIODICA se esiste un numero T>0, tale che per ogni x del dominio. Il minore dei valori di T si dice PERIODO

FUNZIONE: inversa Data una funzione f definita sul dominio A e codominio B, si dice RELAZIONE INVERSA la relazione che ad ogni immagine y di B associa la sua controimmagine x in A A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f -1 x4

FUNZIONE: inversa Non e’ detto che l’inversa sia una funzione: infatti ad esempio in questo caso non lo è perché non è univoca: a y3 sono associati due elementi, x3 e x4 A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f -1 x4

FUNZIONE: inversa In questo caso invece anche l’inversa è una funzione, infatti è univoca. A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f -1 x4

FUNZIONE: funzione invertibile Quando la relazione inversa è una funzione allora la funzione si dice INVERTIBILE e la sua inversa si dice FUNZIONE INVERSA Si usa il simbolo f -1 A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f -1 x4

FUNZIONE: funzione invertibile Se una funzione è invertibile allora è univoca da B ad A; ma siccome lo è da A a B per definizione di funzione, allora: UNA FUNZIONE E’ INVERTIBILE SE E SOLO SE E’ BIUNIVOCA A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f -1 x4

FUNZIONE: invertibilità e monotonia Una funzione crescente sarà anche biunivoca; infatti se x1>x2 allora f(x1)>f(x2), quindi non si verifica mai che assuma due volte lo stesso valore x1 f(x1) x2 f(x2)

FUNZIONE: invertibilità e monotonia Lo stesso se la funzione è decrescente. Quindi: SE UNA FUNZIONE E’ MONOTONA ALLORA E’ INVERTIBILE x1 f(x1) x2 f(x2)

FUNZIONE: invertibilità e monotonia Non vale il viceversa; la funzione nel grafico non è monotona ma è invertibile; infatti non assume mai due volte lo stesso valore

FUNZIONE: funzione invertibile Anche se una funzione non è invertibile su tutto il dominio lo può diventare se il dominio viene ristretto. Ad esempio, la funzione y=senx non è invertibile perché assume più volte lo stesso valore, però se ristretta all’intervallo [-/2,/2] lo diventa e la sua inversa si chiama arcoseno

FUNZIONE: funzioni inverse FunzioneDominio*InversaDominio y=x 2 x≥0y=√xx≥0 y=x 3 Ry= 3 √xR y=lnxx>0y=e x R y=senx -  /2≤x≤  /2 y=arcsenx-1≤x≤1 y=cosx 0≤x≤  y=arccos-1≤x≤1 y=tgx -  /2≤x≤  /2 y=arctgxR *Dominio su cui la funzione è invertibile

FUNZIONE: ricerca dell’inversa La funzione inversa si trova risolvendo l’equazione della funzione: y=f(x) Ovvero trovando x in funzione di y. Se il risultato è univoco allora la funzione è invertibile.

FUNZIONE: ricerca del codominio Il codominio di una funzione coincide col dominio dell’inversa. Quindi, per determinare il codominio, si può procedere in questo modo: Trovare la relazione inversa Determinarne il dominio

FUNZIONE: composte Sia f una funzione definita su A a valori in B tale che: y 1 =f(x 1 ) E sia g una funzione definita su B a valori in C tale che: z 1 =g(y 1 ) Allora la funzione definita su A a valori in C che all’elemento x 1 di A associa l’elemento z 1 di c si dice FUNZIONE COMPOSTA di f e g

FUNZIONE: composte La composta si può così indicare z=g(f(x)) oppure z=g◦f(x)

Grafici: esponenziale

Grafici: logaritmo naturale

Grafici: seno

Grafici: arcoseno

Grafici: coseno

Grafici: arcocoseno

Grafici: tangente

Grafici: arcotangente

Grafici: quadratica

Grafici: cubica

Grafici: radice quadrata

RELAZIONI: prodotto cartesiano Per dare una definizione rigorosa di relazione è necessario ricorrere all’operazione di prodotto di insiemi Dati due insiemi A, B si dice PRODOTTO CARTESIANO di A e B l’insieme di tutte le coppie ordinate il cui primo elemento appartiene ad A e il secondo a B Il simbolo è AXB

RELAZIONI: prodotto cartesiano Esempio: A={x1,x2,x3} B= {y1,y2,y3,y4} AXB= {(x1,y1),(x1,y2),(x1,y3)…ecc…}

RELAZIONI: prodotto cartesiano Si dice RELAZIONE tra due insiemi A e B un qualunque sottoinsieme del loro prodotto cartesiano. Si dice che la relazione associa al primo elemento della coppia il secondo elemento

FUNZIONE: DEFINIZIONE Ad esempio, questa funzione è formata dalle coppie: (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) A B x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4 f

FUNZIONE: positività Graficamente la positività corrisponde a quegli intervalli dell’asse x in cui la curva sta al di sopra dell’asse. Analogamente, la negatività corrisponde ai valori di x in cui la curva sta sotto l’asse