Progetto lauree scientifiche Problemi classici della geometria Costruzioni con riga e compasso Liceo Scientifico Liceo Scientifico con opzione Scienze applicate Liceo Classico “Federico Quercia” Marcianise (CE)

Eseguire una costruzione con riga e compasso significa tracciare segmenti ed angoli servendosi esclusivamente di una riga e di un compasso idealizzati, ossia non graduati, senza quindi la possibilità di poter far riferimento alle tacche della riga per prendere misure o di poter ripetere una data apertura che il compasso aveva avuto in precedenza. Il problema delle costruzioni con riga e compasso ha accompagnato gli sviluppi della geometria nella Grecia antica. Per i matematici greci i problemi geometrici si presentavano non nella forma genericamente esistenziale, ma in quella costruttiva. La geometria era inoltre utilizzata per risolvere quelli che per noi ora sono problemi algebrici.

Si dice che lo stesso Euclide utilizzò tale metodo di costruzione negli Elementi, come dimostrano i primi tre postulati del libro primo che sono alla base dell’utilizzo di rette e cerchi. È possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto; È possibile prolungare illimitatamente in linea retta un segmento finito; È possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi raggio.

Indice I tre grandi problemi dell’antichità. Semplici costruzioni con riga e compasso. Costruzioni di poligoni regolari. Risoluzioni alternative dei tre grandi problemi dell’antichità.

I tre grandi problemi dell'antichità la quadratura del cerchio la trisezione dell'angolo la duplicazione del cubo La quadratura del cerchio consiste nel costruire un quadrato della stessa area di un cerchio dato; la duplicazione del cubo consiste nel costruire un cubo di volume doppio rispetto a quello dato; la trisezione dell'angolo consiste nel dividere un angolo in tre parti uguali. Dunque il primo problema riguarda le aree, il secondo i volumi, il terzo gli angoli. Gli studiosi greci di geometria ammettevano soltanto per i loro metodi, l'uso della riga e del compasso, in quanto la riga è una linea retta; il compasso è il cerchio.

La quadratura del cerchio Già a Babilonia e in Egitto i matematici si erano interessati ai rapporti che univano il cerchio e il quadrato. Nel più antico testo matematico che sia stato rinvenuto, lo scriba Ahmes si prefiggeva di trovare un quadrato equivalente a un cerchio dato, proponendo di prendere in considerazione un quadrato col lato uguale a otto noni del diametro del cerchio. Più tardi, in Grecia, Anassagora fu il primo greco a interessarsi della questione, si trovava in carcere quando si dedicò al problema della quadratura senza però giungere ad alcun risultato. Dopo il suicidio di Anassagora il problema della quadratura rimase irrisolto. In seguito fu la volta di Ippocrate di Chio, il quale riuscì nella quadratura delle lunule alimentando così speranze folli. Ma il primo che osò trasgredire la legge della riga e del compasso fu Ippia di Elide che riuscì a effettuare la quadratura del cerchio grazie alla 'quadratrice' che aveva messo a punto.

La duplicazione del cubo La prima volta che si sentì parlare di duplicazione del cubo, fu in occasione di una grande epidemia: La peste ad Atene. Una delegazione di ateniesi s'imbarcò per Delfi, allo scopo d'interrogare l'oracolo perché indicasse loro un modo per porre fine all'epidemia. L’oracolo suggerì di duplicare l'altare consacrato ad Apollo nell'isola di Delo. L'altare di Apollo a Delo era celebre in tutta la Grecia per la sua forma. Infatti era un cubo. Gli ateniesi si recarono sull'isola e costruirono un nuovo altare, col lato doppio di quello antico. La peste continuò, ma un saggio che passava di lì fece notare che il nuovo altare non era grande il doppio di quello antico, bensì otto volte più grande. Gli ateniesi sbarcati sull'isola, decisero di distruggere il grande altare.

Sopra il vecchio altare, ne costruirono uno nuovo, identico sotto ogni aspetto a quello antico. Soddisfatti, tornarono ad Atene, ma la peste continuò. Infatti ciò che era doppio non era il volume di un unico altare, bensì di due. Gli ateniesi accorgendosi di essere del tutto impotenti, decisero di fare appello ai più grandi matematici del tempo. Archita di Taranto ci riuscì realizzando l'intersezione tra un cono, un cilindro e un prisma; Menecmo, invece, utilizzando due coniche, un'iperbole e una parabola. Quattro secoli dopo Nicomede inventò una curva a forma di spirale, la 'concoide', che fece meraviglie tanto per la duplicazione del cubo quanto per la trisezione dell'angolo. Queste costruzioni seppur geniali non erano realizzabili sul piano concreto, in quanto si servivano di elementi mobili.

