Sulla teoria generalizzata della gravitazione

la meccanica quantistica. Nell’Aprile 1950 A. Einstein scrive un articolo per «Scientific American» sintetizzando il tentativo di conciliare la relatività e la meccanica quantistica. L’articolo di Einstein non apportava nessun nuovo importante contributo per la fisica del Novecento. È però la dimostrazione che il cammino della scienza è arduo e tortuoso, anche per i massimi ingegni.

Perché amiamo comprendere Che cosa ci spinge a elaborare teoria dopo teoria? Perché, addirittura, formuliamo teorie? Perché amiamo comprendere

Le nuove teorie sono necessarie quando si affrontano fatti nuovi, non spiegabili con teorie già esistenti; si vuole giungere all’unificazione e alla semplificazione delle premesse della teoria nel suo insieme. Cosa significa? Ernst Mach lo afferma nel principio di economia, per cui la scienza si sviluppa secondo linee che portano le varie discipline a raggrupparsi attorno a principi (legami funzionali) sempre più semplici e sempre più vasti nella loro applicabilità

Esiste una passione per la comprensione proprio come esiste una passione per la musica e, senza di essa, non ci sarebbero né la matematica né altre scienze.

Più volte la passione per la comprensione ha condotto all’illusione che l’uomo sia in grado di comprendere razionalmente il mondo oggettivo, attraverso la metafisica (cioè con il pensiero puro, senza nessuna fondazione empirica).

Il metafisico addomesticato crede che il logicamente semplice sia anche reale. Ma l’idea teorica non nasce indipendentemente dall’esperienza sensoriale Né può derivare per puro procedimento logico…. È il prodotto di un atto creativo!

Ricordiamoci che dal punto di vista della fisica non vi è niente che garantisca che una teoria logicamente semplice debba essere anche vera!

I vantaggi di una teoria vicina all’esperienza Una teoria ha un vantaggio considerevole se i suoi concetti base e le sue ipotesi fondamentali sono vicini all’esperienza. È certamente giustificata con maggiore fiducia; Si corre meno il pericolo di andare fuori strada soprattutto perché ci vuole meno sforzo e tempo per invalidare le teorie. Eppure, più la nostra conoscenza aumenta, più dobbiamo rinunciare a questi vantaggi. Già con la teoria della gravitazione si rinunciò alla vicinanza all’esperienza.

La nascita dell’atomismo ne è un esempio efficace La nascita dell’atomismo ne è un esempio efficace. Come può aver concepito Leucippo questa audace idea? Quando l’acqua gela e diventa ghiaccio (qualcosa all’apparenza interamente diverso dall’acqua) , perché la fusione del ghiaccio dà origine a qualcosa che non sembra distinguersi dall’acqua originaria? Leucippo è perplesso e cerca una spiegazione. Può darsi che la cosa consista di particelle immutabili e che il cambiamento sia solo un cambiamento nella loro disposizione spaziale.

Nella fisica newtoniana il concetto teorico elementare su cui si basa la descrizione teorica dei corpi materiali è il punto materiale (o particella). Quindi la materia è considerata discontinua e questo rende necessario considerare l’azione reciproca dei due punti materiale come «azione a distanza». Poiché quest’ultimo concetto sembra del tutto contrario all’esperienza di ogni giorni, i contemporanei di Newton trovavano difficile accettarlo.

Ma nella seconda metà del XIX secolo divennero note le leggi dell’elettrodinamica che non potevano essere incorporate in maniera soddisfacente del sistema newtoniano. Infatti Faraday riuscì a scoprire la legge dell’induzione elettromagnetica perché sgombro dal modo tradizionale di pensare e introdusse il «campo» per aiutarsi a coordinare i fatti sperimentali.

Fu però Maxwell a comprendere pienamente il concetto di campo Fu però Maxwell a comprendere pienamente il concetto di campo. Il «campo», un elemento indipendente della realtà, gli consentì di scoprire le leggi fondamentali dell’elettrodinamica che trovano la loro espressione naturale nelle equazioni differenziali per i campi elettrico e magnetico. Queste equazioni implicavano l’esistenza di onde le cui proprietà corrispondevano a quelle della luce.

