La Géométrie di Descartes Le rappresentazioni geometriche delle soluzioni delle equazioni Paolo Freguglia Dept. of Engineering and Science of Information and Mathematics (DISIM) University of L’Aquila, Italy

Il primo libro della Géométrie inizia con l’affermare che come l’aritmetica ha per i numeri le sue operazioni, così la geometria ha per i segmenti analoghe operazioni. Descartes dice: «Ma spesso [per stabilire il calcolo tra segmenti] non c’è bisogno di tracciare questi segmenti sulla carta; sarà sufficiente designare con una lettera una volta per tutte ciascuno di essi. Così per sommare un segmento BD a GH io indico l’uno con a e l’altro con b e scrivo a + b, e a - b per sottrarre b da a; e ab per moltiplicare l’uno con l’altro; e a/b per dividere a per b; e aa o a 2 per moltiplicare a per se stesso, [...] e  (a 2 + b 2 ) per indicare la radice quadrata di a 2 + b 2 [...].» Descartes introduce il segmento unità, cioè il segmento a cui compete il nome 1. Vediamo ora il calcolo geometrico (con segmento non orientati) presentato da Descartes. In realtà già Rafael Bombelli agli inizi della seconda metà del Cinquecento (nel c.d. Quarto libro ritrovato e editato da Bortolotti nel 1929) introduce predetto calcolo.

Relativamente alla Fig.1 si ha che AC = AB + CB e AB = AC – BC Relativamente alla Fig.2 si ha per Talete che: AB : CD = BC : BE BD  BC = AB  BE Da cui essendo AB = 1 si ottiene: BE = BD  BC Per dividere BE per BD basterà congiungere E con D, per cui tirando la parallela per A a DE si individua il punto C e dunque il segmento BC risultato della divisione.

Relativamente alla Fig.3, in base al secondo teorema di Euclide si ha: GI 2 = FG  GH Da cui avendo posto FG = 1 si ottiene: GI 2 = FG  GH Ossia:

Vediamo quindi come seguendo Descartes si arriva all’impostazione di una equazione algebrica : «Così, volendo risolvere un problema [geometrico] si deve innanzi tutto [...] dare nomi ad ogni segmento che risulti necessario per la costruzione del problema, sia che il segmento risulti dato, sia che risulti incognito rispetto agli altri. Poi, senza considerare alcuna differenza tra i segmenti dati e quelli incogniti, si deve analizzare il grado di difficoltà del problema in modo da stabilire, in termini più naturali possibili, le relazioni tra i segmenti in questione. Ciò fino a trovare un modo per esprimere una medesima quantità in due modi diversi. Si stabilisce così una Equazione [...]»

RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA Consideriamo l’equazione Poniamo nella figura LM = b, LN = (1/2)a con b e a assegnate. Per Pitagora avremo:

Essendo ON = NL (raggi dello stesso cerchio) avremo: Eliminiamo ora la radice e si ha: e qundi, sostituendo,

Dunque MO = z rappresenta una delle radici dell’equazione data. L’altra soluzione si costruirebbe considerando NP – NM dove NM > NP essendo NP = (1/2)a e quindi che risulta negativa. Descartes non considera come «vere» le soluzioni negative

Per il caso: si costruiscono analogamente le soluzioni: Descartes propone la figura accanto e procede con lo stesso criterio

intersezioni Dunque, le soluzioni delle equazioni di primo e di secondo grado si ottengono rispettivamente dalle intersezioni tra retta e circonferenza (vedi I libro della Géométrie). Mentre le soluzioni delle equazioni di terzo e quarto grado si ottengono intersecando una parabola con una circonferenza (vedi III libro della Géométrie). Nella figura accanto ci si riferisce al quarto grado.

Ricordiamo ora, per il seguito, che la Prop. I, 11 della Coniche di Apollonio stabilisce che: al variare di , mentre  è sempre costante.  viene chiamato latus rectum. Posto:  = 2p (costante)  = x e  = y la precedente espressione diventa: y 2 = 2px Avremo

RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DI EQUAZIONI DI QUARTO GRADO

Consideriamo con Descartes la seguente equazione di quarto grado: Diamo la seguente costruzione (vedi figura accanto) -Siano assegnati il latus rectum AS = 1, AC = (1/2)AS, CD = (1/2)p, DE = (1/2)q, AR = r tracciamo una parabola con questi dati.

- centro in V (essendo RV = VS) con il compasso tracciamo la semicirconferenza RS - conduciamo la perpendicolare AH che incontri la semicirconferenza RS in H e tracciamo HE - centro in E, raggio EH tracciamo la circonfeenza FG - consideriamo quindi le intersezioni fra la parabola e la circonferenza FG

Descartes dice: «[…] Ora questo cerchio FG può tagliare o toccare la parabola in 1, o 2, o 3, o 4 punti; tirando da questi puntile perpendicolari sull’asse (della parabola), si ottengono tutte le radici dell’equazione, sia quelle vere [le reali positive], sia quelle false [le reali negative]. […] E infine se questo cerchio non interseca né tocca la parabola in alcun punto, ciò vuol dire che non abbiamo nessuna radice né vera né falsa dell’equazione e che esse radici sono tutte immaginarie»

Il problema associato alla precedente costruzione è: Problema: Date le lunghezze dei segmenti AS, AC, CD, DE, AR (cioè la figura accanto) Trovare la lunghezza del segmento KG. Soluzione: Si ponga KG = z, dalle proprietà della parabola si ha: AK : GK = GK : latus rectum (latus rectum AS = 1) dunque: AK = z 2

Dalla figura risulta: DK = EM = AK – (AC + CD) Cioè, sostituendo, DK = EM = z 2 – 1/2 – (1/2)p che al quadrato diventa: DK 2 = EM 2 = z 4 + 1/4 + (1/4)p 2 – pz 2 – z 2 + (1/2)p

Sempre dalla figura si ha: DE = KM = (1/2)q GM = KG + KM = z + (1/2)q Facendo il quadrato si ha: GM 2 = z 2 + (1/4)q 2 + qz Dunque: EG 2 = GM 2 + EM 2 = (*) z 4 – pz 2 + qz + (1/4)q 2 + (1/4)p 2 + (1/2)p + 1/4

Constatiamo che: EG = EH (raggi dello stesso cerchio) EA 2 = ED 2 + DA 2 Essendo: ED = (1/2)q AD = (1/2)p + q per cui avremo:

Abbiamo inoltre che: AS : HA = HA : AR Sostituendo: 1 : HA = HA : r cioè: HA 2 = r. Dalla figura si ha: EH 2 = EA 2 + HA 2, sostituendo avremo: (**)

Poiché EG = EH (raggi di una stessa circonferenza) e quindi EG 2 = EH 2 confrontando (*) e (**) si ha: e a conti fatti si trova la: Per cui z = KG interpreta adeguatamente in modo geometrico una sua soluzione reale mediante l’intersezione circonferenza-parabola.