RELATIVITÀ Teoria della Introduzione alla a cura di Sandro Ronca ITIS “Silvio De Pretto” Settimana intensiva 21-25/01/13

Albert Einstein Ulm, 1879- Princeton, 1955 Uno dei più grandi scienziati di tutti i tempi. Diede il maggior contributo individuale alla Fisica di ogni altro scienziato. Nel 1905 scrisse articoli sul moto browniano, sull’effetto fotoelettrico e sulla teoria della relatività ristretta ognuno dei quali valeva da solo un premio Nobel. La teoria della relatività ristretta e la nuova teoria della gravitazione nota come Relatività generale, hanno definitivamente cambiato il modo di vedere e rapportarsi alla realtà fisica. Fu insignito del premio Nobel nel 1921, ma per l’effetto fotoelettrico e non per la teoria della Relatività

Ci occuperemo di: Lunghezze che si accorciano Orologi che rallentano Raggi luminosi che “pesano” Spazi che si incurvano Gemelli che non invecchiano Cioè di cose che accadono in uno strano universo: quello in cui viviamo

Che succede se mi muovo alla stessa velocità della luce? Un pensiero ricorrente assillava il giovane Albert Che succede se mi muovo alla stessa velocità della luce?

Potrò vedere la mia immagine riflessa allo specchio?

Oppure… Lo specchio resterà nero?

Beh, non era affatto una domanda banale!

la luce non si propaga istantaneamente 1675 Osservando le eclissi di Io Ole Rømer dedusse che: la luce non si propaga istantaneamente Cette seconde inégalité paraît venir de ce que la lumière emploie quelques temps à venir du satellite jusqu'à nous, et qu'elle met environ dix à onze minutes à parcourir un espace égal au demi-diamètre de l'orbite terrestre.

Io è il più interno dei satelliti di Giove Io è il più interno dei satelliti di Giove. Orbita ad una distanza di 421700 km dal centro del pianeta e il suo periodo orbitale è di 42,5 ore.

Rømer si accorse che il satellite di Giove, Io sembrava rallentare il suo moto di rivoluzione quando la terra si allontanava da Giove e accelerarlo quando si avvicinava Io L’unica spiegazione possibile era che la luce impiegasse un certo tempo a percorrere il diametro dell’orbita terrestre. a cura di Sandro Ronca

Nel 1670 Cassini calcolò la distanza Terra-Sole ottenendo 140·106 km Quindi il diametro dell’orbita terrestre doveva essere allora di circa 280 milioni di km Giovanni Domenico Cassini a cura di Sandro Ronca

La luce allora avrebbe dovuto percorrere Rømer valutò un ritardo di circa 22 minuti su 40 orbite di Io osservate tra il punto di maggiore e minore distanza della Terra da Giove La luce allora avrebbe dovuto percorrere 280 milioni di km in 22 minuti Con questi dati Rømer avrebbe calcolato: Con un errore del 30 % sul valore attualmente accettato a cura di Sandro Ronca

la luce si propaga con una velocità finita Rømer però introdusse un’idea molto importante la luce si propaga con una velocità finita Ole Rømer a cura di Sandro Ronca

Poi c’erano le questioni legate all’elettromagnetismo a cura di Sandro Ronca

indipendenti ed estranei l’uno all’altro Ambra (elektron) Magnetite Per secoli i fenomeni elettrici e magnetici sono stati considerati come indipendenti ed estranei l’uno all’altro a cura di Sandro Ronca

ma nell’anno 1820 a Copenaghen…

Il Prof. Hans Christian Øersted esegue un esperimento a cura di Sandro Ronca

Ne deduco che una corrente elettrica genera un effetto magnetico Hans Christian Ørsted (1777-1851)

Qualcuno poi lo chiamerà campo magnetico a cura di Sandro Ronca

E un campo magnetico non potrebbe a sua volta generare una corrente? Michael Faraday (1791-1867) a cura di Sandro Ronca

E con gli avvolgimenti di molte spire pensavo di amplificare a sufficienza gli effetti La pila di Volta genera una corrente continua a cura di Sandro Ronca

Ho provato in tutti i modi, ma… NIENTE! Michael Faraday (1791-1867) a cura di Sandro Ronca

Ma nel 1831 Faraday scopre qualcosa di molto importante a cura di Sandro Ronca

Impulsi di corrente alla chiusura e apertura del circuito a cura di Sandro Ronca

Ci sono! Il campo magnetico deve variare nel tempo. Ho giusto in mente una certa legge … Michael Faraday (1791-1867) a cura di Sandro Ronca

2 1 Penso che l’energia impieghi un certo tempo per passare dalla bobina 1 alla 2 2 1 a cura di Sandro Ronca

“Equazioni di Maxwell” Nel 1864 J. C. Maxwell portò a termine l’unificazione teorica di elettricità e magnetismo “Equazioni di Maxwell” James Clerk Maxwell (1831-1879) a cura di Sandro Ronca

Le prime due equazioni: legge di Gauss elettrica e magnetica Legge di Gauss: le sorgenti del campo elettrico E sono le cariche elettriche. ρ è la densità di carica elettrica Q/Volume Non esiste la carica magnetica. Il campo magnetico B è solenoidale: le sue linee di campo sono sempre anelli chiusi. Il flusso attraverso unasuperficie chiusa è sempre nullo. È anche detta “legge di Gauss Magnetica” ma le più interessanti sono le altre due… a cura di Sandro Ronca

