EQUAZIONI DI SECONDO GRADO INTRODUZIONE:EQUAZIONI DI SECONDO GRADO EQUAZIONI PURE E SPURIE EQUAZIONI COMPLETE * * FORMULA RIDOTTA 4. RELAZIONE TRA LE SOLUZIONI DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO (SOMMA E PRODOTTO) 5. SCOMPOSIZIONE TRINOMIO DI SECONDO GRADO 6. APPROFONDIMENTI

1. EQUAZIONI DI SECONDO GRADO OGNI EQUAZIONE DI SECONDO GRADO ,RIDOTTA IN FORMA NORMALE (PORTANDO TUTTO DALLA STESSA PARTE), SI PUÓ SCRIVERE NELLA FORMA: ax +bx+c=0 con a≠0 e a, b, c R Se nell’equazione sono presenti tutti e tre i termini, essa si chiama completa. (b≠0 e c≠0) Se nell’equazione manca il termine di primo grado, l’equazione è incompleta e si dice pura. (b=0 e c≠0) Se nell’ equazione manca il termine noto, l’equazione è incompleta e si dice spuria. (b≠0 e c=0) RISOLVERE UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO VUOL DIRE TROVARE LE SOLUZIONI, CIOÈ I VALORI CHE, SOSTITUITI ALL’INCOGNITA, VERIFICANO L’EQUAZIONE.

2. EQUAZIONI PURE E SPURIE EQUAZIONI SPURIE UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO SI DICE PURA SE MANCA IL TERMINE DI PRIMO GRADO, CIOÈ b=0, E PERCIÓ HA FORMA: ax +c=0 SI RISOLVE SEPARANDO IL TERMINE NOTO DALL’ INCOGNITA, COME NELLE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO: ax = -c x=± Esempio: 5x -4=0 5x =4 x2 =4/5 x=± UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO SI DICE SPURIA QUANDO MANCA IL TERMINE NOTO, CIOÈ c=0 E b ≠0. HA PERCIÓ FORMA: ax +bx=0 SI RISOLVE RACCOGLIENDO LA x E APPLIACANDO LA LEGGE DELL’ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO. x(ax+b)=0 x₁=0 x₂= - Esempio: 3x2 -4X=0 x * (3x-4)=0 X1 =0 x₂=

3. EQUAZIONI COMPLETE LA FORMA NORMALE DI UN’EQUAZIONE COMPLETA DI SECONDO GRADO è: ax +bx+c=0 LE SOLUZIONE SI OTTENGONO CON LA FORMULA RISOLUTIVA *: x₁,₂= L’ESPRESSIONE SOTTO RADICE SI CHIAMA DISCRIMINANTE DELL’EQUAZIONE E SI INDICA CON (DELTA). LE SOLUZIONI DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO, DIPENDONO DAL VALORE DEL DISCRIMINANTE (DELTA), IN PARTICOLARE IL SEGNO DEL DELTA CI INFORMA SE LE SOLUZIONI SONO REALI O COMPLESSE,DISTINTE O COINCIDENTI. SE: >0  L’EQUAZIONE HA 2 SOLUZIONI REALI E DISTINTE. <0  L’EQUAZIONE NON HA SOLUZIONI REALI perché NON ESISTE IN R LA RADICE PARI DI UN NUMERO NEGATIVO. =0  L’EQUAZIONE HA 2 SOLUZIONI REALI E COINCIDENTI (SOLUZIONE DOPPIA).

* FORMULA RIDOTTA SE “B” è PARI, RISULTA Più COMODO APPLIACRE LA FORMULA RIDOTTA: N.B. SI Può APPLICARE SOLO SE “B” è PARI.

4.RELAZIONE TRA LE SOLUZIONI DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO SE x₁ e x₂ SONO LE SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE: ax +bx+c=0, SI PUÓ DIMOSTRARE CHE LA SOMMA E IL PRODOTTO DELLE SOLUZIONI SONO LEGATE AI COEFFICIENTI DI a, b, c DELL’EQUAZIONE DALLE SEGUENTI RELAZIONI: x₁ +x₂=- x₁ * x₂= QUESTE RELAZIONI PERMETTONO DI RISALIRE ALL’EQUAZIONE CONOSCENDO LE SUE SOLUZIONI, E DETERMINARE DUE NUMERI, CONOSCENDO LA SOMMA E IL PRODOTTO. 