La trisezione dell’angolo Il metodo per bisecare l‘angolo è molto semplice. Gli antichi greci pensarono che fosse altrettanto semplice poter dividere gli angoli in ogni modo, cercarono quindi un metodo con riga e compasso che permettesse di dividere un angolo in tre parti uguali. Ben presto si accorsero che il problema era più difficoltoso: in effetti, il problema è risolvibile con riga e compasso solo per alcuni tipi di angoli, ma nel caso generale non può essere risolto in modo classico come cercavano di fare gli antichi, tuttavia è possibile risolverlo facendo uso di altre curve, come la curva ideata da Ippia nel V sec. a.C.

Semplici costruzioni con riga e compasso Con l’utilizzo di riga e compasso è possibile effettuare la costruzione di alcuni semplici enti geometrici : Asse di un segmento Bisettrice di un angolo Perpendicolare da un punto ad una retta Sottomultipli di un segmento

Asse di un Segmento Costruire due circonferenze i cui centri sono gli estremi del segmento dato e il raggio uguale alla lunghezza del segmento stesso. 2. Unendo i punti di intersezione delle due circonferenze si ottiene l’asse.

Perpendicolare da un punto ad una retta Descrivere una circonferenza avente centro in un punto esterno alla retta in modo da intersecarla in due punti. 2. Tracciare altre due circonferenze aventi come centro i punti di intersezione tra la prima circonferenza e la retta data e raggio uguale alla distanza dal primo centro. 3. Unire il punto dato con il punto d’incontro delle altre due circonferenze ottenendo la perpendicolare.

Bisettrice di un angolo Dato un angolo tracciare una circonferenza avente come centro l’origine dell’angolo e raggio qualsiasi. I due punti di intersezione della circonferenza con le semirette dell’angolo saranno i centri delle circonferenze con raggio uguale alla distanza tra i due punti stessi. 3. Unire l’origine dell’angolo con i due punti di intersezione delle due circonferenze.

Sottomultipli di un segmento Dato un segmento, costruire una semiretta che abbia origine in uno dei suoi estremi. 2. Descrivere una circonferenza che abbia centro in un punto qualsiasi della semiretta passante per il primo estremo. 3. Descrivere altre circonferenze che abbiano centro nel punto di intersezione tra la circonferenza che la precede e la semiretta di raggio uguale alla distanza dal centro della circonferenza precedente. 4. Unire l’ultimo punto di intersezione dell’ultima circonferenza con la semiretta,con il secondo estremo del segmento. A partire da questa retta tracciare le parallele passanti per i centri delle circonferenze che per il teorema di Talete dividono il segmento in n parti uguali.

Costruzione di poligoni regolari Fin dall’antichità è stato affrontato il problema delle costruzioni con riga e compasso applicato ai poligoni regolari di n lati. Il primo ad occuparsene fu Euclide che, negli “Elementi”, si interessò, ai casi di poligoni con n=3, n=4, n=5,n=6 e n=15 esplicitamente, e ad un numero di casi addizionali implicitamente. Però già per N=7 si incontrano grosse difficoltà. Interessa dunque capire quali poligoni sono costruibili con riga e compasso e quali no. Fu il giovane Gauss nel 1796 a 19 anni che riuscì a dimostrare che, se p è un numero primo di Fermat, allora il poligono regolare con p lati è costruibile con riga e compasso. I numeri di Fermat sono espressi dalla formula Solo i numeri ottenuti per n = 0,1,2,3,4 (i cui valori sono 3, 5, 17, 257, 65537) sono stati sinora verificati essere primi.

Teorema di Gauss-Wantzel Più in generale Gauss provò che si possono costruire con riga e compasso poligoni regolari che abbiano un numero di lati scomponibile in: dove k è un numero intero non negativo ed i fattori pj sono numeri di Fermat primi distinti. Egli intuì anche che la condizione suddetta doveva essere anche necessaria, ma la cosa venne provata solo più tardi da Pierre Wantzel, nel 1836, risultato che prende il nome di teorema di Gauss-Wantzel. Gauss

