LIMITI DI UNA FUNZIONE PRIMI CONCETTI ESEMPI INTRODUTTIVI DEFINIZIONI

PRIMI CONCETTI Il limite di una funzione è un concetto matematico che consente di studiare l’andamento di una funzione nel suo dominio o in particolari punti non necessariamente appartenenti ad esso.

ESEMPI INTRODUTTIVI x 1 2 3 4 5 ... f(x) 0 0,5 0,66 0,75 0.8 ... ESEMPIO 1 Osservazione 1 Possiamo dire intuitivamente che la funzione, per valori della x ≥ 1 , ha un LIMITE che non può oltrepassare Assegnando alla x i valori 1, 2, 3, 4, 5, … osserviamo che i corrispondenti valori della funzione tendono al numero 1 senza mai oltrepassarlo

Osservazione 2 Il valore x=1 non fa parte del dominio della funzione ESEMPIO 2 5 10 12,5 16,6 25 100 ... f(x) 1,2 1,1 1,08 1,06 1,04 1,01 ... x Osservazione 2 Il valore x=1 non fa parte del dominio della funzione Assegnando alla x valori prossimi a 1, la funzione tende ad assumere valori sempre più grandi

Possiamo affermare che: ESEMPI INTRODUTTIVI 4+ε ESEMPIO 3 ε 4 ε Assegnando alla x valori prossimi a c=2, la funzione tende ad assumere valori prossimi a 4 4-ε Cosa abbiamo ottenuto? 2 x ... 1,8 1,9 2 2,1 2,2 ... f(x) ... 3,24 3,61 4 4.41 4,84 ... Un intorno H del punto 2 Osservazione 3 Comunque si scelga il numero positivo ε, l’intorno di 4 ( 4 –ε, 4 +ε) “determina” sempre un intorno H del punto c=2 Possiamo affermare che:

COSA VUOL DIRE (in generale) LA SCRITTURA : ? Vuol dire che, comunque fisso un intorno  di l , esiste in corrispondenza ad esso un intorno H di c, tale che, comunque scelgo x in H (con xc), f(x) appartiene a  (In sostanza se “ci muoviamo” in un intorno di c, f(x) “si muove” in un intorno di l) Perché esistono tante definizioni di limite? c ed l , nella definizione generica non vengono specificati ma nella pratica, possono essere valori finiti o infiniti. Specificando i loro valori si ottengono 4 possibilità

1)limite finito in un punto : 2)limite infinito in un punto : 3)limite finito in un punto all’infinito : 4)limite infinito in un punto all’infinito : Questo spiega le diverse definizioni: dovendo parlare di INTORNI di punti al finito o all’infinito, è diversa la simbologia, e di conseguenza la terminologia, per indicarli.

cioè le disequazioni: l – ε < f(x) < l + ε DEFINIZIONI Definizione 1 (limite finito in un punto) Sia f una funzione definita in D e c un punto di accumulazione per D. Si dice che la funzione f, per x tendente a c, ha per LIMITE il numero l, e si scrive quando, comunque si scelga un numero positivo ε, si può determinare in corrispondenza ad esso, un intorno completo H di c tale che, per tutti i valori della x appartenenti ad H, escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la disequazione: |f(x)- l |< ε cioè le disequazioni: l – ε < f(x) < l + ε l +ε l f(x) l -ε si legge: “limite per x che tende a c di f(x)” Notazione x c H

In particolare, se vale: f(x) > E allora f(x) < -E allora Definizione 2 (limite infinito in un punto) Sia f una funzione definita in D e c un punto di accumulazione per D. Si dice che la funzione f, per x tendente a c, ha per LIMITE l’infinto, e si scrive quando, comunque si scelga un numero positivo E, si può determinare un intorno completo H di c tale che, per tutti i valori della x appartenenti ad H, escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la disequazione: |f(x)| > E cioè le disequazioni: f(x) < -E f(x) > E f(x) In particolare, se vale: f(x) > E allora f(x) < -E allora E c x H -E

Definizione 3 (limite finito in un punto all’infinito) Sia f una funzione definita in D illimitato. Si dice che la funzione f, per x tendente all’infinito, ha per LIMITE l, e si scrive quando, comunque si scelga un numero positivo ε, è sempre possibile determinare un numero K>0 tale che, per tutti i valori della x tali che \x\> K ( ovvero x < -K o x > K ) risulti soddisfatta la disequazione: |f(x)- l |< ε cioè le disequazioni: l – ε < f(x) < l + ε l +ε f(x) l Se la dis. è verificata da: x > K allora x < -K allora -K l -ε K x

risulti soddisfatta la disequazione: |f(x)| > E Definizione 4 (limite infinito in un punto all’infinito) Sia f una funzione definita in D illimitato. Si dice che la funzione f, per x tendente a , ha per LIMITE l’infinto, e si scrive quando, comunque si scelga E > 0, si può determinare K > 0 tale che, per tutti i valori della x tali che \x\>K risulti soddisfatta la disequazione: |f(x)| > E cioè le disequazioni: f(x) < -E f(x) > E f(x) E -K K x -E

x > K f(x) > E x > K f(x) < - E x < - K f(x) > E Definizione 4 (limite infinito in un punto all’infinito) Nelle condizioni della precedente definizione, possiamo considerare i seguenti casi particolari: se per ogni risulta allora grafico x > K f(x) > E x > K f(x) < - E x < - K f(x) > E x < -K f(x) < -E