La legge di Faraday L’induzione elettromagnetica Un campo elettrico E può essere generato dalla variazione di un campo magnetico B Thank you, sir a cura di Sandro Ronca

La legge della circuitazione del Signor Ampère Mais, non l’avevo scritta comme ça, moi! a cura di Sandro Ronca André-Marie Ampère (1775-1836)

Pardon Monsieur, mi sono permesso di aggiungere la corrente di spostamento Ah, bon! La legge di Ampére: a cura di Sandro Ronca a cura di Sandro Ronca

La corrente di spostamento è un termine importante: ha a che fare con le onde elettromagnetiche Un campo magnetico B può essere creato da una (densità di) corrente J, ma anche dalla variazione di un campo elettrico E. a cura di Sandro Ronca

Maxwell trovò una soluzione di queste due equazioni che prevedeva la possibilità di propagazione nello spazio dei campi elettrici e magnetici sotto forma di onde con velocità: a cura di Sandro Ronca

c = 310 740 km/s Con i dati di allora (1865) trovò “così vicina alla velocità della luce che ho ragione di credere che la luce stessa sia un’onda elettromagnetica” Con i dati di allora (1865) trovò c = 310 740 km/s a cura di Sandro Ronca

Aveva ragione! permettività dielettrica del vuoto permeabilità magnetica del vuoto a cura di Sandro Ronca

Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894) Nel 1887 verificò sperimentalmente l’esistenza delle onde elettromagnetiche grazie ad un famoso esperimento a cura di Sandro Ronca

c = 299792,458 km/s La velocità della luce è: La luce è un’onda elettromagnetica a cura di Sandro Ronca

Si pensava che la luce avesse bisogno di un mezzo per propagarsi: l’ “etere”, come le onde sonore, che si propagano nell’aria. Una sostanza piuttosto strana … doveva essere trasparente per tutti i corpi, ma infinitamente rigida per consentire la propagazione della luce a cura di Sandro Ronca

1887. Michelson e Morley tentano di evidenziare gli effetti dell’etere sulla propagazione della luce. Usano un particolare interferometro. a cura di Sandro Ronca

A causa del moto dell’apparecchiatura i raggi impiegano tempi diversi per completare i due percorsi di andata e ritorno. a cura di Sandro Ronca

La luce si muove con velocità c rispetto all’ipotetico etere B S La luce si muove con velocità c rispetto all’ipotetico etere v è la velocità della Terra nell’orbita attorno al sole: circa 30 km/s 108000 km/h I bracci dell’interferometro hanno eguale lunghezza L Lungo la direzione e il verso della velocità v il raggio di luce, rispetto all’apparato si muove con velocità c – v perché lo specchio A si allontana con velocità v. Per percorrere L impiega il tempo: a cura di Sandro Ronca

La luce si muove con velocità c rispetto all’ipotetico etere B S La luce si muove con velocità c rispetto all’ipotetico etere v è la velocità della Terra nell’orbita attorno al sole: circa 30 km/s 108000 km/h I bracci dell’interferometro hanno eguale lunghezza L Al ritorno, il raggio di luce, rispetto all’apparato si muove con velocità c + v perché lo specchio S si avvicina con velocità v. Per percorrere L impiega il tempo: a cura di Sandro Ronca

La luce si muove con velocità c rispetto all’ipotetico etere B S La luce si muove con velocità c rispetto all’ipotetico etere v è la velocità della Terra nell’orbita attorno al sole: circa 30 km/s 108000 km/h I bracci dell’interferometro hanno eguale lunghezza L Il tempo totale del percorso longitudinale è a cura di Sandro Ronca

Qualche passaggio algebrico: Il tempo totale del percorso longitudinale è a cura di Sandro Ronca

Il tempo totale del percorso trasversale è allora: B S Il raggio trasversale deve percorrere una distanza più lunga di L sia all’andata che al ritorno, perché lo specchio B si sta spostando con velocità v. Se per andare da S a B il raggio impiega il tempo T3, avrà percorso una distanza c T3 tale che: v T3 c T3 L S B Il tempo totale del percorso trasversale è allora: a cura di Sandro Ronca

Qual è il tempo maggiore? il raggio longitudinale impiega più tempo a cura di Sandro Ronca

Non si rivelò mai alcun effetto sulla velocità della luce dovuto alla Così si poteva prevedere quale fosse la figura di interferenza, ma… Non si rivelò mai alcun effetto sulla velocità della luce dovuto alla presenza dell’etere. a cura di Sandro Ronca

A questo punto si poteva anche rinunciare all’etere, dato che non si poteva scoprirne gli effetti. Ma c’era di più … a cura di Sandro Ronca

L’esperimento sembrava indicare che la velocità della luce doveva essere sempre la stessa, indipendentemente dal moto della sorgente a cura di Sandro Ronca

Una costante universale c = 299792,458 km/s Una costante universale a cura di Sandro Ronca

Ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali c = 299792,458 km/s Ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali a cura di Sandro Ronca

Riserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coverta di alcun gran naviglio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti a cura di Sandro Ronca

e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza a cura di Sandro Ronca

e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazi passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose a cura di Sandro Ronca

fate muover la nave con quanta si voglia velocità: che (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma a cura di Sandro Ronca

Principio d’inerzia Codesta cosa la scrissi nel “Dialogo”. S’era nel 1624, ma si pubblicò nel1632 Galileo Galilei enunciò così il Principio d’inerzia a cura di Sandro Ronca

fate muover la nave con quanta si voglia velocità: che (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma Non esiste alcun esperimento che permetta di decidere se un sistema di riferimento è in moto rettilineo uniforme o è fermo Le leggi della fisica, per esempio le forze, sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali a cura di Sandro Ronca

Achtung! Questo è il nocciolo della questione. Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali a cura di Sandro Ronca

treno imprime alla palla anche una componente orizzontale di velocità. Se la pantera rosa lancia una palla verso l’alto, questa le ritornerà in mano, e dal suo punto di vista seguirà una traiettoria rettilinea verso l’alto e verso il basso. Le leggi della Fisica sono le stesse che in un riferimento fermo. Vista dal binario però la palla seguirà un percorso ad arco di parabola perché il treno imprime alla palla anche una componente orizzontale di velocità. a cura di Sandro Ronca

Cos’è un sistema di riferimento? Un sistema di riferimento è un corpo rigido rispetto al quale prendiamo tutte le nostre misure, di lunghezza, di tempo, ecc. Un sistema di riferimento è inerziale se è fermo oppure si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un altro sistema a sua volta inerziale. x y z S Un sistema di riferimento può essere rappresentato da un sistema di assi cartesiani perpendicolari S (x,y,z) a cura di Sandro Ronca

Le trasformazioni di Galileo delle coordinate x y y' x' V y' x' V x y Vt P a cura di Sandro Ronca

Le trasformazioni di Galileo delle coordinate x y V y' x' Ovviamente vale la trasformazione inversa: y' x' V x y Vt P a cura di Sandro Ronca

Le trasformazioni di Galileo delle velocità Lungo l’asse x y' x' V x y Vt P a cura di Sandro Ronca

Le trasformazioni di Galileo delle velocità Lungo l’asse x y' x' V x y Vt P a cura di Sandro Ronca

Le trasformazioni di Galileo delle Forze (accelerazioni) y' x' V x y Vt P F Nel sistema S esiste una forza F = ma Trasformiamo le velocità secondo Galilei a cura di Sandro Ronca

Riassumendo … a cura di Sandro Ronca

La luce è un’onda elettromagnetica prodotta dall’oscillazione di un campo elettrico e di un campo magnetico che si auto-sostengono propagandosi nello spazio con velocità finita (*) pari a: (*) l’opposto di velocità infinita e quindi effetto istantaneo a cura di Sandro Ronca

Dall’esperimento di Michelson e Morley ci si aspettava, almeno in qualche momento dell’anno, di rilevare una differenza nei tempi di percorrenza del raggio parallelo alla velocità della Terra rispetto a quello trasversale a cura di Sandro Ronca

velocità rispetto all’etere Infatti almeno in qualche momento la terra con l’interferometro doveva avere una velocità rispetto all’etere a cura di Sandro Ronca

In tal caso ci si aspettava che il raggio longitudinale impiegasse più tempo rispetto a quello trasversale alla velocità v è minore di 1 Quindi: a cura di Sandro Ronca

Non si trovò alcuna differenza. I due raggi impiegavano lo stesso tempo, come se la terra fosse sempre ferma rispetto all’etere. a cura di Sandro Ronca

Sembrava che la luce non obbedisse alla trasformazione Il risultato era decisamente sconcertante. Non sapevamo proprio come spiegarlo Michelson Morley Sembrava che la luce non obbedisse alla trasformazione galileiana delle velocità a cura di Sandro Ronca

Ricordiamo y' x' V x y Vt P v’ V a cura di Sandro Ronca

la velocità della luce deve essere la stessa in ogni sistema di La mia conclusione: la velocità della luce deve essere la stessa in ogni sistema di riferimento a cura di Sandro Ronca

Le onde luminose si propagano secondo sfere concentriche a cura di Sandro Ronca

OP = distanza percorsa dal raggio di luce in S x y y' x' V P OP = distanza percorsa dal raggio di luce in S Fronte d’onda con centro in O OP’ = distanza percorsa dal raggio di luce in S’ O O’ Fronte d’onda con centro in O’ a cura di Sandro Ronca

Poiché la velocità della luce deve essere la stessa in tutti i sistemi di riferimento, nonostante il moto sarò sempre al centro della sfera costituita dal fronte d’onda y' x' V x y P ct ct’ O O’ a cura di Sandro Ronca

O P = ct O P’ = ct’ t ≠ t’ x y y' x' V P O O’ a) le leggi della fisica devono essere le stesse nei due sistemi di riferimento, b) la velocità della luce deve essere la stessa nei due sistemi di riferimento Spazio = velocità x tempo O P = ct O P’ = ct’ I tempi nei due sistemi di riferimento potrebbero non essere gli stessi t ≠ t’ a cura di Sandro Ronca