Risoluzioni alternative ai problemi classici

La trisezione dell’angolo secondo Archimede

il problema della tripartizione trova soluzione con il seguente metodo di Archimede: dato l’angolo CÔK = X nella semicirconferenza di centro O e diametro CZ = 2r si voglia ricavare l’angolo y = (1/3) x. Si faccia in modo che la riga individui la retta che, passando per K, intersechi in A il prolungamento del diametro CZ in modo tale che il tratto esterno alla circonferenza AB sia uguale al raggio r. Si dimostra, in tal caso, che l’angolo y = BÂZ risulta pari a (1/3) x. Infatti : ABO è un triangolo isoscele di lato r BOK è un triangolo isoscele di lato r KOC è un triangolo isoscele di lato r Poiché ABO è un triangolo isoscele avremo: BÂO = BÔA = y ; KÔB = 180 – BÔA - CÔK KÔB = 180 – ( x + y ) La somma dei due angoli alla base del triangolo isoscele BÔK vale quindi ( x + y ); in particolare l’angolo KBO vale ( x + y )/2;ABO = ( 180 – KBO ) = [ 180 - ( x + y )/2 ] e anche ABO = ( 180 – 2y ) ; si ricava così: 2y = ( x + y )/2 4y = x + y 3y = x

TRISETTORE DI TISSANDIER Uno dei tanti strumenti che si ispirano a questa costruzione è il: TRISETTORE DI TISSANDIER

La duplicazione del cubo secondo Menecmo

Vediamo ora come Menecmo ragiona sul problema del cubo, avvalendoci ,per semplicità, dell’uso a noi noto della geometria analitica: Procedendo dalla proporzione a : x = x : y = y : 2a, dove a è il lato del cubo dato e x quello del cubo di volume doppio, possiamo ricavare l'equazione di due delle infinite possibili coppie di parabole la cui intersezione individua la soluzione del problema. Da x : y = y : 2a ricaviamo y2 = 2 a x (A) Da a : x = x : y ricaviamo x2 = a y (B) x4 = a2 y2 x4 = a2 2 a x da cui otteniamo: x3 = 2a3 Quindi l'ascissa X dell'intersezione tra le due parabole individua la misura del lato del cubo di volume doppio del cubo assegnato di lato a. Si può osservare che allo stesso risultato si perviene con l'intersezione di due parabole ricavabili dalle equazioni delle parabole considerate in precedenza moltiplicando il 2° membro di (A) per n2 e moltiplicando il 1° membro di (B) per n.

a : x = x : y = y : 2a x y = 2a2 iperbole (A) y = 2a2/X a : x = x : y = y : 2a y2 = 2 a x parabola (B) 4a4/X2 = 2 a x 2a3 = x3 x = 3√2 a Allo stesso modo Menecmo operò intersecando un iperbole e una parabola

La quadratura del cerchio e il π " Qual'è 'l geometra che tutto s'affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond'elli indige, tal era io...."  (Dante)

Al problema della quadratura del cerchio, come a quello della rettificazione della circonferenza è legata la questione del π. Il tentativo di risoluzione di questi problemi infatti fu accompagnato dalla ricerca del suo valore effettivo. 3.1415926535…

l=d-1/9d=2-2/9=16/9 Di conseguenza Aq=l^2=256/81 Un tentativo di risoluzione del primo problema fu proposto da Ahmes nel papyrus Rhind che suggerì di costruire un quadrato avente lato uguale al diametro del cerchio diminuito di 1/9 considerando il raggio del cerchio stesso uguale a 1. l=d-1/9d=2-2/9=16/9 Di conseguenza Aq=l^2=256/81 Dovendo essere cerchio e quadrato equivalenti dovrà essere Ac=Aq quindi pi greco = 256/81=3,1604… Numero ben approssimabile a п (pi greco). Il problema della rettificazione della circonferenza fu ancora affrontato per la prima volta dagli egiziani, ma con scarsi risultati, in quanto giungevano a п=2,9 poco approssimabile al reale valore di п (pi greco).

Archimede invece ottenne una soluzione più concreta del problema partendo dalla costruzione dell’esagono regolare iscritto e circoscritto al cerchio, egli calcolò i perimetri di questi poligoni e di quelli da essi ottenuti raddoppiando successivamente il numero dei lati. Arrivò così fino ai poligoni regolari iscritti e circoscritti di 96 lati,calcolando per п il valore: п=22/7=3,142…