SCRIVERE UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO, CONOSCENDO LE SUE SOLUZIONI. x₁ +x₂=S x₁ * x₂=P L’EQ. CHE HA x₁ e x₂ COME SOLUZIONI è : x –Sx+P=0 DETERMINARE DUE NUMERI, CONOSCENDONE LA SOMMA E IL PRODOTTO. CONOSCENDO LA SOMMA E IL PRODOTTO DI 2 NUMERI, I DUE NUMERI SI OTTENGONO RISOLVENDO L’EQUAZIONE x –Sx+P=0.

5. SCOMPOSIZIONE TRINOMIO DI SECONDO GRADO. PER SCOMPORRE IL TRINOMIO ax +bx+c, BASTA RISOLVERE L’EQUAZIONE ax +bx+c=0. SE LE SOLUZIONI SONO DISTINTE ( >0), IL TRINOMIO SI SCOMPONE CON LA FORMULA: ax +bx+c = a(x-x₁)*(x-x₂) SE LE SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE SONO CIONCIDENTI ( =0), LA FORMULA DIVENTA: ax +bx+c= a(x-x₀) SE L’EQUAZIONE NON HA SOLUZIONI REALI, CIOÉ IL DELTA É MINORE DI 0, IL TRINOMIO NON É SCOMPONIBILE.

PORTIAMO A SECONDO MEMBRO IL TERMINE NOTO DIVIDIAMO TUTTI I TERMINI PER a (≠ 0) SCRIVIAMO IL TERMINE (b/a)x COME DOPPIO PRODOTTO DI DUE FATTORI AGGIUNGIAMO AI DUE MEMBRI IL TERMINE (b/2a ) SI OTTIENE COSì AL PRIMO MEMBRO LO SVOLGIMENTO DEL QUADRATO DI UN BINOMIO. IL TRINOMIO AL PRIMO MEMBRO è IL QUADRATO DEL BINOMIO x+(b/2 a ) QUINDI:L’ESPRESSIONE AL PRIMO MEMBRO è UN QUADRATO; QUINDI è SEMPRE POSITIVA O NULLA. AFFINCHE’ L’EQUAZIONE AMMETTA SOLUZIONI REALI, ANCHE LA FRAZIONE AL SECONDO MEMBRO DEVE ESSERE POSITIVA. IL DENOMINATORE DELLA FRAZIONE è SEMPRE POSITIVO, QUINDI, ANCHE IL NUMERATORE DEVE ESSERE POSITIVO. (b^2-4ac ≥ 0). SE b^2-4ac ≥ 0, CI SONO DUE VALORI, UNO OPPOSTO ALL’ALTRO, CHE SODDISFANO L’EQUAZIONE. LI OTTENIAMO ESTRAENDO LA RADICE QUADRATA. ISOLIAMO LA X RISOLVENDO LA FORMULA OTTENIAMO LE DUE SOLUZIONI. DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA RISOLUTIVA DELLE EQUAZIONI COMPLETE DI SECONDO GRADO.

EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE E IMPOSSIBILI, GRADO DI UN’EQUAZIONE. LE EQUAZIONI POSSONO ESSERE: DETERMINATE, QUANDO HANNO UNA PRECISA SOLUZIONE; INDETERMINATE, QUANDO HANNO INFINITE SOLUZIONI; IMPOSSIBILI, QUANDO NON HANNO SOLUZIONI. GRADO DELLE EQUAZIONI IL GRADO DI UN’EQUAZIONE MI DA’ IL NUMERO MASSIMO DI SOLUZIONI REALI POSSIBILI, A PATTO CHE NON SIA INDETERMINATA L’EQUAZIONE. RICORDARSI DI CAMBIARE DI SEGNO LA SOMMA DELLE SOLUZIONI PRIMA DI INSERIRLA PER SCRIVERE L’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO.

DIMOSTRAZIONE PER RICAVARE LA SOMMA DELLE SOLUZIONI, SENZA RISOLVERE L’ EQUAZIONE.

DIMOSTRAZIONE PER RICAVARE IL PRODOTTO DELLE SOLUZIONI, SENZA RISOLVERE L’ EQUAZIONE.

AMBRA FRANCIOSI & AJA DIARRA