Il TEMPO a cura di Sandro Ronca

si misura con un orologio. Il tempo è qualcosa che si misura con un orologio. a cura di Sandro Ronca

nella molecola di ammoniaca l’atomo di azoto passa da una Beh, non necessariamente questo: nella molecola di ammoniaca l’atomo di azoto passa da una posizione alla sua simmetrica rispetto al piano individuato dagli atomi di idrogeno . Fu utilizzato in uno dei primi orologi atomici Anche questo può andar bene: O questo: Qualsiasi cosa che riproduca ciclicamente e periodicamente una certa situazione a cura di Sandro Ronca

Eventi simultanei eventi che avvengono nello stesso istante di tempo Sul treno il sistema di comando apre simultaneamente le porte Smile Se il vagone è fermo Smile giudicherà che gli eventi sono simultanei a cura di Sandro Ronca

Ma se la carrozza si muove … B Smile Smile vedrà aprirsi prima la porta A e dopo la porta B, perché? a cura di Sandro Ronca

Eventi simultanei in un sistema di riferimento non lo sono necessariamente in un altro, in moto relativo rispetto al primo V A B Smile Più velocemente si muove il vagone più tardi si aprirà la porta B rispetto ad A a cura di Sandro Ronca

ct ct’ Considero il caso particolare in cui P si trova sull’asse x, x’ y' x' V x y P ct ct’ O O’ a cura di Sandro Ronca

ct ct’ y' y Proviamo con la trasformazione di Galileo V P x x' O O’ Qui abbiamo: dove supponiamo che t’ sia il tempo misurato nel sistema S’ dove supponiamo che t sia il tempo misurato nel sistema S ma comunque nella trasformazione di Galileo: a cura di Sandro Ronca

y' x' V x y P ct ct’ O O’ diviene: diviene: a cura di Sandro Ronca

La trasformazione di Galileo NON funziona y' x' V x y P ct ct’ O O’ moltiplichiamole membro a membro si ottiene l’assurdo: La trasformazione di Galileo NON funziona a cura di Sandro Ronca

ct ct’ y' y Proviamo con la trasformazione : V P x x' O O’ Qui però immaginiamo che i tempi possano essere diversi La costante non può dipendere dal tempo né dalla coordinate x o x’ altrimenti la trasformazione non sarebbe lineare deve essere la stessa nelle due trasformazioni perché altrimenti, potrei decidere quale sistema si muove. a cura di Sandro Ronca

ct ct’ y' y V P x x' O O’ Come prima moltiplichiamo membro a membro a cura di Sandro Ronca

ct ct’ y' y V P x x' O O’ Così possiamo ricavare raccogliamo c2 al denominatore: a cura di Sandro Ronca

ct ct’ Trasformazioni di Lorentz delle coordinate spaziali y' y V P x a cura di Sandro Ronca

ct ct’ y' y Ora cerchiamo una trasformazione per il tempo: V P x x' O a cura di Sandro Ronca

y' x' V x y P ct ct’ O O’ a cura di Sandro Ronca

y' x' V x y P ct ct’ O O’ a cura di Sandro Ronca

ct ct’ y' y V Trasformazione del tempo P x x' O O’ a cura di Sandro Ronca

Le trasformazioni di Lorentz y' x' V x y Vt P a cura di Sandro Ronca

Le trasformazioni di Lorentz Il rapporto: è quasi nullo per le normali velocità di cui abbiamo esperienza. Alla velocità della luce: la radice: è chiamata contrazione di Ftzgerald si annulla alla velocità della luce: Il fattore: è sempre >1 diviene infinito alla velocità della luce:

La velocità della luce è una velocità limite in questo universo c = 299792,458 km/s La velocità della luce è una velocità limite in questo universo a cura di Sandro Ronca

Le lunghezze si contraggono x y z y' x' z' x'1 x'2 V x1 x2 L’ L x1 e x2 devono essere rilevate allo stesso tempo a cura di Sandro Ronca

Le lunghezze si contraggono x y z y' x' z' x'1 x'2 V x1 x2 L’ L Contrazione di Fitzgerald a cura di Sandro Ronca

I tempi si dilatano Un intervallo di tempo in S’ in cui l’orologio è fermo x y z y' x' z' V L’intervallo di tempo in S: L’orologio è fermo in S’ quindi x’1=x’2 a cura di Sandro Ronca

I tempi si dilatano Un intervallo di tempo in S’ in cui l’orologio è fermo x y z y' x' z' V L’intervallo di tempo in S: a cura di Sandro Ronca

Comporre le velocità y’ S’ sistema di riferimento del treno V u’ y x’=u’t’ V x=u t x a cura di Sandro Ronca

Comporre le velocità x’=u’t’ x=u t y’ S’ sistema di riferimento del treno V u’ y x’=u’t’ V x=u t x a cura di Sandro Ronca

Trasformazione delle velocità S’ sistema di riferimento del treno y’ V u’ y x’=u’t’ V x=u t x Relativistica Galileiana a cura di Sandro Ronca

Raggio di luce c S’ sistema di riferimento del treno y’ V y V x Relativistica Galileiana a cura di Sandro Ronca

Trasformazione delle velocità S’ sistema di riferimento del treno y’ V c y V x Relativistica Galileiana a cura di Sandro Ronca

Trasformazione delle velocità S’ sistema di riferimento del treno y’ V c y V x Conferma che la velocità della luce è la stressa in ogni sistema di riferimento. a cura di Sandro Ronca