La teoria di Maxwell, se descrive in modo soddisfacente il comportamento delle particelle elettricamente cariche nelle loro interazioni reciproche, non spiega il comportamento delle densità elettriche, cioè non fornisce una teoria delle particelle stesse che vengono trattate come masse puntiformi, discontinue nello spazio.

Ma una teoria dei campi richiede continuità in tutti gli elementi, non soltanto nel tempo ma anche nello spazio e in tutti i punti dello spazio. Dunque la teoria di Maxwell non può essere considerata una teoria completa. Le sue equazioni per lo spazio vuoto rimangono invariate se le coordinate spazio e tempo sono soggette a un particolare tipo di trasformazioni lineari, le trasformazioni di Lorentz.

Ma il gruppo di Lorentz potrebbe essere definito come un gruppo di trasformazioni lineari che lasciano invariate un particolare valore della velocità: la velocità della luce. Queste trasformazioni valgono per la transizione da un sistema inerziale a un altro che è in moto uniforme relativamente al primo. Ciò distrugge il carattere assoluto di simultaneità di eventi distanti l’uno dall’altro nello spazio. Quindi tutte le equazioni della fisica sono covarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz.

Si suppone che le leggi di entrambe le teorie considerate siano valide soltanto rispetto a certi sistemi di coordinate, quelli noti come sistemi inerziali. La relatività speciale (o ristretta) ha questo in comune con la meccanica newtoniana.

Un sistema inerziale è un sistema in uno stato di moto tale che i punti materiali «liberi da forza» dentro di esso non sono accelerati rispetto al sistema di coordinate. Questa definizione però è vuota se non vi è un mezzo indipendente per riconoscere l’assenza di forze. Ma un tale mezzo non può esistere se la gravitazione è considerata come un «campo».

Sia A un sistema uniformemente accelerato rispetto ad un sistema inerziale I. I punti materiali, non accelerati rispetto a I, sono accelerati rispetto ad A, con accelerazione uguale per tutti i punti.

Questa interpretazione implica che A sia un sistema inerziale. I punti si comportano come se esistesse un campo gravitazionale rispetto ad A (infatti una caratteristica del campo è che l’accelerazione sia indipendente dalla natura del corpo – principio di equivalenza). Questa interpretazione implica che A sia un sistema inerziale.

Per spiegare l’identità tra massa inerte e massa gravitazionale nell’ambito della teoria è necessario ammettere trasformazioni non linerari delle quattro coordinate. È questa l’essenza del principio di equivalenza. Il gruppo di Lorentz deve dunque essere ampliato… ma con quale altro gruppo di trasformazioni?

Il sostituto appropriato, affermeranno Gauss e Riemann, è il gruppo di tutte le trasformazioni continue (analitiche) delle coordinate. Esse esprimono soltanto l’ordine topologico dei punti nello spazio e questi hanno quasi le stesse coordinate.

Newton, Leibniz e Mach intuirono che l’inerzia si oppone all’accelerazione. Ma accelerazione relativa a che cosa? La meccanica classica risponde che l’inerzia si oppone all’accelerazione relativa allo spazio. Infatti lo spazio agisce sugli oggetti, gli oggetti non agiscono sullo spazio.

Si tratta del significato più profondo dell’affermazione newtoniana spatium est absolutum. Leibniz non attribuiva però un’esistenza indipendente allo spazio ma lo considerava una proprietà delle «cose». Secondo la relatività generale il concetto di spazio separato da ogni contenuto fisico non esiste. La realtà fisica dello spazio è rappresentata da un campo le cui componenti sono funzioni continue di quattro variabili indipendenti: le coordinate dello spazio e del tempo.

La realtà fisica dello spazio è rappresentata per mezzo di un campo continuo e quindi il concetto di punto può materiale non può avere parte fondamentale. Serve un campo continuo.

Dal punto di vista matematico il campo è caratterizzato essenzialmente dal modo in cui le sue componenti si trasformano se è applicata una trasformazione di coordinate; le sue equazioni devono determinare il campo in misura sufficiente soddisfacendo sempre ai postulati della relatività generale.

