Endogenous restricted participation Problemi di ottimo vincolato Una pasticceria produce due tipi di crostata: al cioccolato (C) e alla marmellata (M) Il ciclo produttivo prevede tre fasi: lavorazione della pasta frolla produzione delle crostate cottura e confezione

Endogenous restricted participation Per ogni crostata Endogenous restricted participation Ciocc. Marm. Disponibilità settimanale Pasta Frolla 1 ora 80 ore Produzione 4 ore 2 ore 264 ore Cot. e Conf. 280 ore Margine lordo 7 euro 5 euro Determinare il piano ottimale di produzione settimanale

Endogenous restricted participation Formalizzazione del problema x = n° crostate al cioccolato da produrre, x ≥0 y = n° crostate alla marmellata da produrre, y ≥0 Vincoli di disponibilità Preparazione pasta frolla x + y ≤ 80 Produzione 4x + 2y ≤ 264 Cottura e confezione 2x + 4y ≤ 280 Obiettivo: massimizzare il margine lordo: max 7x + 5y

Endogenous restricted participation Formalizzazione del problema max 7x + 5y x + y ≤ 80 4x + 2y ≤ 264 2x + 4y ≤ 280 x≥0, y≥0 Funzione obiettivo Vincoli Regione ammissibile: S={(x,y): x+ y ≤ 80, 4x + 2y ≤ 264, 2x+ 4y ≤ 280 , x≥0, y≥0 )}

Endogenous restricted participation Problemi di ottimo vincolato Vogliamo risolvere problemi del tipo Funzione obiettivo Vincoli Funzione vincolare Regione ammissibile

Endogenous restricted participation Problemi di ottimo vincolato Endogenous restricted participation Teorema di Weierstrass. Una funzione continua definita su un insieme chiuso e limitato ammette punti di massimo e minimo assoluto. I punti di massimo e minimo relativo e assoluto vanno ricercati tra: gli eventuali punti critici interni i punti di frontiera con particolare riguardo ai vertici della regione e agli eventuali punti di tangenza. Se la funzione obiettivo e quelle vincolari sono definite su sottoinsieme di R2 ed è agevole disegnare le curve di livello, possiamo determinare i p.ti di max. e min. rel.e/o ass. tramite l’andamento delle curve di livello.

Endogenous restricted participation Risoluzione problema della pasticceria Disegniamo la regione ammissibile S S è un insieme compatto Per il teorema di Weierstrass f ammette valore massimo su S S

Endogenous restricted participation Risoluzione problema della pasta Endogenous restricted participation Andamento delle curve di livello. Le curve di livello sono rette di coefficiene angolare -7/5 e intercetta con l’asse y k/5 . (n.b. il vettore in rosso è il vettore gradiente calcolato in (0,0)).

Endogenous restricted participation Risoluzione problema della pasticceria Endogenous restricted participation l punto di massimo è (52,28) corrispondente a produrre 52 crostate al cioccolato e 28 torte alla marmellata, per un margine lordo di 504 euro.

Endogenous restricted participation Esempio 1. Endogenous restricted participation Determinare i punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto di f(x,y)= x2-6x+y2-10y+35 sulla triangolo di vertici A=(-1,-2), B=(8,-2), C=(-1,4). I vincoli che definiscono la regione sono: x-1, y-2 e 2x+3y  10 C f è continua ed S è compatta; f ammette almeno un punto di max. e min. assoluto S A B

Endogenous restricted participation Esempio 1. Endogenous restricted participation Determinare i punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto di f(x,y)= x2-6x+y2-10y+35 sulla regione S={(x,y) 2: x-1, y-2, 2x+3y  10 Le curve di livello di f sono circonferenze di centro (3,5). All’aumentare del raggio della circonferenza ci troviamo su curve di livello cui corrisponde un valore di k maggiore. C A B

Endogenous restricted participation Esempio 1. Determinare i punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto di f(x,y)= x2-6x+y2-10y+35 sulla regione S={(x,y) 2: x-1, y-2, 2x+3y  10 f non ammette punti critici interni. Analizzo vertici di S C A è p.to di max. rel. dato che esiste un intorno di A tale che le curve di livello che intersecano S e l’intorno corrispondono ad un valore di f minore di f(A). A B A non è punto di max ass. poiché in S esistono punti in cui f assume valore maggiore di f(A).

Endogenous restricted participation Esempio 1. Facendo lo zoom in un intorno di A. C A A è p.to di max. rel. dato che esiste un intorno di A tale che le curve di livello che intersecano S e l’intorno corrispondono ad un valore di f minore di f(A). A

Endogenous restricted participation Esempio 1. Endogenous restricted participation Determinare i punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto di f(x,y)= x2-6x+y2-10y+35 sulla regione S={(x,y) 2: x-1, y-2, 2x+3y  10 B è p.to di max. rel. e ass. dato che le curve di livello cui corrisponde un valore di f maggiore di f(B) non intersecano S. C A B

Endogenous restricted participation Esempio 1. Determinare i punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto di f(x,y)= x2-6x+y2-10y+35 sulla regione S={(x,y) 2: x-1, y-2, 2x+3y  10 C non è p.to né max. né di min. relativo dato che in ogni intorno di C esistono curve che intersecano S sia con valore di f maggiore di f(C) sia con valore di f minore di f(C). C Devo ricercare i punti di minimo assoluto e relativo tra i punti di tangenza A B

Endogenous restricted participation Esempio 1. Determinare i punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto di f(x,y)= x2-6x+y2-10y+35 sulla regione S={(x,y) 2: x-1, y-2, 2x+3y  10 D non è p.to né max. né di min. relativo dato che in ogni intorno di D esistono curve che intersecano S sia con valore di f maggiore di f(D) sia con valore di f minore di f(D). C Non esistono punti di tangenza sul segmento AC A B D

Endogenous restricted participation Esempio 1 Endogenous restricted participation Determinare i punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto di f(x,y)= x2-6x+y2-10y+35 sulla regione S={(x,y) 2: x-1, y-2, 2x+3y  10 T è il punto di minimo rel. e ass. dato che le curve di livello cui corrisponde un valore di f minore di f(T) non intersecano S. C T Dobbiamo determinare le coordinate di T A B T=?

Endogenous restricted participation II proprietà del gradiente Endogenous restricted participation Sia f:A, A un insieme aperto di 2, f di classe C1, (x0,y0) A e La direzione è ortogonale alla retta tangente alla curva di livello passante per (x0,y0) Gradiente in (x0,y0) Curva di livello passante per (x0,y0) (x0,y0) Retta tangente

Endogenous restricted participation Per determinare le coordinate di T sfruttiamo la II proprietà del gradiente T verifica le condizioni C T B A da cui