Comporre le velocità dirette lungo y’ y’ S’ sistema di riferimento del treno V uy’ y V x a cura di Sandro Ronca

Comporre le velocità dirette lungo y’ y’ S’ sistema di riferimento del treno V uy’ y V x a cura di Sandro Ronca

Comporre le velocità dirette lungo y’ y’ S’ sistema di riferimento del treno V uy’ y V x e l’inversa: a cura di Sandro Ronca

Comporre le velocità dirette lungo y’ y’ S’ sistema di riferimento del treno V uy’ y V x Ma u’x= 0 Proviene dalla dilatazione del tempo a cura di Sandro Ronca

La massa e la conservazione della quantità di moto

Urto elastico di due particelle A e B di uguale massa m e velocità uguali ed opposte vA1 Siamo nel sistema di riferimento del laboratorio La quantità di moto totale si conserva Le particelle hanno velocità uguali ed opposte v B1 x y laboratorio m a cura di Sandro Ronca

Well, la quantità di moto è data dal prodotto della massa per la velocità: La mia 2a legge dice che: Cioè che una forza F imprime ad una massa m un’accelerazione a Sir Isaac Newton (1642-1726) a cura di Sandro Ronca

However, l’accelerazione è una variazione di velocità in un dato intervallo di tempo So, my law diventa: O meglio: Sir Isaac Newton (1642-1726) a cura di Sandro Ronca

La quantità di moto si conserva: Ma se la forza è nulla: La quantità di moto si conserva: Sir Isaac Newton (1642-1726) a cura di Sandro Ronca

Per esempio la quantità di moto totale prima dell’urto mv1 sarà uguale a quella dopo l’urto mv2 Sir Isaac Newton (1642-1726) a cura di Sandro Ronca

Urto elastico di due particelle A e B di uguale massa m e velocità uguali ed opposte vA2 m vA1 Siamo nel sistema di riferimento del laboratorio Le particelle hanno velocità uguali ed opposte v B1 x y laboratorio m v B2 La quantità di moto totale si conserva a cura di Sandro Ronca

Urto elastico di due particelle A e B di uguale massa m e velocità uguali ed opposte vA2x vA2y vA2 m vA1 vA1y vA1x Ma si devono conservare anche le singole componenti della quantità di moto v B1 v B1x v B1y x y laboratorio m v B2x v B2y v B2 a cura di Sandro Ronca

Quantità di moto iniziale e finale per componenti mvA2x mvA2y m mvA1y mvA1x mvA1x mv B1x + = 0 mvA2x mv B2x + = 0 mv B1y + mvA1y = 0 mvA2y + mv B2y = 0 PRIMA DOPO mv B1x mv B1y x y laboratorio m mv B2x mv B2y La quantità di moto totale iniziale e finale sono nulle in questo caso a cura di Sandro Ronca

Semplifichiamo le notazioni Urto elastico di due particelle A e B di uguale massa m e velocità uguali ed opposte –vx vy Semplifichiamo le notazioni m –vy –vx Poiché le velocità sono uguali ed opposte tutte le componenti corrispondenti sono uguali in modulo. Le velocità sono positive se dirette nel verso positivo degli assi, altrimenti sono negative. vx vy x y laboratorio m vx –vy a cura di Sandro Ronca

Urto elastico di due particelle A e B di uguale massa m e velocità uguali ed opposte Consideriamo un sistema di riferimento S’ che si muove verso destra con velocità uguale alla componente x della velocità della particella B Osserviamo che nel sistema S’ di la particella B si muove solamente lungo l’asse y’ x’ y’ w1 x y laboratorio m w2 a cura di Sandro Ronca

L’urto nel sistema S’ v’2 v’1 w’1= w’y w’2= –w’y V = v x m y’ m x’ a cura di Sandro Ronca

La quantità di moto si conserva lungo x’ L’urto nel sistema S’ La quantità di moto si conserva lungo x’ v’x v’y m v’x – v’y w’y x’ y’ – w’y La quantità di moto si conserva lungo l’asse x’ perché le velocità iniziali e finali di A sono uguali mentre B non ha componenti della velocità lungo x’ V = v x m a cura di Sandro Ronca

La quantità di moto NON si conserva lungo y’ L’urto nel sistema S’ La quantità di moto NON si conserva lungo y’ v’x v’y m v’x – v’y w’y x’ y’ – w’y V = v x m a cura di Sandro Ronca

La quantità di moto NON si conserva lungo y’ L’urto nel sistema S’ La quantità di moto NON si conserva lungo y’ v’x v’y m v’x – v’y w’y x’ y’ – w’y V = v x m a cura di Sandro Ronca

lungo y’ dovrebbero essere uguali (ed opposte), ma: Perché si conservi la quantità di moto anche lungo y’ le componenti di velocità lungo y’ dovrebbero essere uguali (ed opposte), ma: Noto che: Qual è la velocità maggiore? a cura di Sandro Ronca

La quantità di moto non si conserva Qual è la velocità maggiore in modulo? < 1: diminuisce vy < 1:aumenta vy > 1: diminuisce vy Quindi: La quantità di moto non si conserva a cura di Sandro Ronca