In base alla teoria della gravitazione, la luce ha una velocità di propagazione costante. Se un raggio di luce nel vuoto parte da un punto, designato dalle coordinate x1, x2 e x3 in un sistema di coordinate a tre dimensione , al tempo x4, esso viaggia come un onda sferica. Il raggio raggiunge quindi un punto vicino (x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) al tempo (x4 + dx4).

Introducendo la velocità della luce c, otteniamo l’espressione dx²1 +dx²2 + dx²3 =cdx²4 Questa espressione rappresenta una relazione oggettiva tra punti spazio-temporali vicini di quattro dimensioni e vale per tutti i sistemi inerziali. Tuttavia la relazione perde la sua forma se vengono ammesse trasformazioni continue arbitrarie delle coordinate, in accordo con il principio della relatività generale.

(ammettendo trasformazioni continue arbitrarie delle coordinate)

Tale tensore simmetrico descrive un «campo gravitazionale puro». In base al principio di equivalenza, queste funzioni gik descrivono un particolare campo gravitazionale: un campo che può essere ottenuto per trasformazione dello spazio «libero da campo». Le gik sono componenti di una tensore che gode di una proprietà di simmetria che si conserva in tutte le trasformazioni: gik = gki Tale tensore simmetrico descrive un «campo gravitazionale puro».

La legge delle equazioni differenziali è determinata matematicamente dal principio di relatività generale. Il sistema di equazioni può essere scritto nella forma: Rik = 0 Le Rik si trasformano nello stesso modo delle gik, cioè anch’esse formano un tensore simmetrico.

Queste equazioni differenziali sostituiscono completamente la teoria newtoniana del moto dei corpi celesti, purchè le masse siano rappresentate come singolarità del campo. In altre parole, esse contengono la legge della forza così come la legge del moto, mentre eliminano i sistemi inerziali.

L’obiettivo di Einstein è una teoria completamente relativistica dei campi. Per esserlo, essa deve basarsi su un campo di natura assai complessa, cioè una generalizzazione del campo tensoriale simmetrico. Il principio di relatività implica che 4 componenti del campo non siano 10, ma 10 - 4 = 6

Le equazioni della gravitazione sono 10 equazioni differenziali per le 10 componenti del tensore simmetrico gik. Ma, seguendo il principio appena esposto, solo 6 delle 10 equazioni debbono essere indipendenti l’una dall’altra. Le altre 4 debbono essere connesse a queste 6 per mezzo di 4 relazioni dette identità. E esistono 4 identità, dette Identità di Bianchi, che assicurano la loro «compatibilità».

una generalizzazione del campo gravitazionale. La teoria che stiamo cercando deve essere una teoria relativistica del campo totale, una generalizzazione del campo gravitazionale. Ma prima si pongono delle domande:

qual è la generalizzazione naturale del campo tensoriale simmetrico qual è la generalizzazione naturale del campo tensoriale simmetrico? Si può rispondere solo con un’altra domanda: Quale generalizzazione del campo fornirà il sistema teorico più naturale? Il campo tensoriale simmetrico deve essere sostituito da un campo non simmetrico. Quindi deve cadere la condizione gik = gki per le componenti del campo. In questo caso il campo ha 16 componenti indipendenti e non più 10.

Bisogna ora formulare le equazioni differenziali relativistiche per un campo tensoriale non simmetrico, ricordandoci che esse devono essere compatibili! Questo risultato può essere raggiunto in due modi differenti.

Le equazioni sono compatibili se derivate da un principio di variazione. Questo principio «genera» due sistemi di equazioni differenti che chiamiamo E1 ed E2 che presentano alcuni difetti formali. Vi è però un terzo sistema di equazioni, E3, che rappresenta una combinazione dei due precedenti e che sembra essere il sistema che cercavamo.

Lo scettico dirà: «Può ben essere vero che questo sistema di equazioni sia ragionevole da un punto di vista logico. Ma questo non prova che esso corrisponda alla natura.» E lo scettico ha ragione… Solo l’esperienza può decidere della verità

a cura di Francesca Frau 4^D anno 2012-13 Liceo Scientifico G.Marconi Sintesi dell’articolo di A.E (Scientific American, Aprile 1950) a cura di Francesca Frau 4^D anno 2012-13 Liceo Scientifico G.Marconi San Gavino Monreale