Con l’introduzione del calcolo infinitesimale si è arrivato al valore di п attraverso le serie numeriche. A cominciare dal tardo 1600 furono scoperte molte serie numeriche convergenti verso п tra cui: quella di Leibniz, di Eulero, di Machin e quella di Sharp. Intanto la ricerca della frazione che rappresentasse esattamente п continuò finchè nel 1766 J.M.Lambert dimostrò che п è un numero irrazionale: non è una frazione e le sue cifre decimali non sono periodiche, per cui è impossibile determinare il suo valore decimale esatto. Tuttavia sappiamo che anche il numero √2 è un numero irrazionale, ma attraverso il teorema di Pitagora notiamo che è possibile costruire con riga e compasso un segmento che abbia questa misura. Si cercò di raggiungere lo stesso risultato per il numero п, ma nel 1882 il matematico Ferdinando Lindemann dimostrò che п è un numero trascendente che quindi non si può costruire con riga e compasso. Mentre veniva svolto tutto questo lavoro di carattere teorico, veniva spinto avanti il calcolo del valore decimale di п con l’aiuto di calcolatori sempre più precisi. Il risultato più recentemente ottenuto è quello del giapponese Shigeru Kondo il 2 agosto 2010 che consta di ben 5 000 miliardi di cifre.

Calcolo dell’area del cerchio e del perimetro di una circonferenza utilizzando la trigonometria e l’analisi infinitesimale ● Calcoliamo l’area del cerchio e il perimetro della circonferenza attraverso l’area e il perimetro dei poligoni inscritti e circoscritti. ● Riconduciamo i poligoni di n lati, a n triangoli,risolubili attraverso formule trigonometriche ● Attraverso il calcolo del limite per n che tende all’infinito, otterremmo le aree e i perimetri suddetti.

α = 2π/n Atriangolo = ½ r2 sen2 π/n Apoligono = n/2 r2 sen2 π/n lim n/2 r2 sen2 π/n n→∞ lim π n/2 r2 sen2 π/n = π r2 c.v.d. n→∞ 2 π/n 1 ln= 2r sen π/n pn = n 2r sen π/n lim n 2r sen π/n lim π n/ π 2r sen π/n = 2r π c.v.d. n→∞ π/n ln ἀ

Atriangolo = r2 tg π/n Apoligono = n r2 tg π/n lim n r2 tg π/n n→∞ α/2 = π/n Ln/2 = r tg π/n Atriangolo = r2 tg π/n Apoligono = n r2 tg π/n lim n r2 tg π/n n→∞ lim π n r2 tg π/n = π r2 c.v.d. n→∞ π/n 1 Ln = 2r tg π/n Pn = n 2r tg π/n lim n 2 r tg π/n lim π n 2r tg π/n = 2r π c.v.d. n→∞ π/n   Ln ἀ

Calcolo dell’area del cerchio attraverso il metodo degli integrali definiti y Utilizziamo la circonferenza goniometrica x2+y2= r2 y = ± √r2-x2 -r r x Per trovare l’area del cerchio utilizziamo il significato geometrico dell’integrale definito, calcolando l’area della semicirconferenza positiva : ∫ √r2-x2 dx Risolviamo quest’integrale utilizzando il metodo della sostituzione, ponendo : x = r sen t dx = r cos t dt Andando a sostituire si ottiene: ∫ (√ r2 - r2 sen2 t) r cos t dt = ∫ √ r2(1 - sen2 t) r cos t dt = =∫ (√ r2 cos2 t ) r cos t dt = ∫ r2 cos2 t dt = r2 ∫(1+cos 2t)/2 dt = = r2 [ ∫ 1/2 dt + ∫ (cos 2t/2) 2dt/2] = r2 ( t/2 + 1/4 sen 2t) + c

Ora dalla posizione iniziale riandiamo a sostituire : t = arcsen (x/r) cos t = (1/r) (√r2-x2) r2/2 ( t + sen t cos t) = r2 ( arcsen (x/r) + (x/r2) √r2-x2) Per calcolare l’area bisogna fare il doppio prodotto dell’integrale calcolato tra -r e r: Acerchio = 2 r2/2 arcsen (r/r) + (r/r2) √r2-r2 - arcsen (–r/r) – ( r/r2) √r2-r2 = r -r = r2 (π/2 + π/2) = r2 π c.v.d.

Grazie per l’attenzione Hanno collaborato gli alunni: Rossano Tommaso, Russo Paola, Raucci Giulia, Bruno Giovanna, Santillo Angela, Rossano Maria Immacolata, Iodice Michela, Sparaco Michela, Di Lillo Giovanni, Golino Antonella Si ringrazia: La professoressa Marino Concetta IL DIRIGENTE SCOLASTICO DIAMANTE MAROTTA