Era inammissibile che, in qualche sistema di riferimento, fosse Questo era un problema veramente molto serio. Era inammissibile che, in qualche sistema di riferimento, fosse violata una fondamentale legge di conservazione della natura a cura di Sandro Ronca

dovremo rinunciare all’idea che la massa sia un’entità Per far tornare i conti dovremo rinunciare all’idea che la massa sia un’entità indipendente dal moto, ma che dipenda a sua volta dalla velocità della particella a cura di Sandro Ronca

legge di variazione della massa Trovai che una buona legge di variazione della massa era questa: a cura di Sandro Ronca

La legge di variazione della massa Per comprendere il senso di questa definizione osserviamo le velocità che avevamo trovato (sostituiamo V con vx ): differiscono solo per il segno della componente vx , altrimenti sarebbero identiche e la quantità di moto si conserverebbe. Cerchiamo allora una definizione della quantità di moto che la renda indipendente dalla velocità lungo x. a cura di Sandro Ronca

dell’intervallo temporale Δt → Δt’ Una componente di velocità perpendicolare al moto del sistema (lungo x) è data: nel sistema S da: nel sistema S’ da: Tuttavia: Infatti la componente di velocità lungo x compare a causa della trasformazione dell’intervallo temporale Δt → Δt’ L’intervallo di tempo proprio Δt0 è quello misurato dagli orologi fermi in un dato sistema di riferimento: a cura di Sandro Ronca

velocità v con cui il sistema di riferimento S’ si sposta. Poiché: x z y x’ z’ y’ v tempo proprio in S’ Tutti gli osservatori saranno in grado di calcolare correttamente Δt0 e soprattutto otterranno lo stesso valore una volta che si sia misurato il tempo Δt e sia nota la velocità v con cui il sistema di riferimento S’ si sposta. Una velocità calcolata come: sarebbe la stessa in tutti i sistemi di riferimento Infatti : quindi: a cura di Sandro Ronca

Allora ha senso ridefinire la quantità di moto come: che garantirà la conservazione della quantità di moto in tutti i sistemi di riferimento. a cura di Sandro Ronca

di un corpo in movimento L’energia di un corpo in movimento

In matematica si dimostra che (sviluppo binomiale): a cura di Sandro Ronca

Trascurando i termini di ordine superiore: Moltiplico per c2: Energia Totale Energia Cinetica Energia a Riposo a cura di Sandro Ronca

La massa aumenta con la velocità Da notare che se v tende alla velocità della luce, la massa aumenta e tende a diventare infinita Gli oggetti dotati di massa non possono raggiungere la velocità della luce. Secondo la relatività ristretta sarebbe necessaria una energia infinitamente grande per portare una massa (che diviene infinita) a quella velocità La velocità della luce è un limite non raggiungibile dagli oggetti dotati di massa

Lo spazio-tempo di Minkowsky

Spazio-tempo 2D d’universo t linea x FUTURO Uno spazio tempo 2D è rappresentato da una sola coordinata spaziale x, e da una coordinata temporale t t x tempo linea Le linee inclinate rappresentano la velocità della luce. Ciò che si muove alla velocità della luce è rappresentato in ogni istante da un punto su quelle linee velocità della luce <0 velocità della luce >0 spazio PRESENTE L’origine degli assi rappresenta il presente: qui e ora La curva l è la linea d’universo. Rappresenta il percorso di un oggetto nello spazio-tempo. Per esempio la vita di un individuo PASSATO a cura di Sandro Ronca

Spazio-tempo 3D cono luce a cura di Sandro Ronca

Spazio-tempo 2D d’universo t linea x PRESENTE FUTURO PASSATO velocità della luce >0 velocità della luce <0 PRESENTE FUTURO PASSATO d’universo Le linee d’universo sono tutte contenute nei coni del futuro e del passato linea Per tutti questi eventi vi è un nesso causale (principio di causa-effetto) ALTROVE ALTROVE Le zone contrassegnate con ALTROVE sono posizioni spazio-temporali non raggiungibili. Lo sarebbero solo se si potesse viaggiare ad una velocità superiore a quella della luce. ALTROVE ALTROVE a cura di Sandro Ronca

Misurare il tempo in metri Le trasformazioni di Lorentz mescolano le coordinate spaziali e temporali Nel tempo t la luce percorre uno spazio ct che chiamiamo τ (tau) Poiché la velocità della luce è identica in tutti i sistemi di riferimento, possiamo usare τ invece di t per misurare i tempi

Definire la velocità adimensionale La velocità è definita come: La velocità usando τ diviene è adimensionale La velocità diventa il rapporto tra la velocità del corpo e la velocità della luce ed è un numero privo di dimensioni (rapporto tra due velocità)

La velocità della luce unitaria Per la velocità della luce: La velocità della luce ha valore unitario

Spazio-tempo 2D e trasformazioni di Lorentz del tempo ct x In un diagramma (x,ct) le linee che rappresentano la velocità della luce (linee di universo della luce) sono le bisettrici degli assi (45°, 135°) diviene: posto: a cura di Sandro Ronca

Spazio-tempo 2D e trasformazioni di Lorentz dello spazio ct x Per le coordinate spaziali: posto: a cura di Sandro Ronca

Trasformazioni di Lorentz nel sistema (x,ct) con c = 1 Nel nuovo sistema abbiamo: velocità della luce: coordinate temporali: velocità di S’: Notare la simmetria rispetto a x e τ a cura di Sandro Ronca

Velocità nel sistema (x,ct) con c = 1 Un oggetto con velocità: Nel nuovo sistema con : Avrà velocità: Ogni velocità è in realtà un rapporto tra l’effettiva velocità definita in funzione del tempo e la velocità della luce a cura di Sandro Ronca

Il sistema (x,ct) τ=ct x ciò che è fermo in x = 0 L’asse ct rappresenta lo scorrere del tempo τ (e quindi anche del tempo t) per qualcosa che è fermo all’origine x=0 e non cambia posizione. L’equazione di questo asse è: qualsiasi evento che avviene al tempo t=0 L’asse x rappresenta ogni possibile evento che avviene al tempo iniziale t = 0. L’equazione di questo asse è: ct = x ct = –x oppure: tutto ciò che si muove alla velocità della luce a cura di Sandro Ronca

Eventi simultanei τ = ct x B C D O Gli eventi A, B, C e D sono simultanei nel sistema di riferimento S Gli eventi A e D non sono raggiungibili da O perché sono fuori dal cono-luce. Per presenziare agli eventi A o D, O dovrebbe potersi muovere con una velocità maggiore di quella della luce a cura di Sandro Ronca

Eventi nello stesso luogo τ = ct x A B C D O τC Gli eventi A, B, C e D avvengono nello stesso luogo, nel sistema di riferimento S L’evento C (B è nel passato) non è raggiungibile da O perché si trova fuori dal cono-luce. Per presenziare all’evento C , O dovrebbe potersi muovere con una velocità maggiore di quella della luce. Infatti C è troppo distante (nello spazio) da O per poter essere raggiunto nel tempo τC senza superare la velocità della luce. a cura di Sandro Ronca

Come rappresentare il sistema (x’,ct’) τ x Il sistema S’ si muove con velocità V e quindi con velocità adimensionale β = V/c nel verso positivo di x. Al tempo t = 0 le origini dei due sistemi S e S’ coincidono. Le equazioni degli assi di S sono: O così dovrà essere per gli assi di S’ : e quindi: perché: a cura di Sandro Ronca

Equazione dell’asse ct’ x ct’ ct = x/β ma: oppure: O ct = x è una retta di coefficiente angolare >1 infatti: 1/β = c/V quindi ha pendenza maggiore della linea di universo della luce. a cura di Sandro Ronca

Equazione dell’asse x’ ct x ma: x’ O oppure: è una retta di coefficiente angolare <1 infatti: β = V/c quindi ha pendenza minore della linea di universo della luce. a cura di Sandro Ronca

Assi del sistema S’ ct ct’ x’ x Il sistema S’ in moto rispetto a S nel verso delle x positive è rappresentato dagli assi inclinati x’ e ct’ O a cura di Sandro Ronca

Spazio-tempo 2D ct ct’ x x’ Mentre se la velocità è diretta nel verso delle x negative: O a cura di Sandro Ronca

Eventi in S e S’ ct’ ct x’E x’ xE x L’evento E in S ha coordinate E(xE , τE). ct x ct’ x’ E L’evento E in S’ ha coordinate E(x’E , τ’E). τE τ’E τ’E < τE è passato meno tempo in S’ di quanto ne sia passato in S. Gli orologi di S’ rallentano x’E O xE Ox’E < OxE Le lunghezze in S’ sono minore che in S Contrazione delle lunghezze a cura di Sandro Ronca

la relatività generale Le nuove idee sulla GRAVITAZIONE la relatività generale

L’equivalenza tra gravitazione e sistemi di riferimento accelerati fu il pensiero più felice della mia vita a cura di Sandro Ronca

a=g Se mi trovassi in una cabina d’ascensore in caduta libera non sentirei alcun effetto della gravità. Penserei di trovarmi in un sistema inerziale in quiete o in moto rettilineo uniforme. a=g a cura di Sandro Ronca

a=g Ma se la cabina nello spazio fosse accelerata con un’accelerazione pari a quella di gravità, tutto, all’interno , si svolgerebbe come se mi trovassi in un campo gravitazionale simile a quello terrestre a=g a cura di Sandro Ronca

Dove portano questi ragionamenti? Esattamente come sulla superficie della Terra, dove gli oggetti cadono in verticale o seguendo un arco di parabola, se hanno una componente di velocità orizzontale Image credits:Virtualtouring.it Dove portano questi ragionamenti? a cura di Sandro Ronca

Il principio di equivalenza Massa inerziale mI Image credits:Virtualtouring.it Massa gravitazionale mG a cura di Sandro Ronca

Il principio di equivalenza Nessun esperimento permette di capire se ci si trova in un sistema di riferimento uniformemente accelerato con accelerazione a oppure in un sistema non accelerato posto in un campo gravitazionale in cui l’accelerazione sia g = –a La massa gravitazionale che compare nella legge di gravitazione universale e la massa inerziale che compare nella seconda legge della dinamica coincidono perfettamente: a cura di Sandro Ronca

a=g Anche la luce sembra incurvarsi in un sistema accelerato, anche se l’effetto, a causa della velocità della luce, è quasi impercettibile su scala locale. Per il principio di equivalenza la stessa cosa succede in un campo gravitazionale. a=g a cura di Sandro Ronca a cura di Sandro Ronca

a=g Se la cabina si muovesse con moto rettilineo a velocità costante, la contrazione delle lunghezze lungo la direzione del moto ci farebbe apparire il raggio ancora rettilineo. Ma nel sistema accelerato la velocità, e quindi la contrazione, non è costante. Il raggio di luce appare incurvato. a=g a cura di Sandro Ronca a cura di Sandro Ronca

Effetti gravitazionali sulla luce I calcoli di Einstein basati sulla sua teoria della relatività generale indicarono che I raggi della luce di una stella radente il Sole dovrebbero essere deflessi di un angolo di 1.75 secondi di arco. Ciò fu misurato durante l’eclisse di sole totale del 1919 e durante quasi tutte quelle successive. fonte INFN

Relatività in giostra a cura di Sandro Ronca

Nella giostra la forza centrifuga spinge gli oggetti verso l’esterno Chi sta sulla giostra può pensare di essere in quiete, ma in presenza di un campo gravitazionale, la cui intensità aumenta man mano che ci si allontana dal centro a cura di Sandro Ronca

R V accelerazione centrifuga Il sistema ruota quindi vi sarà una forza centrifuga Alice a cura di Sandro Ronca

campo gravitazionale? V Mi sento pesante. E’ chiaro che mi trovo in un campo gravitazionale Per forza! Non vede che il suo sistema sta ruotando. accelerazione di gravità Mary gravitazionale? Alice a cura di Sandro Ronca

Lo “spazio” giostra potrebbe non essere è euclideo Il metro si accorcia: Tim misurerà una circonferenza maggiore Il metro è lungo come quello di Alice. Bob misura il raggio e trova lo stesso valore di Alice Tim Non troveranno il valore corretto di π Bob Alice Lo “spazio” giostra potrebbe non essere è euclideo Tim e Bob potrebbero concludere che la gravità deformi lo spazio a cura di Sandro Ronca

Tim e Bob potrebbero concludere che la gravità rallenta il tempo Lorologio di Bob è più veloce perché lì la gravità è meno intensa L’orologio di Tim rallenta perché la gravità è più intensa dove lui si trova. Tim L’orologio di Tim è più lento per effetto della rotazione Bob Alice Tim e Bob potrebbero concludere che la gravità rallenta il tempo a cura di Sandro Ronca

Furono considerazioni simili a condurmi all’idea che una massa non dava origine ad una forza, ma ad una curvatura dello spazio-tempo a cura di Sandro Ronca

Pianeti, stelle, comete … si muovono in linea retta. Ma in uno spazio curvo le rette non sono più tali. a cura di Sandro Ronca

Attorno ad una stella massiccia le traiettorie dei pianeti possono essere incurvate dallo spazio fino a formare orbite chiuse. a cura di Sandro Ronca

I buchi neri sono previsti dalla teoria della relatività generale I buchi neri sono previsti dalla teoria della relatività generale. Sono ciò che resta dopo la morte di una stella di massa sufficientemente grande a cura di Sandro Ronca

Centaurus A, si trova a 11 milioni di anni-luce dalla terra. È una galassia attiva che contiene al centro un buco nero super massivo a cura di Sandro Ronca

Centaurus A (NGC 5128) Credit: X-ray: NASA/CXC/CfA/R.Kraft et al.; Submillimeter: MPIfR/ESO/APEX/A.Weiss et al.; Optical: ESO/WFI

incurvano lo spazio-tempo a tal punto che nemmeno la luce può uscirne Simili oggetti incurvano lo spazio-tempo a tal punto che nemmeno la luce può uscirne E rallentano il tempo, fin quasi a fermarlo a cura di Sandro Ronca

Una massa incurva lo spazio-tempo La “forza” di gravità non esiste. È la deformazione dello spazio-tempo che costringe gli oggetti a seguire traiettorie non rettilinee. La curvatura dello spazio-tempo obbliga anche i raggi luminosi a seguire percorsi non rettilinei immagine:http://astrocultura.uai.it

Al suo interno vi è una stella di neutroni: diametro 20 km, massa circa 1,5 masse solari. È lo stadio terminale di una stella non sufficientemente massiccia per divenire un buco nero La nebulosa del Granchio dista 6500 anni-luce dalla Terra Anche questi oggetti incurvano fortemente lo spazio dando origine a campi gravitazionali estremamente intensi è il residuo dell’esplosione di una stella, la supernova osservata nel 1054 d.C.

spettacolare della curvatura Ma la prova più spettacolare della curvatura dello spazio sono le lenti gravitazionali a cura di Sandro Ronca

La sua enorme massa distorce lo spazio creando un effetto lente Il cluster Abell 2218 è un ammasso di circa 10000 galassie a circa 2,3 miliardi di anni luce dalla Terra La sua enorme massa distorce lo spazio creando un effetto lente Così sono ingrandite e distorte le immagini di galassie 5-10 volte più lontane Credits: NASA, Andrew Fruchter and the ERO Team [Sylvia Baggett (STScI), Richard Hook (ST-ECF), Zoltan Levay (STScI)]

Princeton, 18 aprile 1955

Grazie